全国高考文科全国卷数学试题及答案.doc
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学卷3
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
2．复平面内表示复数的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：
万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
A．月接待游客逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4．已知，则=
A． B． C． D．
5．设满足约束条件，则的取值范围是
A．[-3，0] B．[-3，2] C．[0，2] D．[0，3]
6．函数的最大值为
A． B．1 C． D．
7．函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
8．执行右面的程序框图，为使输出的值小于91，则输入的正整数的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A． B．
C． D．
10．在正方体中，为棱的中点，则
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数有唯一零点，则=
A． B． C． D．1
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，且，则=.
14．双曲线的一条渐近线方程为，则=.
15．的内角的对边分别为。
已知，则=_________。
16．设函数则满足的的取值范围是__________。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：
AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
20．（12分）
在直角坐标系中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0,1）.当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？
说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
21．（12分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
（1）写出的普通方程：
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：
，为与的交点，求的极径．
23．[选修4—5：
不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A
7．D 8．D 9．B 10．C 11．A 12．C
二、填空题
13．2 14．5 15．75° 16．
三、解答题
17．解：
（1）因为，故当时，
两式相减得
所以
又由题设可得
从而的通项公式为
（2）记的前项和为
由
（1）知
则
18．解：
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间[20,25），则；
若最高气温低于20，则
所以，的所有可能值为900,300，-100
大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此大于零的概率的估计值为0.8
19．解：
（1）取的中点，连结，
因为，所以
又由于是正三角形，故
从而平面，故
（2）连结
由
（1）及题设知，所以
在中，
又，所以
，故
由题设知为直角三角形，所以
又是正三角形，且，所以
故为的中点，从而到平面的距离为到平面的距离的，四面体的体积为四面体的体积的，即四面体与四面体的体积之比为1:
1
20．解：
（1）不能出现的情况，理由如下：
设，则满足，所以
又的坐标为（0,1），故的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现的情况
（2）BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为
由
（1）可得，所以AB的中垂线方程为
联立又，可得
所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为，半径
故圆在轴上截得的弦长为，即过A,B,C三点的圆在轴上截得的弦长为定值。
21．解：
（1）f（x）的定义域为，
若，则当时，，故在单调递增
若，则当时，；当时，
故在单调递增，在单调递减。
（2）由
（1）知，当时，在取得最大值，最大值为
所以等价于，即
设，则
当时，；当，。
所以在（0,1）单调递增，在单调递减。
故当时，取得最大值，最大值为
所以当时，
从而当时，，即
22．解：
（1）消去参数得的普通方程；消去参数得的普通方程
设，由题设得消去得
所以的普通方程为
（2）的极坐标方程为
联立得
故，从而
代入得，所以交点的极径为
23．解：
（1）
当时，无解；
当时，由得，，解得；
当时，由解得
所以的解集为
（2）由得，而
且当时，
故的取值范围为
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