2017年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc

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2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）

一、填空题：

本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1.在等比数列中，，，则的值为.

2.设复数满足，则的值为.

3.设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为.

4.在中，若，且三条边成等比数列，则的值为.

5.在正四面体中，分别在棱上，满足，，且与平面平行，则的面积为.

6.在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.

7.设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线的焦距为4，则的值为.

8.若正整数满足，则数组的个数为.

二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

9.设不等式对所有成立，求实数的取值范围.

10.设数列是等差数列，数列满足，.

（1）证明：

数列也是等差数列；

（2）设数列、的公差均是，并且存在正整数，使得是整数，求的最小值.

11.在平面直角坐标系中，曲线，曲线，经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，求的取值范围.

2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）

一、（本题满分40分）

设实数满足，令，证明：

二、（本题满分40分）

给定正整数，证明：

存在正整数，使得可将正整数集分拆为个互不相交的子集，每个子集中均不存在4个数（可以相同），满足.

三、（本题满分50分）

如图，点是锐角的外接圆上弧的中点，直线与圆过点的切线分别相交于点，与的交点为，与的交点为，与的交点为，求证：

平分线段.

四、（本题满分50分）

设，，集合，求的元素个数的最大值.

一试试卷答案

1.答案：

解：

数列的公比为，故.

2.答案：

解：

设，由条件得，比较两边实虚部可得，解得：

，故，进而.

3.答案：

解：

由条件知，，，

两式相加消去，可知：

，即.

4.答案：

解：

由正弦定理知，，又，于是，从而由余弦定理得：

.

5.答案：

解：

由条件知，平行于，因为正四面体的各个面是全等的正三角形，故，.

由余弦定理得，，

同理有.

作等腰底边上的高，则，故，

于是.

6.答案：

解：

注意中共有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种，

当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：

（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，

（2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有种情况，

（3）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于的有4个，直角顶点位于，的各有一个，共有8种情况.

综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为，进而所求概率为.

7.答案：

解：

二次曲线方程可写成，显然必须，故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则，注意到焦距，可知，又，所以.

8.答案：

574

解：

由条件知，当时，有，对于每个这样的正整数，由知，相应的的个数为，从而这样的正整数组的个数为，

当时，由，知，，进而，

故，此时共有2组.

综上所述，满足条件的正整数组的个数为.

9.解：

设，则，于是对所有成立，由于，，

对给定实数，设，则是关于的一次函数或常值函数，注意，因此等价于，解得

所以实数的取值范围是.

10.解：

（1）设等差数列的公差为，则

所以数列也是等差数列.

（2）由已知条件及

（1）的结果知：

，因为，故，这样

若正整数满足，则

.

记，则，且是一个非零的整数，故，从而.

又当时，有，

综上所述，的最小值为.

11.解：

设，则直线的方程为，代入曲线的方程得，，

化简可得：

①，

由于与交于两个不同的点，故关于的方程①的判别式为正，计算得，

，

因此有，②

设的横坐标分别为，由①知，，，

因此，结合的倾斜角为可知，

，③

由②可知，，故，从而由③得：

注1：

利用的圆心到的距离小于的半径，列出不等式，

同样可以求得②中的范围.

注2：

更简便的计算的方式是利用圆幂定理，事实上，的圆心为，半径为，故.

加试试卷答案

一、

证明：

当时，不等式显然成立

以下设，不妨设不异号，即，那么有

因此

二、

证明：

取，令，

设，则，

故，而，所以在中不存在4个数，满足

三、

证明：

首先证明，即证

连接，因为，

所以，①

由题设，是圆的切线，所以，，又（注意是弧的中点），于是由①知②

因为，所以，

于是③

而④

由②，③，④得，

即

又，

故

设边的中点为，因为，

所以由塞瓦定理知，三线共点，交点即为，故由可得平分线段

四、

解：

考虑一组满足条件的正整数

对，设中取值为的数有个，根据的定义，当时，，因此至少有个不在中，注意到，则柯西不等式，我们有

从而的元素个数不超过

另一方面，取（），（），

则对任意（），有

等号成立当且仅当，这恰好发生次，此时的元素个数达到

综上所述，的元素个数的最大值为160.