全国高中数学联赛一试试题及参考答案版.doc

全国高中数学联赛一试试题及参考答案版.doc

《全国高中数学联赛一试试题及参考答案版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛一试试题及参考答案版.doc（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

２０１２年全国高中数学联赛试题（A卷）word

一、填空题：

本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．

１．设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是．

解:

方法1:

设则直线的方程为

即

由

又所以故

２．设的内角的对边分别为，且满足，

则的值是.

解:

由题设及余弦定理得

即

故.

３．设，则的最大值是.

解:

不妨设则

因为

所以

当且仅当时上式等号同时成立.

故

4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是.

解:

由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得

当且仅当时等号成立.故的最大值为1.

5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．

解:

如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角

的平面角,则,从而,

因为

所以即

所以,故

6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

解:

由题设知,则

因此,原不等式等价于

因为在上是增函数,所以即

又所以当时,取得最大值

因此,解得

故的取值范围是

７．满足的所有正整数的和是．

解:

由正弦函数的凸性,有当时,

由此得

所以

故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.

８．某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）

解:

用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为

.于是,有,即

由知，是首项为，公比为的等比数列。

所以，即，故

二、解答题：

本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

９．（本小题满分１６分）

已知函数

（１）若对任意，都有，求的取值范围；

（２）若，且存在，使得，求的取值范围．

解:

（1）

令则分

对任意,恒成立的充要条件是

分

（2）因为所以

所以分

因此

于是,存在,使得的充要条件是

故的取值范围是分

１０．（本小题满分２０分）

已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有

（１）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;

（２）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，

求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

解:

（1）当时,,由得.

当时,,由得或………………5分

当时,

若得或;若得;

综上,满足条件的三项数列有三个:

1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分

（2）令则

从而

两式相减,结合得

当时,由

（1）知;

当时,

即

所以或……………………………………15分

又所以…………20分

１１．（本小题满分２０分）

如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．

（１）求证：

为定值；

（２）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．

解:

因为

所以山的共线………………………………………5分

如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有

（定值）……………………………10分

（2）设其中

则.

因为

所以…………………………………………15分

由

（1）的结论得

所以

从而

故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别

为…………………………………………………20分

6