高考数学 高频考点归类分析 错位相减法的运用真题为.docx

1、高考数学 高频考点归类分析 错位相减法的运用真题为错位相减法的运用错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如的数列，其中为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。典型例题： 例1. （2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（）求数列的通项公式；（）设，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（）取n=1，得，。 若=0，则=0, 当n时，。 若，则，有当n时，两个相减得：，。数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0, 则 ；若，则。（）当且时

2、，令，则。 是单调递减的等差数列（公差为lg2） 则 b1b2b3b6=；当n7时，bnb7=。数列lg的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。 （II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。例2. （2012年天津市理13分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记，证明.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解

3、得。()证明：由（1）得， ； ；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例3. （2012年天津市文13分）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式； ()记，证明。【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。()证明：由（1）得， ； ；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求

4、出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例4. （2012年广东省理14分）设数列的前n项和为Sn，满足且成等差数列。（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有.【答案】解：（1）且成等差数列 ，解得。即。（2） ，得。，。，。数列成首项为，公比为的等比数列，。 。（3）（当n=1时，取等号。）， （当且仅当n=1时，取等号）。【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。【解析】（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。（2）由，两式相减即可得，可知

5、，数列成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。（3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。因此。例5. （2012年广东省文14分）设数列的前项和，数列的前项和为，满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式【答案】解：（1）当时，。 ，解得。（2） ， 当时， ，得： ，此式对也成立。当时， 。得：，即 。是以为首项，2为公比的等比数列。 ，即，。【考点】数列递推式，等比数列的性质。【解析】（1）当时，。由得解得。 （2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。例6. （2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大

6、值为。（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1）当n时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，k216，k4。n(n2)。又a1S1，ann。（2）设bn，Tnb1b2bn1， Tn2TnTn2144。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n时，取得最大值，代入可求，然后利用可求通项，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解。（2）设bn，可利用错位相减求和即可。例7. （2012年江西省文12分）已知数列的前项和（其中，为常数），且（1）求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1），当时，。则，。=2。，即

7、，解得=2。（）。当=1时，。综上所述。（2）， ， 。得，即。【考点】数列的求和，等比数列的通项公式。【解析】（1）先根据前项和求出数列的通项表达式；再结合求出，即可求出数列的通项。（2）直接利用错位相减法求和即可。例8. （2012年浙江省文14分）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=，nN，数列bn满足an=4log2bn3，nN.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Tn.【答案】解：（1）由Sn=，得 当n=1时，；当n2时，nN。由an=4log2bn3，得，nN。（2）由（1）知，nN，。，nN。【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。【

8、解析】（1）由Sn=，作即可求得an；代入an=4log2bn3，化为指数形式即可求得bn。 （2）由an，bn求出数列anbn的通项，得到，从而作即可求得T。例9. （2012年重庆市理12分）设数列的前项和满足，其中. （I）求证：是首项为1的等比数列；（5分） （II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.（7分）【答案】证明：（），。 。 ，。 ，。 。是首项为1，公比为的等比数列。（II）当=1或=2时，易知成立。当时，成立。当时，。当时，上面不等式可化为，设，当时， 。当时，所要证的不等式成立。当时，令，则。在（0，1）上递减。在（0，1）上递增。当时，所要证的不等式成立。 当时，由已证结论得：。当时，所要证的不等式成立。综上所述，当且时，。当且仅当=1,2或时等号成立。【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。【分析】（I）根据，得，两式相减，即可证得是首项为1，公比为的等比数列。（II）当=1或=2时和当时， 成立。当时，分，三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。