全国高考理科数学试题及答案全国卷.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意：

1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件互斥，那么 球的表面积公式

如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径

球的体积公式

如果事件在一次试验中发生的概率是，那么

次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径

一、选择题

1．函数的定义域为（）

A． B．

C． D．

2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）

s

t

O

A．

s

t

O

s

t

O

s

t

O

B．

C．

D．

3．在中，，．若点满足，则（）

A． B． C． D．

4．设，且为正实数，则（）

A．2 B．1 C．0 D．

5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）

A．138 B．135 C．95 D．23

6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）

A．e2x-1 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2

7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）

A．2 B． C． D．

8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位

C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位

9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）

A． B．

C． D．

10．若直线通过点，则（）

A． B． C． D．

11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）

A． B． C． D．

12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）

D

B

C

A

A．96 B．84 C．60 D．48

2008年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修选修Ⅰ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10小题，共90分．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

（注意：

在试题卷上作答无效）

13．13．若满足约束条件则的最大值为．

14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．

15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

（注意：

在试题卷上作答无效）

设的内角所对的边长分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值．

18．（本小题满分12分）

（注意：

在试题卷上作答无效）

四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：

；

（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．

C

D

E

A

B

19．（本小题满分12分）

（注意：

在试题卷上作答无效）

已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

20．（本小题满分12分）

（注意：

在试题卷上作答无效）

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：

逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：

先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；

（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．

21．（本小题满分12分）

（注意：

在试题卷上作答无效）

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

22．（本小题满分12分）

（注意：

在试题卷上作答无效）

设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：

函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：

；

（Ⅲ）设，整数．证明：

．

参考答案

一、选择题

1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B

7、D 8、A 9.D 10.D． 11.B． 12.B.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13.答案：

9． 14.答案：

2. 15.答案：

. 16.答案：

.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解析：

（Ⅰ）由正弦定理得

a=

acosB-bcosA=（）c

=

=

=

依题设得

解得tanAcotB=4

（II）由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0

tan（A-B）=

=

≤，

且当tanB=时，上式取等号，因此tan（A-B）的最大值为

18．解：

（I）作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，

由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，

从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，

由三垂线定理知，AD⊥CE

（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。

作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE

故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°

由CE=，得CF=

又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形

作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。

由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，

故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。

CG=

GE=

cos∠CGE=

所以二面角C-AD-E为arccos（）

解法二：

（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.

设A（0,0,t），由已知条件有

C（1,0,0）,D（1,,0）,E（-1,,0）,

所以，得AD⊥CE

（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，

设F（x,0,z）则=（x-1,0,z）,

故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，

∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°

由CE=，得CF=

又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0，）

作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|

故G[]

又

所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。

由cos（）=

知二面角C-AD-E为arccos（）

（19）解：

（Ⅰ）f´（x）=3x2+2ax+1，判别式Δ=4（a2-3）

（i）若a>或a<，则在上f´（x）>0，f（x）是增函数；

在内f´（x）<0，f（x）是减函数；

在上f´（x）>0，f（x）是增函数。

（ii）若0，故此时f（x）在R上是增函数。

（iii）若a=，则f´（）=0，且对所有的x≠都有f´（x）>0，故当a=时，f（x）在R上是增函数。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a>或a<时，f（x）在内是减函数。

因此 ≤ ①

且 ≥ ②

当|a|>时，由①、②解得a≥2

因此a的取值范围是[2,+∞）。

（20）解：

记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，

B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，

A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。

依题意知A2与B2独立。

（Ⅰ）

，，。

P（）=P（A1+A2·B2）

=P（A1）+P（A2·B2）

=P（A1）+P（A2）·P（B2）

=

=

所以P（A）=1-P（）==0.72

（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.

P（B1）=，P（B2）=，P（ξ=2）=P（B1）=，P（ξ=3）=P（B2）=，

所以Eξ=（次）。

（21）解：

（Ⅰ）设双曲线方程为（a>0,b>0），右焦点为F（c,0）（c>0），则c2=a2+b2

不妨设l1：

bx-ay=0，l2：

bx+ay=0

则 ，

。

因为2+2=2，且

=2-，

所以2+2=（2-）2，

于是得tan∠AOB=。

又与同向，故∠AOF=∠AOB，

所以

解得 tan∠AOF=，或tan∠AOF=-2（舍去）。

因此 。

所以双曲线的离心率e==

（Ⅱ）由a=2b知，双曲线的方程可化为

x2-4y2=4b2①

由l1的斜率为，c=b知，直线AB的方程为

y=-2（x-b）②

将②代入①并化简，得

15x2-32bx+84b2=0

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2），则

x1+x2=，x1·x2=③

AB被双曲线所截得的线段长

l=④

将③代入④，并化简得l=，而由已知l=4，故b=3，a=6

所以双曲线的方程为

22、解：

（I）当0

f′（x）=1-lnx-1=-lnx>0

所以函数f（x）在区间（0,1）是增函数，

（II）当0x

又由（I）有f（