高中数学复习提纲(总).doc

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第一章集合与简易逻辑 2

第二章函数 4

第三章数列 11

第四章三角函数 15

第五章平面向量 23

第六章不等式 28

第七章立体几何初步 31

第八章直线和圆的方程 41

第九章圆锥曲线方程 44

第十章导数及其应用 49

第十一章统计和概率 51

第十二章复数 60

第一章集合与简易逻辑

集合及其运算

一．集合的概念、分类：

二．集合的特征：

⑴确定性⑵无序性⑶互异性

三．表示方法：

⑴列举法⑵描述法⑶图示法⑷区间法

四．两种关系：

从属关系：

对象、集合；包含关系：

集合、集合

五．三种运算：

交集：

并集：

补集：

六．运算性质：

⑴，．

⑵空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．

⑶若，则，．

⑷，，．

⑸，．

⑹集合的所有子集的个数为，所有真子集的个数为，所有非空真子集的个数为，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为．

简易逻辑

一．逻辑联结词：

1．命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题．

2．逻辑联结词有“或”、“且”、“非”．

3．不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题．

4．真值表：

非p

p且q

P或q

真

假

真

假

真

假

真

假

真

假

二．四种命题：

1．原命题：

若则

逆命题：

若P则q，即交换原命题的条件和结论；

否命题：

若q则p，即同时否定原命题的条件和结论；

逆否命题：

若┑P则┑q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定．

2．四个命题的关系：

⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；

⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；

⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真．

三．充分条件与必要条件

1．“若则”是真命题，记做，

“若则”为假命题，记做，

2．若，则称是的充分条件，是的必要条件

3．若，且，则称是的充分非必要条件；

若，且，则称是的必要非充分条件；

若，且，则称是的充要条件；

若，且，则称是的既不充分也不必要条件．

4．若的充分条件是，则；

若的必要条件是，则．

第二章函数

指数与对数运算

一．分数指数幂与根式：

如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做．负的次方根记做．

1．负数没有偶次方根；

2．两个关系式：

；

3、正数的正分数指数幂的意义：

；

正数的负分数指数幂的意义：

．

4、分数指数幂的运算性质：

⑴；⑵；

⑶；⑷；

⑸，其中、均为有理数，，均为正整数

二．对数及其运算

1．定义：

若，且，，则．

2．两个对数：

⑴常用对数：

，；

⑵自然对数：

，．

3．三条性质：

⑴1的对数是0，即；

⑵底数的对数是1，即；

⑶负数和零没有对数．

4．四条运算法则：

⑴；⑵；

⑶；⑷．

5．其他运算性质：

⑴对数恒等式：

；

⑵换底公式：

；

⑶；；

⑷．

函数的概念

一．映射：

设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．

二．函数：

在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，变化的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值域．

三．函数是由非空数集到非空数集B的映射．

四．函数的三要素：

解析式；定义域；值域．

函数的解析式

一．根据对应法则的意义求函数的解析式；

例如：

已知，求函数的解析式．

二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；

例如：

已知是一次函数，且，函数的解析式．

三．由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式．

函数的定义域

一．根据给出函数的解析式求定义域：

⑴整式：

⑵分式：

分母不等于0

⑶偶次根式：

被开方数大于或等于0

⑷含0次幂、负指数幂：

底数不等于0

⑸对数：

底数大于0，且不等于1，真数大于0

二．根据对应法则的意义求函数的定义域：

例如：

已知定义域为，求定义域；

三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．

函数的值域

一．基本函数的值域问题：

名称

解析式

值域

一次函数

二次函数

时，

反比例函数

，且

指数函数

对数函数

三角函数

二．求函数值域（最值）的常用方法：

函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：

观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．

反函数

一．反函数：

设函数的值域是，根据这个函数中，的关系，用把表示出，得到．若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成．

二．函数存在反函数的条件是：

、一一对应．

三．求函数的反函数的方法：

⑴求原函数的值域，即反函数的定义域

⑵反解，用表示，得

⑶交换、，得

⑷结论，表明定义域

四．函数与其反函数的关系：

⑴函数与的定义域与值域互换．

⑵若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则．

⑶函数与的图像关于直线对称．

函数的奇偶性：

一．定义：

对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数．

二．判断函数奇偶性的步骤：

1．判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；

2．验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．

二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

三．已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性．

奇

偶

奇

偶

奇

偶

奇

偶

五．若奇函数的定义域包含，则．

六．一次函数是奇函数的充要条件是；

二次函数是偶函数的充要条件是．

函数的周期性：

一．定义：

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期．

2．如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．如果函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为．

函数的单调性

一．定义：

一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值，，当时满足：

⑴，则称函数在该区间上是增函数；

⑵，则称函数在该区间上是减函数．

二．判断函数单调性的常用方法：

1．定义法：

⑴取值；⑵作差、变形；⑶判断：

⑷定论：

*2．导数法：

⑴求函数f（x）的导数；

⑵解不等式，所得x的范围就是递增区间；

⑶解不等式，所得x的范围就是递减区间．

3．复合函数的单调性：

对于复合函数，设，则，可根据它们的单调性确定复合函数，具体判断如下表：

增

减

增

减

增

减

增

减

增

4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同．

函数的图像

一．基本函数的图像．

二．图像变换：

将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像

将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像

将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像

将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像

关于轴对称

将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴对称到左侧，可得的图像

将位于轴下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像

三．函数图像自身的对称

关系

图像特征

关于轴对称

关于原点对称

关于轴对称

关于直线对称

关于直线轴对称

关于直线对称

周期函数，周期为

四．两个函数图像的对称

关系

图像特征

与

关于轴对称

与

关于轴对称

与

关于原点对称

与

关于直线对称

与

关于直线对称

与

关于轴对称

第三章数列

数列的基本概念

一．数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项．

二．如果数列中的第项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式．

三．数列的分类：

按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列

按项数可分为有穷数列和无穷数列

四．数列的前项和：

与的关系：

五．如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种方法．

如：

在数列中，，，其中即为数列的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进行证明．

如上述数列，根据递推公式可以得到：

，，，，进一步可猜测．

等差数列

一．定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．

二．通项公式：

若已知、，则；若已知、，则

三．前项和公式：

若已知，，则；若已知、，则

注：

⑴前项和公式的推导使用的是倒序相加法的方法．

⑵在数列中，通项公式，前项和公式均是关于项数的函数，在等差数列通项公式是关于的一次函数关系，前项和公式是关于的没有常数项的二次函数关系．

⑶在等差数列中包含、、、、这五个基本量，上述的公式中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个，可以求出其余基本量．

四．如果、、成等差数列，则称为与的等差中项，且．

五．证明数列是等差数列的方法：

1．利用定义证明：

2．利用等差中项证明：

3．利用通项公式证明：

4．利用前项和公式证明：

六．性质：

在等差数列中，

1．若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，

即：

若，则．

2．若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，

即：

若，则．

3．依次相邻每项的和仍成等差数列，

即：

，，成等差数列．

4．，，，…，，仍成等差数列，其公差为．

三．等比数列

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