高考数学 高频考点归类分析 错位相减法的运用真题为.docx

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高考数学高频考点归类分析错位相减法的运用真题为

错位相减法的运用

错位相减法是一种常用的数列求和方法，形如的数列，其中{}为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。

典型例题：

例1.（2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？

【答案】解：

（Ⅰ）取n=1，得，∴。

若=0，则=0,当n时，。

若，则，

有当n时，，，

两个相减得：

，∴。

∴数列公比是2的等比数列。

综上所述，若=0,则；若，则。

（Ⅱ）当且时，令，则。

∴是单调递减的等差数列（公差为－lg2）

则b1>b2>b3>…>b6=；

当n≥7时，bn≤b7=。

∴数列{lg}的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。

【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。

【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：

由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。

（II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项。

例2.（2012年天津市理13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.

（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明.

【答案】解：

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由=，得。

由条件，得方程组

，解得。

∴。

（Ⅱ）证明：

由

（1）得，①；[

∴②；

由②－①得，

∴。

【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。

【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。

（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。

还可用数学归纳法证明其成立。

例3.（2012年天津市文13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.

（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；

（Ⅱ）记，，证明。

【答案】解：

（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由=，得。

由条件，得方程组

，解得。

∴。

（Ⅱ）证明：

由

（1）得，①；

∴②；

由②－①得，

∴。

【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。

【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。

（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。

还可用数学归纳法证明其成立。

例4.（2012年广东省理14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。

（1）求a1的值；

（2）求数列的通项公式。

（3）证明：

对一切正整数n，有.

【答案】解：

（1）∵且成等差数列

∴，解得。

即。

（2）∵………………………………………………①

∴……………………………………………………②

①－②，得。

∵，∴。

∴，。

∴数列{}成首项为，公比为的等比数列，

∴。

∴。

。

（3）∵（当n=1时，取等号。

）

∴，∴（当且仅当n=1时，取等号）。

∴。

【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。

【解析】

（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。

（2）由，，两式相减即可得，可知，数列{}成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。

（3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。

因此。

例5.（2012年广东省文14分）设数列的前项和，数列的前项和为，满足

．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式．

【答案】解：

（1）当时，。

∵，∴，解得。

（2）∵①，

当时，②，

∴①②得：

③，此式对也成立。

∴当时，④。

∴③④得：

，即。

∴是以为首项，2为公比的等比数列。

∴，即，。

【考点】数列递推式，等比数列的性质。

【解析】

（1）当时，。

由得解得。

（2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。

例6.（2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。

（1）确定常数，并求；

（2）求数列的前项和。

【答案】解：

（1）当n＝时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，

∴k2＝16，∴k＝4。

∴＝－n（n≥2）。

又∵a1＝S1＝，∴an＝－n。

（2）∵设bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，

∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－。

【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。

【解析】

（1）由二次函数的性质可知，当n＝时，取得最大值，代入可求，然后利用可求通项，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解。

（2）设bn＝＝，可利用错位相减求和即可。

例7.（2012年江西省文12分）已知数列的前项和（其中，为常数），且

（1）求；

（2）求数列的前项和。

【答案】解：

（1）∵，∴当时，。

则，，。

∴=2。

∵，即，解得=2。

∴（）。

当=1时，。

综上所述。

（2）∵，

∴，

。

－得，，即。

【考点】数列的求和，等比数列的通项公式。

【解析】

（1）先根据前项和求出数列的通项表达式；再结合求出，，即可求出数列的通项。

（2）直接利用错位相减法求和即可。

例8.（2012年浙江省文14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.

（1）求an，bn；

（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.

【答案】解：

（1）由Sn=，得

当n=1时，；

当n2时，，n∈N﹡。

由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡。

（2）由

（1）知，n∈N﹡，

∴，

。

∴。

∴，n∈N﹡。

【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。

【解析】

（1）由Sn=，作即可求得an；代入an=4log2bn＋3，化为指数形式即可求得bn。

（2）由an，bn求出数列{an·bn}的通项，得到，从而作即可求得T。

例9.（2012年重庆市理12分）设数列的前项和满足，其中.

（I）求证：

是首项为1的等比数列；（5分）

（II）若，求证：

，并给出等号成立的充要条件.（7分）

【答案】证明：

（Ⅰ）∵，∴。

∴。

∴。

∵，∴。

∴。

∵，∴。

∴。

∴。

∴。

∴。

∴是首项为1，公比为的等比数列。

（II）当=1或=2时，易知成立。

当时，成立。

当时，，

∴。

∴。

当时，上面不等式可化为，

设，

①当时，。

∴。

∴当时，所要证的不等式成立。

②当时，

令，

则。

∴在（0，1）上递减。

∴。

∴。

∴在（0，1）上递增。

∴。

∴当时，所要证的不等式成立。

当时，，由已证结论得：

。

∴。

∴。

∴当时，所要证的不等式成立。

综上所述，当且时，。

当且仅当=1,2或时等号成立。

【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。

【分析】（I）根据，得，两式相减，即可证得是首项为1，公比为的等比数列。

（II）当=1或=2时和当时，成立。

当时，分，，三种情况分别证明即可。

本题也可用数学归纳法证明。