债券价值与利率期限结构.docx
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债券价值与利率期限结构
第三章現值、債券價值與利率期限結構2007.10.1
第二章介紹了財務管理中最重要的概念：
貨幣的時間價值（timevalueofmoney）。
貨幣的時間價值就是決定本期貨幣價值和未來期間貨幣價值間的關係。
本章將第二章的現值概念由一期的架構延伸為多期的架構，接著將利用多期架構下的現值公式討論各種債券的價值以及長短期利率間的關連。
在多期架構下，除了將不同時間的現金流量轉換為以相同時間的貨幣來衡量外，還須考量不確定性。
此時，投資決策者計算現值時應如何適切考量風險因素？
本書第十章將討論存在風險情形下，如何調整折現率以計算現值及淨現值。
本章暫不考慮風險的存在如何影響淨現值的計算，但先以例子說明風險因素如何影響投資決策。
例子：
台藝畫廊正考慮以40萬元購入一幅王秋香40號油畫，預計此畫明年售出可得款48萬元，這項投資計劃的現金流量圖為
現金收入48萬元
01
現金支出-40萬元
目前銀行存款利率為10%，請問該畫廊是否應購入這幅畫？
一般而言，現金流量圖中48萬元現金收入不應視為事先確定的數字，最多只是預測值。
若台藝畫廊忽略投資畫作和存款間風險的差異，而以存款利率10%做為購置的資本機會成本（opportunitycostofcapital），則下一期出售畫作價款的現值為
。
由於43萬6364元的現值高於本期購畫成本40萬元，畫廊似乎應選擇此項投資計劃。
由於藝品投資的風險遠較存款為高，不宜以存款利率做為資本機會成本（或稱折現率），而恰當的折現率應比10%為高才能合理反映此項投資計劃的風險。
經過仔細評估，畫廊廖老闆認為25%才能反映購畫計劃的風險，亦即25%才是合理的資本機會成本。
此時，下一期出售油畫價款現值變為
，
而此項投資計劃的淨現值為負：
384,000元
元=
元
依據第二章的淨現值法則，畫廊不應選擇此項投資計畫。
由於投資決策涉及投資計畫執行期間現金流量的評估，而未來又充滿不確定性，這個例子說明公司經營階層如何選擇恰當的折現率是投資決策過程中最大的挑戰。
1.複利計息的威力
黃朝貸出手中的1萬元現金後，下一期將有本金加利息的現金收入：
（1+r）萬元，r為市場均衡利率。
黃朝若將所得的（1+r）萬元再貸出一期，由於已將前期所賺的利息r萬元做為下一期的本金再生利息，這個過程稱為複利計息（compoundingprocess）。
第二期結束後，黃朝可取得的投資收益為
，
式中r²表示將第一期收到的利息（r萬元）做為第一期可貸出的本金，在第二期所賺到的利息，即「息生息」。
2r表示兩年期間單利計息所賺取的利息。
兩相比較可知：
以複利計息所賺取的投資收益和單利計息所賺取的投資收益兩期後金額相差r²萬元。
兩期後黃朝將收到的（1+r）2萬元再貸出一期，第三期結束後本金加利息的現金收入變為
式中3r萬元是三年期間以單利計息方式所得到的利息收入，而（3r²+r³）萬元則是以複利計息方式所算出第一期利息以及第二期利息再透過「息滾息」過程所創造的額外現金收入，（
）萬元即為以複利計息方式所得到的利息總收入。
複利計息和單利計息最不同之處在於單利計息的計算是不將前期的利息做為未來的本金，故三期後兩者的差異變為（3r²+r³）萬元。
複利計息過程中「息生息」的威力到底有多大？
[表3-1]列舉單利計息以及複利計息所得到投資收益的差異。
兩種計息方式在第一期沒有差別，二期以後期末餘額亦只有1元（＝100元´10%´10%）的差異。
20年後，單利計息所算出的期末投資收益為300元，而以複利計息方式所算出期末投資收益高達673元，兩者差距已有一倍以上。
其後的差異呈成長。
舉例說，50年後，單利計息所算出的期末投資收益為600元，若以複利計息所算出的期末投資收益為11,739元，兩者差距已接近二十倍。
[表3-1]本期投資100元各期期末的投資收益（r=10%）
單利計息
複利計息
期數
期初本金
+
利息
＝
期末餘額
期初本金
+
利息
＝
期末餘額
1
100
+
10
=
110
100
+
10
=
110
2
110
+
10
=
120
110
+
11
=
121
3
120
+
10
=
130
121
+
12.1
=
133.1
4
130
+
10
=
140
133.1
+
13.3
=
146.4
10
190
+
10
=
200
236
+
24
=
259
20
290
+
10
=
300
612
+
61
=
673
50
590
+
10
=
600
10,672
+
1,067
=
11,739
100
1090
+
10
=
1100
1,252,783,
+
125,278
=
1,378,061
200
2090
+
10
=
2100
17,264,116,020
+
1,726,411,602
=
18,990,527,622
210
2190
+
10
=
2200
44,778,670,810
+
4,477,867,081
=
49,256,537,891
接下來，再以1926年到1996年這段期間，投資美國股市的年平均報酬率為例說明複利計息的威力。
若在1926年初投資美國股市1美元，到了1996年底投資收益變為1370.95美元：
_
，
經過計算，投資美國股市71年的平均報酬率（r）為10.71%。
10.71%的年平均報酬率看起來似乎不高，但經過71年的複利計息過程，當初投資1美元71年後竟會創造1370.95美元的投資收益，而複利計息的威力正在於前期利息可投入本期及未來各期的本金再用於生息，這也是「息生息」的威力所在。
假若將1370.95元元再投資70年，1926年所投資的那一塊錢，在2066年所創造出來的投資收益將變為187萬9503美元。
複利計息的威力亦可用於解釋為何上一代遺產大都不贈與給下一代而是贈與給下一代的下一代。
父母都寧願讓其孫徒輩變得比較有錢，而非讓子女輩變得稍微有錢。
2.多期架構下的現值公式
截至目前，我們所討論的都僅止於一期的投資計劃，本節將現值與淨現值的概念延伸到多期架構。
依第1節複利計息的討論，若本期投資支出為C0，則T期後所創造的投資收益（T期期末終值）為
FV（T）=
式中r0T為第0期時投資T期的年利率，FV（T）為本期現金流量C0在T期結束時的終值，而T表示投資終止時間。
若市場均衡年利率為9%，本期貸出1元，由終值公式兩期後就可創造出1.1881元的投資收益。
換一個角度看，若我們希望在兩期後能有1元的收入，市場均衡利率為9%情形下，請問本期應投資多少？
這個問題可用下列公式呈現
PV
元,
式中PV即為兩年後1元的現值。
現值所表現的是兩年後的1元以本期貨幣衡量所得的價值：
PV=
。
這個計算現值的過程稱為折現（discountingprocess）與複利計息正好相反。
以折現方式計算現值是將未來期間的貨幣轉換以本期貨幣來衡量，而複利計息則是將本期的貨幣價值轉換為以未來某特定期間的貨幣來衡量（即複利計息等同於計算終值）。
如何驗證0.84168元的確是兩年後1元的現值？
我們可利用複利計息公式來檢證。
0.84168元以9%利率貸出一年，一年後可取得的本金加利息金額為
0.84168元×（1.09）=0.91743元。
若將0.91743元再貸出一年，所得的本金加利息正等於1元：
1元=0.91743元
=
也就是說，市場均衡利率為9%情形下，本期的0.84168元和兩年後的1元等值。
9%稱為折現率（discountrate），而1/（1.09）2（或0.84168）稱為現值因子（presentvaluefactor，以PVF簡記）。
我們可利用現值因子將未來的現金流量轉換以本期貨幣衡量。
例子：
阿輝購買台北銀行所發行的第一期「對對樂」彩券中了頭獎，獎金100萬元。
阿輝想將它存入銀行，計劃五年後將本金及利息用於購車，而阿輝看上的車子其車價為161萬500元。
假設五年內車價不變，若阿輝將這筆獎金存入銀行，請問市場均衡利率水準應是多少才讓她五年後有足夠錢支付車款。
首先，本期存入100萬元五年後所得到的本金加利息的金額可用以下現金流量圖表示：
現金支出-100萬元
05
現金收入161萬500元
由終值的公式可得：
100萬元×
=161.05萬元，簡單計算可解出r為10%。
在財務管理課程中，計算利息時，都以複利方式計息。
由本節的討論亦可清楚看出：
折現其實就是一種複利計息的反向應用。
在實際說明現值概念時，我們經常以「本期投資100元，若市場均衡利率為10%時，請問一年後該投資者會有多少投資收益？
」替代「假設均衡利率為10%，請問一年後100元的現值為多少？
」第一個問題的答案是
100元×1.1=110元，
而第二個問題的答案則是
=90.9元。
也就是說，折現是將複利計息過程時間倒轉過來，將未來的貨幣價值轉換為以本期貨幣衡量的價值。
綜上所述，第n期現金流量（Cn）折現為以本期貨幣衡量的公式為
式中r0n為n年期純折現率（或稱為n年期年利率），n³1。
投資計畫所創造的現金收入不只限於未來的某一期，可能持續數期。
此時計算各期現金流量現值的概念不變，先將各期現金流量一一轉換以本期貨幣衡量的價值，這些價值的加總就得到現值。
假設某投資計畫在第1期至第n期間，預期第i期現金收入為Ci，i=1,2,…,n，則這n期現金收入的現值為
PV=
，
（1）
式中r0i為第i期的純折現率。
若本期的資本支出為C0（由於C0是現金支出，故以-C0表示），則此投資計畫的淨現值為
NPV=
。
（2）
一般而言，長短期年利率（或各期純折現率）並不相同。
假設長短期年利率
相同：
，
則現值公式變為
，
而淨現值公式亦簡化為
。
由第二章的討論可知，利率（r）不僅影響經濟個體的儲蓄意願，亦影響廠商的投資意願。
假設某一四年期投資計畫所需的資本支出為10億元，未來四年每年能創造3億元的現金收入。
假設市場均衡利率為5%，則此項計畫的淨現值為
NPV=
億元
若利率上升到9%，此項計畫淨現值降為
NPV=
億元
由於利率上升（折現率變大）導致投資計畫變為無利可圖，亦即利率和淨現值間存在反向變動關係，這也是為何大多數國家央行當經濟景氣不好時，常運用降低利率方式刺激廠商投資，或是景氣過熱時，以提升利率降溫。
3.幾個常用的現值公式
本節將介紹幾個常用的現值公式：
3.1永續年金（perpetuity）
3.2成長型永續年金（growingperpetuity）
3.3年金（annuity）
3.4成長型年金（growingannuity）
3.1永續年金
永續年金是每期給付固定金額的現金流量且無終止給付的日期。
永續年金最佳的例子為英國政府所發行稱為Consols的公債。
Consols公債持有人每期都可收到固定金額的票息（couponpayment）。
此永續年金的現值應如何計算？
以C表示永續年金持有者每期應收到的固定給付金額，其現金流量圖為
現金流量CC．．．C．．．
時點012．．．n．．．
將各期現金流量代入現值公式可得：
PV=
式中最右邊的三點表示這個數列一直持續下去，r為資本（機會）成本。
只要r大於零，上式右邊的總和為有限值，其可化簡為
PV=
。
永續年金的價值就是未來各期固定金額現金流量（C）的現值，亦是永續年金持有者對持有此份永續年金所願意支付的最高價格。
永續年金的持有者若打算未來各期以其所取得票息收入做為該期消費支出的財源，則她可永遠維持這個消費水準而不必擔心未來各期消費支出的財源。
C/r就是她為了永遠維持這種消費水準在本期所必須提存的金額。
將C/r存入銀行，從下一期開始，她每期可支領的票息收入為
票息收入=
=C
若將此票息收入用於消費支出，則每期可以消費金額就等於該期票息收入且可永遠運作下去。
例子：
某一永續年金未來每年將給付給永續年金持有者1000元。
若資本機會成本為8%，請問此永續年金的價值？
利用永續年金的現值公式可算出該永續年金現值：
PV1=_
元。
若機會成本降為5%，永續年金的現值變為
PV2=
20,000元。
此例可知永續年金的價值（PV）和資本機會成本（r）呈反向變動關係。
3.2成長型永續年金
成長型永續年金和永續年金不同之處在於成長型永續年金持有者每期所收到的票息收入是以固定成長率逐年增加。
亦即，成長型永續年金的現金流量圖為
現金流量CC（1+g）．．．C（1+g）N-2C（1+g）N-1
時點012．．．N-1N
成長型永續年金的現值為
PV=
+
+‧‧‧+
+‧‧‧
式中C為第一期的現金流量，C‧（1+g）N-1為第N期的現金流量，g為息票收入的年成長率，r為折現率。
若r＞g，則成長型永續年金的現值可簡化為
PV=
例子：
許根在淡水擁有一棟公寓，計劃將此公寓分租給當地學生，預計下年度的房租總收入為10萬元。
許根在房租契約上，明訂房租和物價指數連動，即房租租金率按物價膨脹率調整。
許根預測未來各年度年平均物價膨脹率為3%。
假設目前市場均衡利率為8%，請問許根將此公寓出租後未來各期可收到房租的現值為多少？
未來各期都有房租收入且房租收入隨物價膨脹率調整，故每年房租收入不再是固定值，而是依某固定成長率（3%）增加，此種現金流量型態就是成長型永續年金。
將r=8%以及各期房租收入代入成長型永續年金現值公式可得
PV=
+
+
+‧‧‧+
+‧‧‧
=
=200萬元
應用成長型永續年金公式時，必須注意以下幾點：
¨現值公式中分子的C值，係指下一期而非本期的現金流量。
¨成長型永續年金現值公式成立的條件是r＞g。
若g＞r，由於現金流量成長速度大於折現速度，此將造成各期現金流量的現值不再是有限值。
換句話說，未來的現金流量隨著時間愈久遠，對本期價值的影響愈強，此和一般現值概念相違背。
一般現值概念應是未來現金流量的重要性會隨著時間愈久遠而變小。
¨成長型永續年金的現值公式中，假設每期取得現金收入一次。
3.3年金
年金係指在固定且有限期間內，每期給付固定金額的現金流量。
大部分財務工具現金流量型態屬於年金型式，退休年金或房貸都是年金標準例子。
年金可用以下的現金流量圖表示
現金流量CC．．．C
時點012．．．T
年金的現值可直接以下列公式算出：
PV=
+
+‧‧‧+
式中現金流量是由第1期持續到到第T期，每期現金流量為固定值C。
以下將利用永續年金的現值公式說明如何計算年金的現值。
首先，我們考慮兩個永續年金A和永續年金B，兩者差異在於年金現金流量給付的起始點不同：
永續年金A給付起始點為第1期，永續年金B給付起始點為第T+1期。
永續年金A：
CC．．．CC．．．
012．．．TT+1．．．
永續年金B：
CC．．．
T+1T+2．．．
永續年金A以第0期貨幣所算出的現值為：
PVA（0）=
，
而永續年金B以第T期貨幣所算出的現值亦為：
PVB（T）=
。
由於PVA（0）和PVB（T）並非以相同時點的貨幣衡量所得的價值。
兩者衡量基準不同。
若要比較，我們應先將PVB（T）的轉換為以第0期貨幣衡量的價值：
=
此時，PVA（0）和PVB（0）之差就是年金的現值：
PV=
（0）
（0）=
若給付期間愈長（T值愈大），則PV的值愈接近C/r（當T值愈大，
愈接近0）。
一般應用現值公式時，多是知道投資計畫執行期間或金融資產持有期間各期現金流量以及折現率，然後利用現值公式（式
（1））或淨現值公式（式
（2））算出投資計畫淨現值或金融資產現值。
然而，式
（1）亦可在現值（PV）及折現率（r）已知情況下，求算各期現金流量。
計算貸款每期應償還金額就是最佳例子。
舉例說，ABC公司決定新增一條生產線，資本支出金額為12億元，ABC公司財務部門決定向銀行舉借10億。
銀行核准的條件為分十年平均攤還，每年年度結束時還款，下年度開始償還，年利率為8%。
若ABC公司同意此項條件，請問ABC公司每年度應償還的金額？
依銀行貸款條件，此項十年期貸款的現金流量圖為
CCCC
012
-10億元
銀行本年度貸給ABC公司10億元現金，未來十年每年ABC公司應償還C的金額。
銀行之所以願意貸款給ABC公司，必然是因為銀行預期未來十年每年度所收到C以年利率8%計算的現值不低於10億：
10億元=
=C∙
=C∙6.71
由上式就可算出ABC公司每年應償還的金額
C=
未償還借款餘額等於至到期期限前借款人應償還金額的現值。
以下的例子將說明如何計算未償還借款餘額。
例子：
朱一十年前向銀行借款3000萬元用於購買新店豪宅，年利率為7.8%，期限為30年。
由於目前銀行房貸年利率低於7.8%，朱一打算舉新還舊以減輕利息負擔。
朱一須先算出還有多少本金尚未償還（或未償還借款餘額）？
每年償還12期，30年就有360期，此項三十年期借款的現金流量圖為
-C-C-C-C-C
0123359360
3000萬元
年利率為7.8%，故月利率為0.65%（=7.8%∕12）。
利用年金現值公式可算出每月應償還的金額（C）：
=21萬5960元
目前朱一的房貸未償還餘額等於未來20年每月償還21萬5900元的現值：
未償還餘額=21萬5960元∙
=2620萬7590元
由於朱一每月固定償還的金額（C）包含利息及本金兩部分，朱一還想知道去年一年她支付多少利息。
每月要償還21萬5960元，一年總共償還259萬1520元，要算出支付多少利息須先算出去年一年朱一償還多少本金。
一年前，朱一房貸的未償還餘額為
21萬5960元∙
=2673萬2480元
與本年度未償還餘額相比較可知朱一去年償還本金的金額為
2673萬2480元－2620萬7590元＝52萬4890元，
故去年一年朱一繳納的利息為
259萬1520元－52萬4890元＝206萬6630元
3.4成長型年金
成長型年金和年金不同處在於給付期間內，每期現金流量是以固定成長率增加：
現金流量CC（1+g）．．．C（1+g）T-2C（1+g）T-1
時點012．．．T-1T
依3.3節年金現值計算方式，成長型年金的現值為：
PV=
式中C為第一期支付金額，g為支付金額的成長率，r為利率，T為成長型年金持續期間。
例子：
朱胖將自某國立大學經濟系研究所博士班畢業，某科技大學提供朱胖助理教授一職，年薪60萬元。
朱胖預估她的年薪每年調升3%，朱胖目前25歲，距65歲退休年齡還有40年任職期間。
目前，市場均衡利率為14%，請問朱胖往後40年任教期間的年薪現值為多少？
為簡化計算，假設年薪60萬元是在第一年年終一次給付，而以後各年年薪給付亦依此方式，依成長型年金公式可得
=515.46萬元
4.複利計息頻率與有效年利率
前幾節有關投資收益或現值的討論都假設一年計息一次。
一年內複利計息次數若超過一次，複利計息（或折現）次數對終值或現值將有何影響？
舉例來說，銀行存款年利率為10%，每半年複利計息一次。
許根於本期期初存入1000元。
半年後，本金加利息的金額為
1000元
再過半年（此時存款正好滿一年），本金加利息的金額就變為
1050元
。
若每年複利計息一次，一年後本金加利息的金額為
1000元×1.1=1100元。
兩相比較，每半年複利計息一次較每年複利計息一次可多得2.5元。
由於複利計息和單利計息最大不同就是複利計息所創造的利息可做為未來的本金再生利息，所以，同一期間內複利計息次數愈多，就會有愈多的利息可更早轉為本金再生利息。
假設每季複利計息一次，一年後本金加利息所得的金額為
1000元
元
這個金額又比每半年複利計息所得的金額（1102.5元）為多。
假設每年複利計息m次，本期期初存入C0元。
一年後，本金加利息的金額為
上面的公式適用於一期本金與利息的計算。
在多期的情形下，每期複利計息m次，下期後C0的終值變為：
式中T為計息終止期間。
為了方便比較不同複利計息頻率情形下，同一期間的平均投資報酬率，我們以有效年利率（effectiveannualinterestrate，以EAIR簡記）來衡量不同複利計息頻率（m）的年平均投資報酬率：
EAIR=
例子：
黃朝考慮在本期期初借出100萬元，年利率為24%，利息計算將採複利計息方式，每月計算一次。
請問一年後，投資收益有多少？
100萬元×
萬元。
此時，有效年利率（EAIR）為
26.82%=
%
5.債券的評價
本節將利用現值公式說明如何計算無違約的風險債券價值。
持有債券期間，持有者將依債券上約定的時間取得現金流量的给付，這些現金流量的現值就是債券持有者持有此債券所願意付出的最高價格。
債券簡單的說就是標示資金借入者（債券發行者）未來各期應償付多少金額給債券持有者的憑證。
債券至少應包括以下幾個組成要素：
面額，到期期限（maturity），息票给付以及面額償還方式。
舉例說，高雄市政府於2004年發行面額（facevalue，以FV簡記）100萬元的公債1萬張，債券息票率（couponrate，以
簡記）為5%，期限五年，每年给付息票一次，公債到期後一次還本。
由這個例子，我們知道高雄市政府公債的組成要素包括：
♦面額：
公債面額為100萬元。
此次高雄市政府公債發行總金額為100億元（＝1萬張×100萬元）。
♦票息給付：
票息金額計算公式為面額´息票率（FV×
）。
高雄市政府必須在每年年度結束時支付給債券持有者5萬元（＝100萬元×5%）的票息（couponpayment）。
♦到期期限（maturity）：
何時債劵持有者收到最後一次應給付的金額。
♦面額償還方式：
債券七年後到期時，高雄市政府除了必須支付債券持有者5萬元票息外，還需支付100萬元的面額。
不同的組成要素就形成不同的債券型式。
以下將介紹幾種常見債券以及其價值決定公式。
5.1零息債券
零息債劵（zero-couponbond）或稱純折現債券（purediscountbond）是型式最簡單的債券，它承諾在未來某一特定時點（即到期日）做單一的給付。
假若未來的時點是指一年後，則稱為一年期純折現債券；若未來特定時點是指兩年後，則稱為兩年期
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