全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案.doc

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2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题（每题分）

、若的每个质因子都是某个正整数等差数列中的项，则的最大值是．

、若，，则的最小值为　．

、若，则．

、如果一个正方体与一个正四面体的表面面积（各面面积之和）相等，则其体积之比．

、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和的最小值是．

、函数的值域是　．

、设合数满足：

，而的数字和为质数，就称合数为“山寨质数”，

则这种“山寨质数”的个数是．

、将集合中的元素作全排列，使得除了最左端的一个数之外，对于其余的每个数，在的左边某个位置上总有一个数与之差的绝对值为，那么，满足条件的排列个数为．

、（20分）设直线与抛物线交于点，若，求抛物线方程以及的面积．

、（20分）如图，四边形中，分别是的中点，是对角线上的一点；直线分别交的延长线于．

证明：

线段被直线所平分．

、（20分）在非钝角三角形中，证明：

．

、（26分）试确定，是否存在这样的正整数数列，满足：

，且对每个，皆有或；而其各项的值恰好构成的一个排列？

证明你的结论．

1、答案：

．

解：

，若皆是某正整数等差数列中的项，则公差应是

与的公因数，为使取得最大，则其首项和公差都应取尽可能大的数，于是，所以的最大值是．

2、答案：

．

解：

据柯西不等式，．

3、答案：

．

解：

因，则

所以，，故．

4、答案：

．

解：

记表面面积为（平方单位），则正方体每个面的面积为，其边长为，所以

；正四面体每个面的面积为，设其边长为，则由，得；

于是，因此．

5、答案：

．

解：

设椭圆方程为，，椭圆中心到长、短轴端点距离为，

到焦点距离满足：

，到准线距离满足：

，由于组成勾股数，

满足的勾股数组有

以及，其中只有与，而使得

的值为最小，这时有．

6、答案：

．

解：

的定义域为，故可设，

则，

而，这时，因此．

7、答案：

个．

解：

用表示的数字和；而表示山寨为质数的合数的集合．当时，，不大于的质数共有个，它们是：

，山寨为的合数有

，而；

，，；

共得个山寨质数．

8、答案：

．（即个）．

解：

设对于适合条件的某一排列，排在左边的第一个元素为，，则在其余个数中，大于的个数，必定按递增的顺序排列；而小于的个数，必定按递降的顺序排列（位置不一定相邻）

事实上，对于任一个大于的数，设，如果排在的左边，

则与相差的另一数就必须排在的左边；同样，与相差的另一数又必须排在的左边；…，那么，该排列的第二个数不可能与相差，矛盾！

因此必定排在的右边．

用类似的说法可得，小于的个数，必定按递降的顺序排列；

由于当排在左边的第一个元素确定后，右边还有个空位，从中任选个位置填写大于的数，（其余个位置则填写小于的数），选法种数为；而当位置选定后，则填数方法随之唯一确定，因此所有排法种数为．

二、解答题

9、解：

设交点，由

与，得，

故有，

以及．

因，即，所以，即

，化简得，因此抛物线方程为

，从而交点坐标为：

，

，

因此．

10、证：

设交于，直线截，则；为证是线段的中点，只要证，…①，

直线截，

得，即…②，

直线截，则有，

即…③，

②③相加得，即，也即，因此结论得证．

11、证一：

．

这里用到，在非钝角三角形中，任两个内角之和不小于，所以由，得，因此，同理

而，不能同时为．从而结论得证．

证二：

；

（这是由于，锐角三角形中，任两个内角之和大于，而任一个半角小于；）

所以．

证三：

令，则，且

；

即要证　… ①，因为，

，

故①式即　，也即，

即 … ②

而因，故，所以，

即．

此式即为 … ③

由③立知②式成立（③式强于②式），因此命题得证．

12、解：

存在．由于，而，（即有）；

我们注意到，“差”运算具有“平移性”，即是说，如果或，那么，对任何整数，也有或；

为此，先将集合中的数排成一个圈，使得圈上任何相邻两数之差皆为或，如图所示．

将此圈从任一间隙处剪开，铺成的线状排列，都满足或，

为将数列锁定，在前面添加一项，使数列也满足条件，我们可选择与数相邻的一个间隙剪开；例如从右侧间隙剪开，并按顺时针排列，就成为：

；，

；

若从左侧间隙剪开，并按逆时针排列，则成为：

；；

这两种排列都满足或；

记分段数列，

，而分段数列

，，

将这些段作如下连接：

，所得到的数列满足条件．

因为，；对其中任意两个邻项，若属于同一个分段，显然有或；若相邻项属于两个相邻段

与，则是的首项：

即，而是的末项，即，这时有

，并且，

因此，数列满足条件．

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