高考数学一轮复习知识点与练习直线平面平行的判定和性质.docx

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高考数学一轮复习知识点与练习直线平面平行的判定和性质

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝∅

a⊂α，b⊄α，a∥b

a∥α

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝∅

a∥b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝∅

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∥β，a⊂β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．（　　）

（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．（　　）

（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．（　　）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．（　　）

（5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（　　）

（6）空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.（　　）

（7）若α∥β，直线a∥α，则a∥β.（　　）

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是________．

①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；

③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．

2．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________．

3．（教材改编）下列命题中正确的是________．

①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.

4．（教材改编）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1　如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

（1）求证：

AP∥平面BEF；

（2）求证：

GH∥平面PAD.

命题点2　直线与平面平行性质定理的应用

例2　（2014·安徽）如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

（1）证明：

GH∥EF；

（2）若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

思维升华　判断或证明线面平行的常用方法：

（1）利用线面平行的定义（无公共点）；

（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）．

（1）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，AB＝1，求证：

CE∥平面PAB；

（2）如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：

四边形EFGH是矩形．

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

（1）B，C，H，G四点共面；

（2）平面EFA1∥平面BCHG.

引申探究

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：

HD∥平面A1B1BA.

2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：

平面A1BD1∥平面AC1D.

思维升华　证明面面平行的方法：

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

　如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：

平面EFG∥平面ABC.

题型三　平行关系的综合应用

例4　如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

思维升华　利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

5．立体几何中的探索性问题

典例　（14分）如图，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝.

（1）求四棱锥S－ABCD的体积；

（2）在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．

解决立体几何中的探索性问题的步骤

第一步：

写出探求的最后结论．

第二步：

证明探求结论的正确性．

第三步：

给出明确答案．

第四步：

反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．

温馨提醒　

（1）立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．

（2）这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：

从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．

[方法与技巧]

1．直线与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）面与面平行的性质．

2．平面与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

[失误与防范]

1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

3．解题中注意符号语言的规范应用．

A组　专项基础训练

（时间：

40分钟）

1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________．

①AB∥CD;②AD∥CB；

③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面．

2．（2015·安徽改编）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．

①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；

②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；

③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；

④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．

①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.

4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为________．

5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．

6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

7.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝______.

8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

（1）EG∥平面BB1D1D；

（2）平面BDF∥平面B1D1H.

B组　专项能力提升

（时间：

30分钟）

11．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是________．

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；

③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β.

12．如图，空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

14．（2015·四川改编）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；

（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．

15.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．

（1）求三棱锥A—PDE的体积；

（2）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？

若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．