2018年全国高考新课标2卷文科数学试题(解析版).doc

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高考真题高三数学

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i（2+3i）=（）

A．3-2i B．3+2i C．-3-2i D．-3+2i

解析：

选D

2．已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）

A．{3} B．{5} C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}

解析：

选C

3．函数f（x）=的图像大致为（）

解析：

选Bf（x）为奇函数，排除A,x>0,f（x）>0,排除D,取x=2,f

（2）=>1,故选B

4．已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·（2a-b）=（）

A．4 B．3 C．2 D．0

解析：

选Ba·（2a-b）=2a2-a·b=2+1=3

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

解析：

选D5人选2人有10种选法，3人选2人有3中选法。

6．双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）

A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x

解析：

选Ae=c2=3a2b=a

7．在ΔABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）

A．4 B． C． D．2

解析：

选AcosC=2cos2-1=-AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=32AB=4

8．为计算S=1-+-+……+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）

A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4

解析：

选B

9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）

A． B． C． D．

解析：

选C即AE与AB所成角，设AB=2,则BE=,故选C

10．若f（x）=cosx-sinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是（）

A． B． C． D．π

解析：

选Cf（x）=cos（x+）,依据f（x）=cosx与f（x）=cos（x+）的图象关系知a的最大值为。

11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=600，则C的离心率为（）

A．1- B．2- C． D．-1

解析：

选D依题设|PF1|=c,|PF2|=c,由|PF1|+|PF2|=2a可得

12．已知f（x）是定义域为（-∞,+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）．若f

（1）=2，则f

（1）+f

（2）+f（3）+

…+f（50）=（）

A．-50 B．0 C．2 D．50

解析：

选C由f（1-x）=f（1+x）得f（x+2）=-f（x）,所以f（x）是以4为周期的奇函数，且f（-1）=-f

（1）=-2,f（0）=0,f

（1）=2,f

（2）=f（0）=0,f（3）=f（-1）=-2,f（4）=f（0）=0;f

（1）+f

（2）+f（3）+…+f（50）=f

（1）+f

（2）=2

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y=2lnx在点（1,0）处的切线方程为__________．

解析：

y=2x-2

14．若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为__________．

解析：

9

15．已知tan（α-）=，则tanα=__________．

解析：

由两角差的正切公式展开可得tanα=

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为300，若ΔSAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

解析：

设母线为2a，则圆锥高为a，底面半径为a,依题×2a×2a=8,∴a=2∴V=×π×

（2）×2=8π

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=-15,由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.

（2）由

（1）得Sn=n2-8n=（n-4）2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为−16.

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：

亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,17）建立模型①：

=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,…,7）建立模型②：

=99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？

并说明理由．

解：

（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=-30.4+13.5×19=226.1（亿元）.

利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99+17.5×9=256.5（亿元）.

（2）利用模型②得到的预测值更可靠.

理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线=-30.4+13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.

以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.

19．（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：

PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．

（1）证明：

因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2.

连结OB.因为AB=BC=AC，所以ΔABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=AC=2.

由OP2+OB2=PB2知OP⊥OB.

由OP⊥OB,OP⊥AC知OP⊥平面ABC.

（2）解：

作CH⊥OM，垂足为H．又由

（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以点C到平面POM的距离为．

※也可用等积法求

20．（12分）

设抛物线C:

y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：

（1）由题意得F（1,0），l的方程为y=k（x-1）（k>0）.

设A（x1,y1），B（x2,y2），由得k2x2-（2k2+4）x+k2=0.

Δ=16k2+16>0，故x1+x2=.

所以|AB|=x1+x2+2=+2=8，解得k=-1（舍去），k=1.

因此l的方程为y=x-1.

（2）由

（1）得AB的中点坐标为（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3），即y=-x+5.

设所求圆的圆心坐标为（x0,y0），则解得或

因此所求圆的方程为（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144.

21．（12分）

已知函数f（x）=x3-a（x2+x+1）．

（1）若a=3，求f（x）的单调区间；

（2）证明：

f（x）只有一个零点．

解：

（1）当a=3时，f（x）=x3-3x2-3x-3），f′（x）=x2-6x-3．

令f′（x）=0解得x=3-2或x=3+2．

当x∈（–∞，3-2）∪（3+2，+∞）时，f′（x）>0；

当x∈（3-2，3+2）时，f′（x）<0．

故f（x）在（–∞，3-2），（3+2，+∞）单调递增，在（3-2，3+2）单调递减．

（2）由于x2+x+1>0，所以f（x）=0等价于-3a=0．

设g（x）=-3a，则g′（x）=≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）=-6a+2a-=-6（a-）2-<0，f（3a+1）=>0，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1,2），求l的斜率．

【解析】

（1）曲线C的直角坐标方程为+=1．

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y=tanαx+2-tanα，

当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程（1+3cos2α）t2+4（2cosα+sinα）t-8=0．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点（1,2）在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0．

又由①得2cosα+sinα=0，，于是直线l的斜率k=tanα=-2．

23．[选修4－5：

不等式选讲]（10分）

设函数f（x）=5-|x-a|-|x-2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

【解析】

（1）当a=1时，可得f（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．

（2）f（x）≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f（x）≤1等价于|a+2|≥4．得a≤-6或aα2，

所以a的取值范围是（-∞,-6]∪[2,+∞）．

绝密★启用前

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