浙教版八年级数学下册特殊四边形综合提高讲义Word文档下载推荐.docx
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∴△GFP≌△HDP,
∴GP＝HP,GF＝HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC,（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60
∴∠GCP＝60°
3）在
（2）中得到的两个结论仍成立．
如图3，延长GP到H，使PH＝PG，
连接CH,CG,DH,
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD,
∴△GFP≌△HDP,
∴GF＝HD,∠GFP＝∠HDP,
∵∠GFP＋∠PFE＝120°
∠PFE＝∠PDC,
∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB,∠ADC＝∠ABC＝60°
点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC,
∴CH＝CG,∠DCH＝∠BCG,
∴∠DCH＋∠HCB＝∠BCG＋∠HCB＝120°
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG,PH＝PG，∴PG⊥PC,∠GCP＝∠HCP＝60°
∴PG＝3．即PG＝3PC．
PC
【点评】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
例2
如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BEBF，过点B作AE
连接DG，在△ABG和△ADG中，
ABAD
DACBAC45，
AGAG
∴△ABG≌△ADG（SAS），
∴BGDG，23，
∵BG
AE，
∴BAE
290，
∵BAD
BAE4
90，
∴2
34，
∵GM
CF，
∴BCF
190，
又BCF
BFC90，
∴1
BFC2，
3，
在△ADG中，DGC
345
∴DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、
M三点共线，
∵3
4（已证），
∴AM
DM，
∵DM
DGGMBG
GM，
BGGM．
如图，在菱形ABCD中，连接NM，NP．
（1）若B60，这时点
（2）求证：
NMNP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求
1）∵MPAB交边CD于点P，B60，点P与点C重合，
∴NPM30，BMP90，
∵N是BC的中点，∴MNPN，
∴NMPNPM30；
（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，
∴BMNE，
∵点N是线段BC的中点，∴BNCN，
在△MNB和△ENC中，
BMNE
MNBENC，
BNCN
∴△MNB≌△ENC，
∴MNEN，
即点N是线段ME的中点，
∵MPAB交边CD于点P，
∴MPDE，
∴MPE90，
1
∴PNMNME；
2
（3）如图2
∵四边形ABCD是菱形，∴ABBC，又M，N分别是边AB，BC的中点，
∴MBNB，
BMNBNM，
由
（2）知：
△MNB≌△ENC，
∴BMN
BNM
E
CNE，
又∵PN
MNNE，
∴NPE
E，
设BMN
CNE
NPEx，
则NCP
2x，
NPC
x，
①若PN
PC，则
PNC
NCP
在△PNC
中，2x
2xx
180，
解得：
x
36，
∴B
NPC2xx
363108
②若PC
NC，则
xx
x45，
∴BPNCNPCxx454590
教师备课提示】针对变式题的例题，每一种的变式所对应的解题方法都是类似的，只要能够掌握其中的一种变式的解决思路，其他的变式的解题思路也就类似了．
例3
如图3-1，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若ABC120.
（1）求出线段PG与PC的位置关系及PCG的大小；
（2）将图3-1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图3-2）．你在
（1）中得到的两个结论是否仍成立？
（1）PGPC，PCG30；
如图①，延长GP交DC于点H，
∵在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE//DC，AE//GF，∴DC//GF，∴PDHPFG，
PDHPFG
在△PDH和△PFG中，PDPF
DPHFPG
∴△PDH≌△PFG（ASA），
∴DHGF，PHPG，
∵BGGF，∴DHBG，∵DCBC，
∴HCGC，∴△GCH是等腰三角形，
∴PGPC，PCGPCH，
∵ABC120，
∴BCD60，
∴PCG30；
（2）
（1）中两个结论仍成立；
如图②，延长GP交AD于点H，连接CG，
DCBC
例4
（1）证明：
如图1，∵AF平分BAD，∴BAFDAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，
∴DAFCEF，BAFF，
∴CEFF.
∴CECF.
（2）连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，ABC90，∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分BAD，
∴DAFBAF45，
∵DCB90，DF//AB，
∴DFA45，ECF90
∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，
∴EGCGFG，CGEF，
∵△ABE为等腰直角三角形，ABDC，
∴BEDC，
∵CEFGCF45，∴BEGDCG135EGCG
在△BEG与△DCG中，∵BEGDCG
BEDC
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BGDG∵CGEF
∴DGC又∵DGC
∴BGA
∴△DGB为等腰直角三角形，
∴BDG45.
（3）证法同2，如图3．
【教师备课笔记】本题就是考查利用已知条件通过辅助线构造全等三角形的知识．
在菱形ABCD中，ABC60，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CFAE，连接BE、EF．
（1）
（2）线段
60，
（1）∵四边形ABCD为菱形，∴ABBC，又∵ABC∴△ABC是等边三角形，
∵E是线段AC的中点，
图3：
BE
图2证明如下：
过点E作EG//BC，交AB于点G，∵四边形ABCD为菱形，
∴ABBC，又∵ABC60，∴△ABC是等边三角形，∴ABAC，ACB60，又∵EG//BC，
∴AGEABC60，又∵BAC60，∴△AGE是等边三角形，∴AGAE，∴BGCE，又∵CFAE，∴GECF，又∵BGEECF120，∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BEEF；
图3证明如下：
过点E作EG//BC交AB延长线于点G，∵四边形ABCD为菱形，
∴ABBC，又∵ABC60，∴△ABC是等边三角形，
∴ABAC，ACB60，又∵EG//BC，
∴AGEABC60，又∵BAC60，∴△AGE是等边三角形，∴AGAE，∴BGCE，又∵CFAE，∴GECF，又∵BGEECF60，
∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BEEF．
【教师备课笔记】本题就是考查辅助线构造全等三角形的知识．
在菱形ABCD中，DAB120，点E平分DC，点P在BD上，且PEPC1，那
么边AB长的最大值是
如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连
①③④；
连接OD即可．
已知：
矩形ABCD中ADAB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD
于点M、N（如图3-1）．
1）求证：
BMDN；
连接CN，求证：
2）如图3-2，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，四边形AMCN是菱形；
3）在
（2）的条件下，若
△CDN的面积与△CMN的面积比为1:
3，求MN的值．DN
∴DN:
CM1:
3，
设DNk，则CNCM3k，
过N作NGMC于点G，
则CGDNk，MGCMCG2k，NGCN2CG29k2k222k
∴MNMG2NG24k28k223k∴MN23k23．
DN
在△ABC中，BAC90，ABAC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图4-1，当点D在线段BC上时，求证：
①BDCF．②CFBCCD．
（2）如图4-2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、
CD三条线段之间的关系；
（3）如图4-3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方
形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
（1）证明：
①∵BAC90，ABAC，
∴ABCACB45，
∵四边形ADEF是正方形，
∴ADAF，DAF90，
∵BACBADDAC90，
DAFCAFDAC90，
∴BADCAF，
ABAC
在△BAD和△CAF中，BADCAF，
ADAF
∴△BAD≌△CAF（SAS），
ACFABD45，
ACFACB90，
∴BD
CF；
②由①
△BA
D≌△CAF
可得
BDCF，
∵BD
BC
CD，
∴CF
CD；
（2）与
（1）
同理可得
BD
CF，
所以，
CF
BCCD；
（3）①与
（1）同理可得，BDCF，所以，CFCDBC；
②∵BAC90，ABAC，
∴ABCACB45，则ABD18045135，∵四边形ADEF是正方形，
∵BACBAFCAF90，
DAFBADBAF90，
在△BAD和△CAF中，BADCAF
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴ACFABD18045135，∴FCDACFACB90，则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OCDF，
DF，
∵在正方形ADEF中，OAAE，AE
∴OCOA，
∴△AOC是等腰三角形．
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