万有引力与航天专题复习.doc

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专题：

万有引力与航天

一、开普勒行星运动定律

（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道是_____,太阳处在____上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆轨道定律。

（2）对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的____.这就是开普勒第二定律，又称面积定律。

（3）所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值____。

这就是开普勒第三定律，又称周期定律。

若用R表示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则（k是一个与行星无关的量）。

二、万有引力定律

1．内容：

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与成正比，与它们之间成反比．

2．公式：

F＝，其中G＝N·m2/kg2，叫引力常量．

3．适用条件：

公式适用于间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到间的距离．

【例】1、（2009·浙江高考）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）

A．太阳引力远大于月球引力B．太阳引力与月球引力相差不大

C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T。

若以R表示月球的半径，则

A.卫星运行时的向心加速度为B.卫星运行时的线速度为

C．物体在月球表面自由下落的加速度为D．月球的第一宇宙速度为

三、人造卫星

1、三种宇宙速度

宇宙

速度

数值（km/s）

意义

第一宇宙速度

7.9

卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）．若7.9km/s≤v<11.2km/s，物体绕运行（环绕速度）

第二宇宙速度

11.2

物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2km/s≤v<16.7km/s，

物体绕运行（脱离速度）

第三宇

宙速度

16.7

物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7km/s，物体将脱离

在宇宙空间运行（逃逸速度）

补充：

第一宇宙速度的理解和推导

1．由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要重力势能。

根据论述可推导如下：

或

其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，注意

（1）三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度。

（2）第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度

【例】1、某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？

2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 （）

A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关

C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力

2.近地卫星

所谓近地卫星，是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。

它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大________的速度。

3、同步卫星

（1）轨道平面一定：

轨道平面与共面．

（2）周期一定：

与周期相同，即T＝24h.

（3）角速度一定：

与的角速度相同．

（4）高度一定：

由G＝m（R＋h）得同步卫星离地面的高度h＝－R.≈3.56×107m

（5）速率一定：

v＝

（6）向心加速度大小一定

【例】据报道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（）

A．运行速度大于7.9km/s

B．离地面高度一定，相对地面静止

C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

4、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系

①由得_____________,所以r越大，_______

②由得=_______，所以r越大，_______

③由得T=_____，所以r越大，T_______

万有引力定律应用的基本方法：

（1）把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供．

“万能”连等式：

G＝man=m＝mω2r＝m（）2r＝m（2πf）2r

（2）不考虑中心天体的自转。

黄金代换式：

考向一：

天体的质量M、密度ρ的估算

（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，

由G＝m（）2r，可得天体质量为：

M＝.

该中心天体密度为：

ρ＝＝＝（R为中心天体的半径）．

当卫星沿中心天体表面运行时，r＝R，则ρ＝.

（2）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

由于G＝mg，故天体质量M＝，

天体密度ρ＝＝＝.

【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为（）

A．1.8×103kg/m3　　B．5.6×103kg/m3　C．1.1×104kg/m3D．2.9×104kg/m3　

考向二：

卫星的运行和变轨问题

1．人造卫星的动力学特征

万有引力提供向心力．即G＝m＝mrω2＝m（）2r

2．人造卫星的运动学特征

（1）向心加速度，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。

（2）由线速度v＝，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。

（3）角速度ω＝，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。

（4）周期T＝2π，随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。

【例】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．下列说法中正确的是（）

A．a、b的线速度大小之比是∶1

B．a、b的周期之比是1∶2

C．a、b的角速度大小之比是3∶4

D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4

3．卫星的环绕速度和发射速度

不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即发射速度＞环绕速度，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．

4．人造地球卫星的超重和失重

（1）人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动．这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．

（2）人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态．在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生．因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：

天平、水银气压计等）

5.卫星的变轨

卫星做匀速圆周运动时满足：

＝ma=＝mrω2＝mr（）2

当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时，卫星就会变轨，即当F引>时,卫星向近地心的轨道运动,即做向心运动;当F引<时,卫星向远地心的轨道运动,即做离心运动。

变轨时应从两方面考虑：

一是中心天体提供的引力F引=，在开始变轨时F引不变；

二是飞船所需要的向心力F向=，可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。

（1）当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加．

（2）当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝知

运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少．（卫星的发射和回收就是利用了这一原理）

【例】1、如图4－4－2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是（　　）

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c

D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大

2、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2（r2

A．Ek2T1

C．Ek2>Ek1，T2Ek1，T2>T1

3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）

轨道Ⅰ

地球

轨道Ⅱ

Q

P

（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（）

A．飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力

B．飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力

C．飞船在轨道Ⅰ上P点的速度小于轨道Ⅱ上P的速度

D、飞船在轨道Ⅰ上P点的加速度小于轨道Ⅱ上P的加速度

（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（）

A．从较低轨道上加速B.从较高轨道上加速

C.从同一轨道上加速D.从任意轨道上加速

考向三：

“双星模型”问题

m1

m2

r1

r2

O

ω

在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．如图

（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力

（2）具有相同的周期T和角速度

（3）轨道半径和质量成反比

（4）双星总质量（其中L为双星间距，T为周期）

【例】如图4－4－6，质量分别为m和