离散数学图论部分经典试题及答案Word格式.docx
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D．{（a,d）,（a,c）}是边割集
5．如图二所示，以下说法正确的是（）．
A．e是割点B．{a,e}是点割集
C．{b,e}是点割集D．{d}是点割集
6．如图三所示，以下说法正确的是（）．
A．{（a,e）}是割边B．{（a,e）}是边割集
C．{（a,e）,（b,c）}是边割集D．{（d,e）}是边割集
图三
7．设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是（）．
图四
A．（a）是强连通的B．（b）是强连通的
C．（c）是强连通的D．（d）是强连通的
应该填写：
D
8．设完全图K
有n个结点（n≥2），m条边，当（）时，K
中存在欧拉回路．
A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数
9．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=（）．
A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋2
10．无向图G存在欧拉通路，当且仅当（）．
A．G中所有结点的度数全为偶数
B．G中至多有两个奇数度结点
C．G连通且所有结点的度数全为偶数
D．G连通且至多有两个奇数度结点
11．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的（）条边，才能确定G的一棵生成树．
A．
B．
C．
D．
12．无向简单图G是棵树，当且仅当（）．
A．G连通且边数比结点数少1B．G连通且结点数比边数少1
C．G的边数比结点数少1D．G中没有回路．
二、填空题
1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．
2．设给定图G（如图四所示），则图G的点割
集是．
3．若图G=<
中具有一条汉密尔顿回路，
则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S
中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点
数|S|与W满足的关系式为．
4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通
且．
5．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 ．
等于出度
6．设完全图K
有n个结点（n≥2），m条边，当时，K
7．设G是连通平面图，v,e,r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式．
8．设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为．
9．结点数v与边数e满足关系的无向连通图就是树．
10．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去
条边后使之变成树．
11．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为．
12．设G＝<
是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去条边，可以确定图G的一棵生成树．
13．给定一个序列集合{000，001，01，10，0}，若去掉其中的元素，则该序列集合构成前缀码．
三、判断说明题
1．如图六所示的图G存在一条欧拉回路．
2．给定两个图G1，G2（如图七所示）：
（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？
并说明理由．
（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路．
图七
3．判别图G（如图八所示）是不是平面图，
4．设G是一个有6个结点14条边的连
通图，则G为平面图．
四、计算题
1．设图G=<
V，E>
，其中V={a1,a2,a3,a4,a5},
E={<
a1,a2>
，<
a2,a4>
a3,a1>
a4,a5>
a5,a2>
}
（1）试给出G的图形表示；
（2）求G的邻接矩阵；
（3）判断图G是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？
2．设图G=<
，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v2），（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试
（1）画出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（2）求出每个结点的度数；
（4）画出图G的补图的图形．
3．设G=<
，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}，试
（1）给出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数；
（4）画出其补图的图形．
4．图G=<
，其中V={a,b,c,d,e}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（c,d）,（d,e）}，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
5.用Dijkstra算法求右图中A点到其它各点的最短路径。
6．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试
（1）画出相应的最优二元树；
（2）计算它们的权值．
7．给出右边所示二元有序树的
三种遍历结果．
五、证明题
1．若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
2．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数．证明图G与它的补图
中的奇数度顶点个数相等．
3．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加
条边才能使其成为欧拉图．
参考解答
1．B2．D3．C4．C5．A6．D7．D8．C
9．A10．D11．A12．A
1．152．{f}，{c，e}3．W≤|S|
4．所有结点的度数全为偶数5．等于出度
6．n为奇数7．v-e+r=28．3
9．e=v-110．411．5
12．313．0
1．解：
正确．
因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数．
2．解：
（1）图G1是欧拉图．
因为图G1中每个结点的度数都是偶数．
图G2是汉密尔顿图．
因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）：
a（a,b）b（b,e）e（e,f）f（f,g）g（g,d）d（d,c）c（c,a）a
问题：
请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。
（2）图G1的欧拉回路为：
（不惟一）：
v1（v1,v2）v2（v2,v3）v3（v3,v4）v4（v4,v5）v5
（v5,v2）v2（v2,v6）v6（v6,v4）v4（v4,v1）v1
3．解：
图G是平面图．
因为只要把结点v2与v6的连线（v2,v6）拽
到结点v1的外面，把把结点v3与v6的连线
（v3,v6）拽到结点v4,v5的外面，就得到一个平
面图，如图九所示．
4．解：
错误．
不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v-6．”
1．解：
（1）图G是有向图：
（2）邻接矩阵如下：
（3）图G是单侧连通图，也是弱连通图．
（1）图G如图十
（2）邻接矩阵为图十
（3）deg（v1）=2
deg（v2）=3
deg（v3）=4
deg（v4）=3
deg（v5）=2
（4）补图如图十一
图十一
（1）G的图形如图十二
（2）邻接矩阵：
图十二
（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2
（4）补图如图十三：
图十三
（1）G的图形表示如图十四：
图十四
（3）粗线表示最小的生成树，如图十五
如图十五
最小的生成树的权为1+1+2+3=7：
5.解：
注意算法执行过程的数据要完整的表示。
6．解：
（1）最优二叉树如图十六所示：
方法（Huffman）：
从2,3,5,7,11,13,17
19,23,29,31中选2,3为最低层结点，并
从权数中删去，再添上他们的和数，即
5,5,7,11,13,17,19,23,29,31；
再从5,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选
5,5为倒数第2层结点，并从上述数列中
删去，再添上他们的和数，即7,10,11,13,
17,19,23,29,31；
然后，从7,10,11,13,17,19,23,29,31中
选7,10和11,13为倒数第3层结点，并从如图十六
上述数列中删去，再添上他们的和数，即
17,17,24,19,23,29,31；
……
（2）权值为：
2⨯6+3⨯6+5⨯5+7⨯4+11⨯4+13⨯4+17⨯3+19⨯3+23⨯3+29⨯3+31⨯2
=12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=505
7．解：
ａ）前根：
ａ，ｂ，ｄ，ｇ，ｅ，ｈ，ｉ，ｃ，ｆ
ｂ）中根：
ｇ，ｄ，ｂ，ｈ，ｅ，ｉ，ａ，ｃ，ｆ
ｃ）后根：
ｇ，ｄ，ｈ，ｉ，ｅ，ｂ，ｆ，ｃ，ａ
1．证明：
用反证法．设G中的两个奇数度结点分别为u和v．假设u和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点．这与定理3.1.2的推论矛盾．因而u和v一定是连通的．
2．证明：
设
，
．则
是由n阶无向完全图
的边删去E所得到的．所以对于任意结点
，u在G和
中的度数之和等于u在
中的度数．由于n是大于等于2的奇数，从而
的每个结点都是偶数度的（
度），于是若
在G中是奇数度结点，则它在
中也是奇数度结点．故图G与它的补图
中的奇数度结点个数相等．
3．证明：
由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加
条边到图G才能使其成为欧拉图．
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