2010年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc
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2010年辽宁省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2010•辽宁）已知A、B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（∁UB）∩A={9}，则A等于（ ）
A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．菁优网版权所有
【分析】由韦恩图可知，集合A=（A∩B）∪（CUB∩A），直接写出结果即可．
【解答】解：
因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为CUB∩A={9}，所以9∈A，选D．本题也可以用Venn图的方法帮助理解．
故选D．
【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力．
2．（5分）（2010•辽宁）设a，b为实数，若复数，则（ ）
A． B．a=3，b=1 C． D．a=1，b=3
【考点】复数相等的充要条件．菁优网版权所有
【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．
【解答】解：
由可得1+2i=（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，
故选A．
【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．
3．（5分）（2010•辽宁）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．
【解答】解：
记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品（A1）与仅第二个实习生加工一等品（A2）两种情况，
则P（A）=P（A1）+P（A2）=，
故选B．
【点评】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系（对立，互斥，相互独立）．
4．（5分）（2010•辽宁）如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，满足n≥m，那么输出的P等于（ ）
A．Cnm﹣1 B．Anm﹣1 C．Cnm D．Anm
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【分析】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式，考查了学生的视图能力以及观察、推理的能力，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是利用循环计算并输出变量P的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：
第一次循环：
k=1，p=1，p=n﹣m+1；
第二次循环：
k=2，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）；
第三次循环：
k=3，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）
…
第m次循环：
k=m，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n
此时结束循环，输出p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n=Anm
故选D
【点评】要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键．
5．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；待定系数法．
【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．
【解答】解：
将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为
=，
所以有=2kπ，即，
又因为ω＞0，所以k≥1，
故≥，
故选C
【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．
6．（5分）（2010•辽宁）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（ ）
A． B． C． D．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质．菁优网版权所有
【分析】先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5．
【解答】解：
由a2a4=a32=1，得a3=1，
所以S3==7，
又q＞0，解得=2，即q=．
所以a1==4，
所以=．
故选B．
【点评】本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．
7．（5分）（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A． B．8 C． D．16
【考点】抛物线的简单性质；抛物线的定义．菁优网版权所有
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：
抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．
【解答】解：
抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，
所以点、，从而|PF|=6+2=8
故选B．
【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．
8．（5分）（2010•辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
【考点】向量在几何中的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．
【解答】解：
=
=•
=；
故选C．
【点评】本题考查三角形的面积公式；同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．
9．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．
【解答】解：
设双曲线方程为，
则F（c，0），B（0，b）
直线FB：
bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，
所以，即b2=ac
所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，
所以或（舍去）
【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．
10．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）
A．[0，） B． C． D．
【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．
【解答】解：
因为y′===，
∵，
∴ex+e﹣x+2≥4，
∴y′∈[﹣1，0）
即tanα∈[﹣1，0），
∵0≤α＜π
∴≤α＜π
故选：
D．
【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．
11．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】初看本题，似乎无从下手，但从题目是寻求充要条件，再看选项会发现构造二次函数求最值．
【解答】解：
由于a＞0，令函数，此时函数对应的开口向上，
当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b，那么x0═，ymin=，
那么对于任意的x∈R，都有≥=
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．
12．（5分）（2010•辽宁）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）
【考点】棱锥的结构特征．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围
【解答】解：
根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，
有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有2﹣＜＜2+，
即，
即有＜a＜
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；
综上分析可知a∈（0，）；
故选A．
【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2010•辽宁）的展开式中的常数项为 ﹣5 ．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．
【解答】解：
的展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣1）rx6﹣2r，
当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×（﹣20）=﹣20，
当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×15x﹣2=15，
因此常数项为﹣20+15=﹣5
故答案为﹣5
【点评】本题考查等价转化的能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
14．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是 （3，8） ．（答案用区间表示）
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；数形结合．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．
【解答】解：
画出不等式组表示的可行域如下图示：
在可行域内平移直线z=2x﹣3y，
当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，
目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；
当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，
目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．
z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．
故答案为：
（3，8）．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
15．（5分）（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ．
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