近世代数的基础知识.docx

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近世代数的基础知识

近世代数的基础知识

初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classicalalgebra），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。

近世代数（modernalgebra）又称为抽象代数（abstractalgebra），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括：

群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。

下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3．1集合、映射、二元运算和整数

3．1．1集合

集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。

“元素是集合A的元”记作“”，反之，“”表示“不是集合的元”。

设有两个集合A和B，若对A中的任意一个元素（记作）均有，则称A是B的子集，记作。

若且，即A和B有完全相同的元素，则称它们相等，记作。

若，但，则称A是B的真子集，或称B真包含A，记作。

不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种：

一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。

例如：

；

，其中表示元素具有的性质。

本文中常用的集合及记号有：

整数集合；

非零整数集合；

正整数（自然数）集合；

有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。

一个集合A的元素个数用表示。

当A中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。

用表示A是无限集，表示A是有限集。

3．1．2映射

映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1设A，B为两个非空集合，若存在一个A到B的对应关系f，使得对A中的每一个元素x，都有B中唯一确定的一个元素y与之对应，则称f是A到B的一个映射，记作y=f（x）。

y称为x的像，x称为y的原像，A称为f的定义域，B称为f的定值域。

定义2设f是A到B的一个映射

（1）若和均有，则称f是一个单射。

（2）若均有使，则称f是满射。

（3）若f既是单射又是满射，则称f是双射。

3．1．3二元运算

3．1．3．1集合的笛卡儿积

由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3设A，B是两个非空集合，由A的一个元素和B的一个元素可构成一个有序的元素对（a,b），所有这样的元素对构成的集合，称为A与B的笛卡儿积，记作，即。

用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4设S是一个非空集合，若有一个对应规则f，对S中每一对元素和都规定了一个唯一的元素与之对应，即f是的一个映射，则此对应规则就称为S中的一个二元运算，并表示为，其中“”表示运算符，若运算“”是通常的加法或乘法，就分别记作或。

由定义可见，一个二元运算必须满足：

（1）封闭性：

；

（2）唯一性：

是唯一确定的。

定义5设S是一个非空集合，若在S中定义了一种运算（或若干种运算+，，等），则称S是一个代数系统，记作（S，）或（S，+，）等。

3．1．3．2二元关系

我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。

定义6设A，B是两个集合，若规定一种规则R：

使对和对均可确定和是否适合这个规则，若适合这个规则，就说和有二元关系R，记作，否则就说和没有二元关系R，记作。

3．1．2．3等价关系和等价类

等价关系是集合中一类重要的二元关系。

定义7设～是集合A上的一个二元关系，满足以下条件：

（1）对，有～；（反身性）

（2）对，有～～；（对称性）

（3）对，有～和～～。

（传递性）

则称～为A中的一个等价关系。

子集即所有与等价的元素的集合，称为所在的一个等价类，称为这个等价类的代表元。

例如：

设n是一取定的正整数，在整数集合Z中定义一个二元关系如下：

，

这个二元关系称为模的同余（关系），与模同余指和分别用来除所得的余数相同。

同余关系是一个等价关系，每一个等价类记作称为一个同余类或剩余类。

3．1．4整数

在近世代数中整数是最基本的代数系。

这里仅重述有关整数的基本性质和常用概念。

3．1．4．1整数的运算

整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等，这些运算及其性质这里不再赘述。

在整数运算中有以下两个基本的定理：

带余除法定理设，，则存在唯一的整数，满足：

。

当时，称能被整除，或整除，记作；当时，称不能被整除。

只能被1和它本身整除的正整数称为素数；除1和本身外，还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理每一个不等于1的正整数可以分解为素数的幂之积：

，

其中为互不相同的素数，。

除因子的次序外分解式是唯一的。

此分解式称为整数的标准分解式。

3．1．4．2最大公因子和最小公倍数

设，不全为0，它们的正最大公因子记作，正最小公倍数记作。

设，由算术基本定理可将它们表示为：

，

，

其中为互不相同的素数，，为非负整数，某些可以等于0。

令：

，

，

则

，

，

且有

。

最大公因子还有以下重要性质：

最大公因子定理设，不全为0，，则存在使

。

3．1．4．3互素

若，满足，则称与互素。

关于整数间的互素关系有以下性质：

（1），使。

（2）且。

（3）设，为素数，则有：

或。

（4），。

（5），且。

（6）欧拉函数：

设n为正整数，为小于n并与n互素的正整数的个数，

小于n并与n互素的正整数的集合记为：

。

若n的标准分解式为：

，

则

。

3．2群

近世代数的研究对象是代数系，最简单的代数系是在一个集合中只定义一种运算，群是由一个集合和一个二元运算构成的代数系，它在近世代数中是最基本的一个代数系。

3．2．1群的基本概念

定义1设G是一个非空集合，若在G上定义一个二元运算满足：

（1）结合律：

对，有。

则称G是一个半群，记作。

若还满足：

（2）存在单位元使对，有；

（3）对有逆元，使，则称是一个群。

当二元运算“”为通常的加法时，称为加法群或加群；当二元运算“”为通常的乘法时，称为乘法群或乘群。

定义中条件

（2）可改为：

有一个左单位元（或右单位元），使（或），对成立。

因为由此可推出。

定义中条件（3）可改为：

对，有一个左逆元（或右逆元），使（或）成立。

因为由此可推出。

定理1半群是群的充要条件是：

对，方程和在G中均有解。

定理2半群是群的充要条件是左、右消去律都成立：

，

。

如果半群中含有单位元，则称为含幺半群。

如果群适合交换律：

对，有，则称G为可换群或阿贝尔（Abel）群。

通常把群的定义概括为四点：

封闭性、结合律、单位元和逆元。

如果一个群G是个有限集，则称G是有限群，否则称为无限群。

G的元素个数称为群的阶。

元素的倍数和幂定义为：

，

，

n为正整数，并规定。

且有：

，，，当时有。

满足的元素称为幂等元，满足的元素称为幂零元。

例1：

是整数模n的同余类集合，在中定义加法（称为模n的加法）为。

由于同余类的代表元有不同的选择，我们必须验证以上定义的运算结果与代表元的选择无关。

设，，则有，所以模的加法是中的一个二元运算。

显然，单位元是，，的逆元是。

所以是群。

例2：

设，在中定义乘法（称为模n的乘法）为。

对这个运算不仅需要检验它的唯一性，而且要检验它的封闭性，因为由，得出并不明显。

先证封闭性：

因为由和，所以。

再证唯一性：

设，，则有，所以模n的乘法是中的一个二元运算。

结合律显然满足。

单位元是。

对，由知，使，因而有，即，所以，即中每一元素均有逆元。

综上，对模n的乘法构成群。

的阶数为—欧拉函数：

小于n并与n互素的正整数的个数。

3．2．2群的基本性质

（1）群中单位元是唯一的

证明：

设G中有两个单位元和，则有：

，所以单位元是唯一的。

在不致混淆的情况下，单位元简记为1。

（2）群中每个元素的逆元是唯一的

证明：

设，有两个逆元和，则有：

，所以的逆元是唯一的。

的逆元有以下性质：

（1）；

（2）若可逆，则也可逆，且有；

（3）若可逆，则也可逆，且有。

3．2．3子群

定义2设S是群G的一个非空子集，若S对G的运算也构成群，则称S是G的一个子群，并记作：

。

当且时，称S是G的真子群，记作。

定理3设S是群G的一个非空子集，则以下三个命题互相等价：

（ⅰ）S是G的子群；

（ⅱ）对，有和；

（ⅲ）对，有。

3．2．4元素的阶

定义3设G是有限群，，可以证明一定存在最小的正整数使：

（1）

成立，称为的阶或周期，记作o（）。

若没有这样的正整数存在，则称的阶是无限的。

由定义3可知，单位元的阶是1。

在加群中，式

（1）变为：

（2）

定理4设G是群，，则：

。

关于元素的阶还有以下重要结果：

（1）有限群中每一个元素的阶是有限的；

（2）设G是群，，，，若和，则；

（3）设G是群，若除单位元外其它元素都是2阶元，则G是Abel群。

3．2．5循环群和生成群

设G是群，，令：

，

因为，有，所以H是G的子群，此子群称为由生成的循环子群，记作，称为它的生成元。

若G=，则称G是循环群。

循环子群是由一个元素生成的，由几个元素或一个子集也可生成一个子群。

定义4设S是群G的一个非空子集，包含S的最小子群称为由S生成的子群，记作，S称为它的生成元集。

如果，且任何S的真子集的生成子群均不是G，则称S是G的极小生成元集。

任何一个生成子群都有一个极小生成元集。

当时，元素个数最少的生成元集称为最小生成元集。

定义5设（G，·）是一个群，，，则称为H的一个左陪集，称为H的一个右陪集。

定义6设G是群，，H在G中的左（右）陪集个数称为H在G中的指数，记作。

当G是有限群时，则子群的阶数与指数也都是有限的，它们有以下关系：

定理5（拉格朗日（Lagrange））设G是有限群，，则：

这就是说，有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因子。

由拉格朗日定理立即可得如下推论：

（1）设G是有限群，，则；

（2）当时，对任何，有；

（3）若（素数），则（阶循环群），即素数阶群必为循环群。

3．3环

环是有两个二元运算并建立在群的基础上的一个代数系统。

定义1设A是一个非空集合，在A中定义两中二元运算，一种叫加法，记作+，另一种叫乘法，记作·。

且满足：

（1）（A，+）是一个可换群；

（2）（A，·）是一个半群；

（3）左、右分配律成立，对，有：

，

则称代数系（A，+，·）是一个环。

例：

设是整数模n的同余类集合，在中定义加法和乘法分别为模n的加法和乘法：

，。

在前面我们已经知道是群，是半群。

下面我们证明分配律成立：

。

类似有，所以是环，称为整数模n的同余类（或剩余类）环。

如果环（A，+，·）对乘法也是可交换的，则称A是可换环。

设（A，+，·）是一个环，加群（A，+）中的单位元通常记作0，称为零元。

元素在加群中的逆元记作，称为负元。

环中的单位元指乘法半群（A，·）中的单位元，记作1。

一个元素的逆元指的是它在乘法半群中的逆元，记作。

定义2设A是一个环，，若，且和，则称为左零因子，为右零因子。

若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子。

定义3设（A，+，·）是环

若，可交换，且无零因子，则称A是整环。

若A满足：

（1）A中至少有两个元0和1（即环中有单位元）；

（2）构成乘法群。

则称A是一个除环。

若A是一个可换的除环，则称A是域。

在前述例子中，当n不是素数时，Zn中有零因子，因而不是整环，但当n是素数时，Zn是域。

定理1是域的充要条件是n是素数。

环中无左（右）零因子的充分必要条件是乘法消去律成立。

因此，在整环中，乘法消去律成立。

定理2一个非零的有限的无左（右）零因子环是除环。

推论有限整环是域。

定义4设和是