劳斯霍尔维茨稳定性判据Word格式.docx

劳斯霍尔维茨稳定性判据Word格式.docx

《劳斯霍尔维茨稳定性判据Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《劳斯霍尔维茨稳定性判据Word格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，我们施加一个很小的外力（扰动），圆锥体会稍微产生倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来的状态。

而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的外力（扰动）后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态。

因此，系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了最初的工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。

设系统在初始条件为零时，在单位理想脉冲作用下，这时系统的脉冲响应为c（t）。

若

t→∞时，脉冲响应

这时，线性系统是稳定的。

设系统的特征方程D（s）=0的根为si，由于单位脉冲传递函数的拉氏变换为1，系统输出的拉式变换为：

瞬态响应项表现为衰减、临界和发散三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。

由于输入量只影响到稳态响应，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r（t）是有界的：

|r（t）|<

∞，t≥0

则稳态响应也必定是有界的。

则系统稳定性可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。

一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。

这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。

线性系统的稳定性可以根据闭环极点在S平面内的位置来确定。

设单输入单输出线性系统的微分方程为，即

则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式

来分析。

这时，在任何初始条件下，若满足

则称系统（3.58）是稳定的。

为了决定系统的稳定性，可求出式（3.59）的解。

由数学分析知道，式（3.59）的特征方程式为

设上式有k个实根-pi（i=1，2，…，k），r对共轭复数根（-σj±

jωj）（j=1，2，…，r），k+2r=n，则齐次方程式（3.59）解的一般式为

式中系数Aj，Bj和Cj由初始条件决定。

从式（3.62）可知：

（1）若-pi<

0，-sj<

0（即极点都具有负实部），则式（3.60）成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定的。

（2）若-pi或-sj中有一个或一个以上是正数，则式（3.60）不满足。

当t→∞时，c（t）将发散，系统是不稳定的。

（3）只要-pi中有一个为零，或-sj中有一个为零（即有一对虚根），则式（3.60）不满足。

当t→∞时，系统输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态，这时系统处于稳定的临界状态。

总结上述，可以得出如下结论：

线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数，或具有负的实数部分。

或它的所有特征根，均在S平面面的左半部分（见图3-32）。

表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。

需要指出的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。

如果系统中每个部分都可用线性定常微分方程描述，那么，当系统是稳定时，它在大偏差情况下也是稳定的。

如果系统中有的元件或装置是非线性的，但经线性化处理后可用线性化方程来描述，则当系统稳定时，我们只能说这个系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统仍是稳定的。

判断系统稳定性的条件是根据系统特征方程的根。

但求解高阶特征方程的根是相当麻烦的，往往需要求助于计算机。

实际上，我们只希望了解特征方程的根在S平面上分布情况。

所以，人们就希望能在不求解特征方程的情况下，来确定系统的稳定性。

下面就介绍常用的劳斯判据和赫尔维茨判据。

二、劳斯判据

（一）系统稳定性的初步判别

已知系统的闭环特征方程为

式中所有系数均为实数，且an>

0，则系统稳定的必要条件是系统特征方程的所有系数均为正数。

证明如下：

设式（3.63）有n个根，其中k个实根-pj（j=1，2，…，k），r对复根-si±

jwi（i=1，2，…，r），n=k+2r。

则特征方程式可写为

假如所有的根均在左半平面，即-pj<

0，-σi<

0，则pj>

0，σi>

0。

所以将各因子项相乘展开后，式（3.63）的所有系数都是正数。

根据这一原则，在判别系统的稳定性时，首先检查系统特征方程的系数是否都为正数，假如有任一系数为负数或等于零（缺项），则系统就是不稳定的。

但是，假若特征方程的所有系数均为正数，并不能肯定系统是稳定的，还要做进一步的判别。

因为上述所说的原则只是系统稳定性的必要条件，而不是充分必要条件。

（二）劳斯判据

这是1877年由劳斯（Routh）提出的代数判据。

1.若系统特征方程式

设an>

0，各项系数均为正数。

2.按特征方程的系数列写劳斯阵列表：

表中

直至其余bi项均为零。

按此规律一直计算到n-1行为止。

在计算过程中，为了简化数值运算，可将某一行中的各系数均乘一个正数，不会影响稳定性结论。

3.考察阵列表第一列元素的符号。

假若劳斯阵列表中第一列所有元素均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于S平面的左半平面。

假若第一列元数有负数，则第一列元素的符号的变化次数等于系统在S平面右半平面上的根的个数。

例3.3系统特征方程为

试用劳斯判据判别系统的稳定性。

解从系统特征方程看出，它的所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。

列写劳斯阵列表如下

第一列系数均为正实数，故系统稳定。

事实上，从因式分解可将特征方程写为

其根为-2，-3，

，均具有负实部，所以系统稳定。

例3.3系统特征方程为

第一列系数有两次变号（+1到-6，-6到+5），故系统不稳定，且有两个正实部的根。

例3.4已知系统特征方程式为

解列写劳斯阵列表

劳斯阵列表第一列有负数，所以系统是不稳定的。

由于第一列元素的符号改变了两次（5→－11→174），所以，系统有两个具有正实部的根。

4.两种特殊情况

在劳斯阵列表的计算过程中，如果出现：

（1）劳斯表中某行的第一列的元素为零，其余各列系数不为零（或没有其余项），或不全为零，这时可用一个很小的正数e来代替这个零，从而使劳斯阵列表可以继续运算下去（否则下一行将出现∞）。

第一列零元素的存在（其他元素为正），则说明系统特征方程有一对虚根，系统处干临界状态；

如果第一列元素存在符号变化，则系统不稳定，不稳定根的个数由符号变化次数决定。

例3.5设系统特征方程为

解劳斯阵列表为

由于e的上下两个系数（2和2）符号相同，则说明有一对虚根存在。

上述特征方程可因式分解为

（2）若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。

在这种情况下可做如下处理：

a.利用第k－1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的；

b.求辅助多项式对s的导数，将其系数代替第k行；

c.继续计算劳斯阵列表；

d.令辅助多项式等于零可求得关于原点对称的根。

例3.6系统特征方程为

从上表第一列可以看出，各系数均未变号，所以没有特征根位于右半平面。

由辅助多项式

，求得一对共轭虚根为±

j4。

例3.7系统特征方程式为

解劳斯阵列表如下：

劳斯阵列表第一列变号一次，故有一个根在右半平面。

由辅助多项式：

可得S1,2=±

１，s3,4=±

j2，它们均关于原点对称，其中一个根在S平面的右半平面。

（三）劳斯判据的应用

应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。

另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。

1.稳定裕量的检验

如图3-33所示，令

即把虚轴左移σ1。

将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线s=-σ1）的右边。

如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量σ1。

例3.8检验特征方程式

是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s=-１的右边。

第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。

再令s=z-1，代入特征方程式，得

即

则新的劳斯阵列表

从表中可看出，第一列符号改变一次，故有一个根在Z平面的右半平面，即直线s=-1（即新座标虚轴）的右边，因此稳定裕量不到1。

2.分析系统参数对稳定性的影响

设一单位反馈控制系统如图3-34所示，其闭环传递函数为

系统的特征方程式为

列写劳斯阵列表：

若要使系统稳定，其充要条件是劳斯表的第一列均为正数，即K>

0，30-K>

0

所以0<

K<

30,其稳定的临界值为30。

由此可以看出，为了保证系统稳定，系统的K值有一定限制。

但是为了降低稳态误差，则要求较大的K值，两者是矛盾的。

为了满足两方面的要求，必须采取校正的方法来处理。

例3.9系统特征方程式为

求系统稳定时，参数T的范围？

解劳斯表为

由劳斯表可以看出，要使系统稳定，必须

即T>

25时，系统稳定。

当我被上帝造出来时，上帝问我想在人间当一个怎样的人，我不假思索的说，我要做一个伟大的世人皆知的人。

于是，我降临在了人间。

我出生在一个官僚知识分子之家，父亲在朝中做官，精读诗书，母亲知书答礼，温柔体贴，父母给我去了一个好听的名字：

李清照。

小时侯，受父母影响的我饱读诗书，聪明伶俐，在朝中享有“神童”的称号。

小时候的我天真活泼，才思敏捷，小河畔，花丛边撒满了我的诗我的笑，无可置疑，小时侯的我快乐无虑。

“兴尽晚回舟，误入藕花深处。

争渡，争渡，惊起一滩鸥鹭。

”青春的我如同一只小鸟，自由自在，没有约束，少女纯净的心灵常在朝阳小，流水也被自然洗礼，纤细的手指拈一束花，轻抛入水，随波荡漾，发髻上沾着晶莹的露水，双脚任水流轻抚。

身影轻飘而过，留下一阵清风。

可是晚年的我却生活在一片黑暗之中，家庭的衰败，社会的改变，消磨着我那柔弱的心。

我几乎对生活绝望，每天在痛苦中消磨时光，一切都好象是灰暗的。

“寻寻觅觅冷冷清清凄凄惨惨戚戚”这千古叠词句就是我当时心情的写照。

最后，香消玉殒，我在痛苦和哀怨中凄凉的死去。

在天堂里，我又见到了上帝。

上帝问我过的怎么样，我摇摇头又点点头，我的一生有欢乐也有坎坷，有笑声也有泪水，有鼎盛也有衰落。

我始终无法客观的评价我的一生。

我原以为做一个着名的人，一生应该是被欢乐荣誉所包围，可我发现我错了。

于是在下一轮回中，我选择做一个平凡的人。

我来到人间，我是一个平凡的人，我既不着名也不出众，但我拥有一切的幸福：

我有温馨的家，我有可亲可爱的同学和老师，我每天平凡而快乐的活着，这就够了。

天儿蓝蓝风儿轻轻，暖和的春风带着春的气息吹进明亮的教室，我坐在教室的窗前，望着我拥有的一切，我甜甜的笑了。

我拿起手中的笔，不禁想起曾经作诗的李清照，我虽然没有横溢的才华，但我还是拿起手中的笔，用最朴实的语言，写下了一时的感受：

人生并不总是完美的，每个人都会有不如意的地方。

这就需要我们静下心来阅读自己的人生，体会其中无尽的快乐和与众不同。

“富不读书富不久，穷不读书终究穷。

”为什么从古到今都那么看重有学识之人？

那是因为有学识之人可以为社会做出更大的贡献。

那时因为读书能给人带来快乐。

自从看了《丑小鸭》这篇童话之后，我变了，变得开朗起来，变得乐意同别人交往，变得自信了……因为我知道：

即使现在我是只“丑小鸭”，但只要有自信，总有一天我会变成“白天鹅”的，而且会是一只世界上最美丽的“白天鹅”……

我读完了这篇美丽的童话故事，深深被丑小鸭的自信和乐观所折服，并把故事讲给了外婆听，外婆也对童话带给我们的深刻道理而惊讶不已。

还吵着闹着多看几本名着。

于是我给外婆又买了几本名着故事，她起先自己读，读到不认识的字我就告诉她，如果这一面生字较多，我就读给她听整个一面。

渐渐的，自己的语文阅读能力也提高了不少，与此同时我也发现一个人读书的乐趣远不及两个人读的乐趣大，而两个人读书的乐趣远不及全家一起读的乐趣大。

于是，我便发展“业务”带动全家一起读书……现在，每每遇到好书大家也不分男女老少都一拥而上，争先恐后“抢书”，当我说起我最小应该让我的时候，却没有人搭理我。

最后还把书给撕坏了，我生气地哭了，妈妈一边安慰我一边对外婆说：

“孩子小，应该让着点。

”外婆却不服气的说：

“我这一把年纪的了，怎么没人让我呀？

”大家人你一言我一语，谁也不肯相让……读书让我明白了善恶美丑、悲欢离合，读一本好书，犹如同智者谈心、谈理想，教你辨别善恶，教你弘扬正义。

读一本好书，如品一杯香茶，余香缭绕。

读一本好书，能使人心灵得到净化。

书是我的老师，把知识传递给了我；

书是我的伙伴，跟我诉说心里话；

书是一把钥匙，给我敞开了知识的大门；

书更是一艘不会沉的船，引领我航行在人生的长河中。

其实读书的真真乐趣也就在于此处，不是一个人闷头苦读书；

也不是读到好处不与他人分享，独自品位；

更不是一个人如痴如醉地沉浸在书的海洋中不能自拔。

而是懂得与朋友，家人一起分享其中的乐趣。

这才是读书真正之乐趣呢！

这所有的一切，不正是我从书中受到的教益吗？

我阅读，故我美丽；

我思考，故我存在。

我从内心深处真切地感到：

我从读书中受到了教益。

当看见有些同学宁可买玩具亦不肯买书时，我便想到培根所说的话：

“世界上最庸俗的人是不读书的人，最吝啬的人是不买书的人，最可怜的人是与书无缘的人。

”许许多多的作家、伟人都十分喜欢看书，例如毛泽东主席，他半边床上都是书，一读起书来便进入忘我的境界。

书是我生活中的好朋友，是我人生道路上的航标，读书，读好书，是我无怨无悔的追求。