2016年山东省高考数学试卷-(理科).doc
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2016年山东省高考数学试卷(理科)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.
1.(5分)(2016•山东)若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i
2.(5分)(2016•山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(0,1) C.(﹣1,+∞) D.(0,+∞)
3.(5分)(2016•山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
4.(5分)(2016•山东)若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
5.(5分)(2016•山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.+π B.+π C.+π D.1+π
6.(5分)(2016•山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(5分)(2016•山东)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)的最小正周期是( )
A. B.π C. D.2π
8.(5分)(2016•山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
9.(5分)(2016•山东)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x>时,f(x+)=f(x﹣).则f(6)=( )
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2
10.(5分)(2016•山东)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
二、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(5分)(2016•山东)执行如图的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为 .
12.(5分)(2016•山东)若(ax2+)5的展开式中x5的系数是﹣80,则实数a= .
13.(5分)(2016•山东)已知双曲线E:
﹣=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
14.(5分)(2016•山东)在[﹣1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x﹣5)2+y2=9相交”发生的概率为 .
15.(5分)(2016•山东)已知函数f(x)=,其中m>0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
三、解答题,:
本大题共6小题,共75分.
16.(12分)(2016•山东)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)=+.
(Ⅰ)证明:
a+b=2c;
(Ⅱ)求cosC的最小值.
17.(12分)(2016•山东)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.
(I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:
GH∥平面ABC;
(Ⅱ)已知EF=FB=AC=2AB=BC,求二面角F﹣BC﹣A的余弦值.
18.(12分)(2016•山东)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
19.(12分)(2016•山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(I)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.
20.(13分)(2016•山东)已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.
21.(14分)(2016•山东)平面直角坐标系xOy中,椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率是,抛物线E:
x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交与不同的两点A,B,线段AB的中点为D,直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
(i)求证:
点M在定直线上;
(ii)直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求的最大值及取得最大值时点P的坐标.
2016年山东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.
1.(5分)(2016•山东)若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
【专题】计算题;规律型;转化思想;数系的扩充和复数.
【分析】设出复数z,通过复数方程求解即可.
【解答】解:
复数z满足2z+=3﹣2i,
设z=a+bi,
可得:
2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i.
解得a=1,b=﹣2.
z=1﹣2i.
故选:
B.
【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力.
2.(5分)(2016•山东)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(0,1) C.(﹣1,+∞) D.(0,+∞)
【考点】并集及其运算.菁优网版权所有
【专题】计算题;集合思想;数学模型法;集合.
【分析】求解指数函数的值域化简A,求解一元二次不等式化简B,再由并集运算得答案.
【解答】解:
∵A={y|y=2x,x∈R}=(0,+∞),
B={x|x2﹣1<0}=(﹣1,1),
∴A∪B=(0,+∞)∪(﹣1,1)=(﹣1,+∞).
故选:
C.
【点评】本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.
3.(5分)(2016•山东)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:
小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
【考点】频率分布直方图.菁优网版权所有
【专题】计算题;图表型;概率与统计.
【分析】根据已知中的频率分布直方图,先计算出自习时间不少于22.5小时的频率,进而可得自习时间不少于22.5小时的频数.
【解答】解:
自习时间不少于22.5小时的频率为:
(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,
故自习时间不少于22.5小时的频率为:
0.7×200=140,
故选:
D
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目.
4.(5分)(2016•山东)若变量x,y满足,则x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
【考点】简单线性规划.菁优网版权所有
【专题】计算题;对应思想;数形结合法;不等式.
【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.
【解答】解:
由约束条件作出可行域如图,
∵A(0,﹣3),C(0,2),
∴|OA|>|OC|,
联立,解得B(3,﹣1).
∵,
∴x2+y2的最大值是10.
故选:
C.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.
5.(5分)(2016•山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )
A.+π B.+π C.+π D.1+π
【考点】由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
【专题】计算题;空间位置关系与距离;立体几何.
【分析】由已知中的三视图可得:
该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,进而可得答案.
【解答】解:
由已知中的三视图可得:
该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,
半球的直径为棱锥的底面对角线,
由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=.
故R=,故半球的体积为:
=π,
棱锥的底面面积为:
1,高为1,
故棱锥的体积V=,
故组合体的体积为:
+π,
故选:
C
【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键.
6.(5分)(2016•山东)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
【专题】探究型;空间位置关系与距离;简易逻辑.
【分析】根据空间直线与直线,平面与平面位置关系的几何特征,结合充要条件的定义,可得答案.
【解答】解:
当“直线a和直线b相交”时,“平面α和平面β相交”成立,
当“平面α和平面β相交”时,“直线a和直线b相交”不一定成立,
故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件,
故选:
A
【点评】本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题.
7.(5分)(2016•山东)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)的最小正周期是( )
A. B.π C. D.2π
【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有
【专题】计算题;转化思想;转化法;三角函数的图像与性质.
【分析】利用和差角及二倍角公式,化简函数的解析式,进而可得函数的周期.
【解答】解:
数f(x)=(sinx+cosx)(cosx﹣sinx)=2sin(x+)•2cos(x+)=2sin(2x+),
∴T=π,
故选:
B
【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式,三角函数的周期,难度中档.
8.(5分)(2016•山东)已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为( )
A.4 B.﹣4 C. D.﹣
【考点】平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
【专题】计算题;转化思想;平面向量及应用.
【分析】若⊥(t+),则•(t+)=0