2015年浙江高考理科数学试题及解析.doc
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分
1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=( )
A.
[0,1)
B.
(0,2]
C.
(1,2)
D.
[1,2]
2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积是( )
A.
8cm3
B.
12cm3
C.
D.
3.(5分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.
a1d>0,dS4>0
B.
a1d<0,dS4<0
C.
a1d>0,dS4<0
D.
a1d<0,dS4>0
4.(5分)(2015•浙江)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.
∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.
∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
5.(5分)(2015•浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
6.(5分)(2015•浙江)设A,B是有限集,定义:
d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数( )
命题①:
对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:
对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)
A.
命题①和命题②都成立
B.
命题①和命题②都不成立
C.
命题①成立,命题②不成立
D.
命题①不成立,命题②成立
7.(5分)(2015•浙江)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( )
A.
f(sin2x)=sinx
B.
f(sin2x)=x2+x
C.
f(x2+1)=|x+1|
D.
f(x2+2x)=|x+1|
8.(5分)(2015•浙江)如图,已知△ABC,D是AB的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α,则( )
A.
∠A′DB≤α
B.
∠A′DB≥α
C.
∠A′CB≤α
D.
∠A′CB≥α
非选择题部分(共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
9.(6分)(2015•浙江)双曲线=1的焦距是 ,渐近线方程是 .
10.(6分)(2015•浙江)已知函数f(x)=,则f(f(﹣3))= ,f(x)的最小值是 .
11.(6分)(2015•浙江)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ,单调递减区间是 .
12.(4分)(2015•浙江)若a=log43,则2a+2﹣a= .
13.(4分)(2015•浙江)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是 .
14.(4分)(2015•浙江)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是 .
15.(6分)(2015•浙江)已知是空间单位向量,,若空间向量满足,且对于任意x,y∈R,,则x0= ,y0= ,|= .
三、解答题:
本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(14分)(2015•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b2﹣a2=c2.
(1)求tanC的值;
(2)若△ABC的面积为3,求b的值.
17.(15分)(2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:
A1D⊥平面A1BC;
(2)求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值.
18.(15分)(2015•浙江)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[﹣1,1]上的最大值.
(1)证明:
当|a|≥2时,M(a,b)≥2;
(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.
19.(15分)(2015•浙江)已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
20.(15分)(2015•浙江)已知数列{an}满足a1=且an+1=an﹣an2(n∈N*)
(1)证明:
1≤≤2(n∈N*);
(2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明(n∈N*).
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
选择题部分(共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)
1.(5分)(2015•浙江)已知集合P={x|x2﹣2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁RP)∩Q=( )
A.
[0,1)
B.
(0,2]
C.
(1,2)
D.
[1,2]
考点:
交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
求出P中不等式的解集确定出P,求出P补集与Q的交集即可.
解答:
解:
由P中不等式变形得:
x(x﹣2)≥0,
解得:
x≤0或x≥2,即P=(﹣∞,0]∪[2,+∞),
∴∁RP=(0,2),
∵Q=(1,2],
∴(∁RP)∩Q=(1,2),
故选:
C.
点评:
此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(5分)(2015•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:
cm),则该几何体的体积是( )
A.
8cm3
B.
12cm3
C.
D.
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
判断几何体的形状,利用三视图的数据,求几何体的体积即可.
解答:
解:
由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体,上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥,
所求几何体的体积为:
23+×2×2×2=.
故选:
C.
点评:
本题考查三视图与直观图的关系的判断,几何体的体积的求法,考查计算能力.
3.(5分)(2015•浙江)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则( )
A.
a1d>0,dS4>0
B.
a1d<0,dS4<0
C.
a1d>0,dS4<0
D.
a1d<0,dS4>0
考点:
等差数列与等比数列的综合.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由a3,a4,a8成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断a1d和dS4的符号.
解答:
解:
设等差数列{an}的首项为a1,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,
由a3,a4,a8成等比数列,得,整理得:
.
∵d≠0,∴,
∴,
=<0.
故选:
B.
点评:
本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和,是基础题.
4.(5分)(2015•浙江)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.
∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.
∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D.
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0
考点:
命题的否定.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
解答:
解:
命题为全称命题,
则命题的否定为:
∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0,
故选:
D.
点评:
本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.
5.(5分)(2015•浙江)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.
解答:
解:
如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=﹣1,
过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE于E,交y轴于M,
由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE,
则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1,
|AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1,
则===,
故选:
A
点评:
本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.
6.(5分)(2015•浙江)设A,B是有限集,定义:
d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数( )
命题①:
对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:
对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)
A.
命题①和命题②都成立
B.
命题①和命题②都不成立
C.
命题①成立,命题②不成立
D.
命题①不成立,命题②成立
考点:
复合命题的真假.菁优网版权所有
专题:
集合;简易逻辑.
分析:
命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可,
③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.
解答:
解:
命题①:
对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>card(A∩B),故“d(A,B)>0”成立,
若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立,
命题②,d(A,B)=card(A∪B)﹣card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)﹣card(B∩C),
∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)﹣card(A∩B)+card(B∪C)﹣card(B∩C)=[card(A∪B)+card(B∪C)]﹣[card(A∩B)+card(B∩C)]
≥card(A∪C)﹣card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,
故选:
A
点评:
本题考查了,元素和集合的关系,以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系,注意本题对充要条件的考查.集合的元素个数,体现两个集合的关系,但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系,属于基础题.
7.(5分)(2015•浙江)存在函数f(x)满足,对任意x∈R都有( )