线性方程组的几种求解方法Word文件下载.docx

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所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T

（三）、用矩阵演示进行消元过程

先将方程写成增广矩阵的形式

然后对矩阵进行初等行变换

初等行变换包含如下操作

（1）将某行同乘或同除一个非零实数

（2）将某行加入到另一行

（3）将任意两行互换

将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下：

示例：

（四）高斯消元的公式

综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为

1．消元

（1）令

aij

（1）=aij,（i,j=1,2,3,…,n）

bi

（1）=bi,（i=1,2,3,…,n）

（2）对k=1到n-1，若akk（k）≠0，进行

lik=aik（k）/akk（k）,（i=k+1,k+2,…,n）

aij（k+1）=aij（k）-lik*akj（k）,（i,j=k+1,k+2,…,n）

bi（k+1）=bi（k）-lik*bk（k）,（i=k+1,k+2,…,n）

2．回代

若ann（n）≠0

xn=bn（n）/ann（n）

xi=（bi（i）–sgm（aij（i）*xj）/-aii（i）,（i=n-1,n-2,…,1）,（j=i+1,i+2,…,n）

（五）高斯消元法的条件

消元过程要求aii（i）≠0（i=1,2,…,n）,回代过程则进一步要求ann（n）≠0,但就方程组Ax=b讲，aii（i）是否等于0时无法事先看出来的。

注意A的顺序主子式Di（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。

若高斯消元法的过程进行了k-1步（aii（i）≠0,i<

k），这时计算的A（k）顺序主子式:

D1=a11

（1）

D2=a11

（1）a22

（2）

……

Dk=a11

（1）a22

（2）…ak,k（k）

有递推公式

Di=Di-1aii（i）（i=2,3,…,n）

所以有

定理：

高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵A的1到n-1阶的顺序主子式不为0。

（六）选主消元

因为在高斯消元的过程中，要做乘法和除法运算，因此会产生误差。

当|akk（k）|<

<

1，此时用它作除数。

会导致其他元素数量级严重增加，带来误差扩散，使结果严重失真。

例如：

0.00001x1+x2=1.00001

2x1+x2=3

解：

代入得到x1=0,x2=1。

显然，严重失真

换主元，将两行交换，如下，

代入得到x1=1,x2=1,答案正确。

总结：

在消元的过程中，如果出现主元相差比较大的情况，应选择如下图方框中的最大数作为主元。

甚至可以在整个矩阵中找最大数作为主元，但此时需要做列变换，要记住个分量的顺序。

（六）解的判断

设方程组的增广矩阵记为

，则

经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵（必要是可重新排列未知量的顺序）：

其中cii0（i=1，2，…，r）．于是可知：

（1）.当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解．

（2）.当dr+1=0，且r<

n时，原方程组有无穷多解．

（3）.当dr+10，原方程组无解．

二、LU分解法

求解线性代数方程组除了高斯消元法外，还常用LU分解法（三角形分解法）。

LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组。

设n阶线性方程组Ax=b

假设能将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积，即A=LU，式中，L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵,且主对角线元素均为1的上三角矩阵；

U为主对角线以下的元素均为零。

所以有，LUx=b

令Ux=y

则Ly=b

由A=LU,由矩阵的乘法公式：

a1j=u1j,j=1,2,…,n

ai1=li1u11,i=1,2,…,n

推出

u1j=a1j,j=1,2,…,n

li1=ai1/u11,i=1,2,…,n

这样就定出了U的第一行元素和L的第一列元素。

设已定出了U的前k-1行和L的前k-1列，现在确定U的第k行和L的第k列。

由矩阵乘法：

当r>

k时，lkr=0,且lkk=1，因为

所以，

同理可推出计算L的第k列的公式：

因此得到如下算法——杜利特（Doolittle）算法:

（1）将矩阵分解为A=LU,对k=1,2,…,n

（2）

解Ly=b

（3）

解Ux=y

例：

求解方程组

由公式1得出

于是化为两个方程组

利用公式2，3可解y=（9,5,3,-1）T,x=（0.5,2,3,-1）T

三、应用

问题1：

维他命的配方

维他命是一种好的药品，人们都需要摄入一定量的各种维生素，现在有若干种维他命，问能否利用这些维他命配制出适合人需求的各种维生素。

数据输入：

第一行：

人们需补充的V（1<

=V<

=25）种维生素。

第二行：

V个数，第i个数为Vi，表示人体对第i种维生素的需求量。

（1<

=Vi<

=1000）

第三行：

已知的G（1<

=G<

=15）种维他命。

以下G*V的整数矩阵：

第i行第j个数为Aij，表示第i种维他命中所含的第j种维生素的含量（1<

=Aij<

=1000）。

数据输出：

输出能否配制，若能输出Yes，否则输出No

若能配制，则输出G个整数，其中第i个整数Gi，表示第i种维他命所取的数量，若有多种配置方案，输出一种即可。

若不能配制，则第二行为空。

样例：

input.txt

4

100200300400

50505050

30100100100

2050150250

50100150200

output.txt

Yes

1110

分析：

因为不知道每种维他命的数量，如果采用枚举，很难估计每种维他命的上界，而且时间复杂度很高，下面我们尝试用解方程的方法。

设需要配制的维他命每种数量分别为x1,…xn,其中n<

=15,根据题意，可列出如下方程。

用高斯消元法求解：

这里，虽然x4可取任意值，显然，表示x4的数量与答案无关，因此x4=0,代入，可得x3=1,x2=1,x1=1,因此，原问题的解为（1，1，1，0）。

问题2：

虫食算（NOIP2005）

给出一个N（N<

=26）进制的加法算式，如下：

ABCED

+BDACE

EBBAA

其中有些是数字，有些是字母，字母可代表（1..N）中的任何一个数字，每个字母数字都不一样。

你的任务是，对于给定的N进制加法算式，求出N个不同的字母分别导标的数字，使得该加法算式成立。

输入数据保证有且仅有一组解。

【数据规模】

对于30%的数据，保证有N<

=10;

对于50%的数据，保证有N<

=15;

对于全部的数据，保证有N<

=26。

显然，我们很容易想到如下算法，枚举N个未知数，由于每个未知数的取数值范围为0~n-1,共n种，因此时间复杂度为nn,又因为每个未知数的数值都不相同，因此时间复杂度为n!

，由于n可达到26，这样做显然比较高,因此需要寻找其他解法。

仔细分析，上述思路的局限性在于没有充分利用加法等式这个条件。

我们只要分析有没有进位，由于有N个变量因此可以列出N个方程，N个方程N个未知数，由于原问题有唯一解，因此方程应该有唯一解。

如上例,可得如下方程组：

D+E-A=x1

E+C-A=x1+x2

C+A-B=x2+x3

B+D-B=x3+x4

A+B-E=x4

其中xi属于0、1，枚举每个xi，则时间复杂度为,2n-1，用LU分解方程的时间为n2,当然这个时间复杂度还是较高，可以利用一些已知条件，确定一些xi的值，如A+0=A，显然不可能有进位等等，加入这样一些剪枝条件即可。

问题3：

求最大异或值（SGU275）

给你n个非负整数A1,A2,……,An集合，要你求出一个子集Ai1,Ai2,…,Aik（1<

=i1<

i2<

…<

ik<

=n），使得Ai1XORAi2XORAi3…XORAik的值最大。

=n<

=100，Ai<

=1018）

设用“⊕”表示XOR操作。

将问题进行转换成，求序列x1,x2,…,xn，使得：

（x1*A1）⊕（x2*A2）…⊕（xn*An）最大，

其中xi=0或1

由于XOR操作时没有进位，所以我们把A1,…,An的每个二进制位分离出来考虑。

设Ai=a（i,0）*20+a（i,1）*21+…+a（i,k）*2k

可知，若答案的第k位是1，则

a（1,k）*x1⊕a（2,k）*x2⊕…⊕a（n,k）*xn=1

否则

a（1,k）*x1⊕a（2,k）*x2⊕…⊕a（n,k）*xn=0

由此，我们可以对答案进行枚举。

首先设答案的最高为为1，得到一个方程，如果方程有解，则该位被确定为1，否则为0，继续枚举下面的每一位，直到每一位都确定为止。

因此时间复杂度为log2（1018）*n2

例如n=3，{Ai}={11，9，5}。

首先我们把这三个数转成二进制，即：

（11）10=（1011）2；

（9）10=（1001）2；

（5）10=（0101）2

我们知道答案的最高位至多是第4位（也就是23位），我们设第4位为1，得到方程：

x1⊕x2=1

（1）

然后枚举第3位，设为1，得到方程：

x3=1

（2）

然后枚举第2位，设为1，得到方程：

x1=1（3）

此时仍然可以将

（1）

（2）（3）联立而不发生矛盾，继续枚举最后一位，先设为1，得到方程：

x1⊕x2⊕x3=1（4）

用

（1）

（2）（3）的主元对（4）进行消元，得到：

0=1（4）

（1）矛盾！

可知（4）无法和前三个方程联立。

所以最低位不能为1，只能为0。

这样我们就得到了答案（1110）2=（14）10

问题4：

Puzzle（SGU260）

有N个格子，每个格子可能是黑色或者白色。

目前有N种操作方式，第i种操作可以将，Ai,1,Ai,2,......,Ai,ki这Ki个格子的颜色同时改变。

（从黑到白，或者从白到黑）现在给出N个格子的初始状态，与这N种操作。

请你判断是不是可以通过N种操作，将所有格子变成同一种颜色。

如果可以请输出一种方案。

=200）

通过一定的分析，就可以知道本题可以表示成一个N元逻辑方程。

首先可以明确的是同一个操作使用超过两次是没有意义的。

因为一个操作被使用了两次相当于什么都没有改变，于是可以：

设Xi表示第i种操作是否使用。

如果使用则值为真，不使用则为假。

我们先判断是不是可以将所有的格子的颜色都变成黑，变成白则可以类似处理。

对于每个格子i，设可以将i的格子颜色改变的操作有C个，它们为B1,B2,…,BC。

若i的初始颜色为黑，即我们不能让i颜色改变，所以有：

若i的初始颜色为白，则有：

总共有N个格子，即N个方程。

有N种操作，即N个未知数。

原问题就变成了判断N元Xor方程组有没有解的问题了，可以在O（N3）的时间复杂度内用高斯消元的方法解决。

问题5：

Nikifor（Ural1041）

现在有M个N维向量P1..Pm，你需要从中“购买”N个向量，它们是线性无关的。

同时每个向量有一个价格，在选出N个向量的同时，要求价格和最小。

所谓N个向量Q1..Qn线性无关，即对于其中任意N-1个向量（假设为Q1..Qn），方程：

Q1X1+Q2X2+…+Qn-1Xn-1=Qn

没有实数解（X1,X2,…,Xn-1）。

M<

=2000N<

=50

本题我们采用贪心的方法。

首先将所有向量按照价格从小到大排序。

之后从价格小的向量开始依次检查，倘若已经购买了的向量无法表示出当前检查的向量，则此向量也需要购买，否则就不需要购买。

若发现已经购买了n个向量，就得到一组解，若检查完所有向量之后依然没有n个向量，就表示无解。

贪心正确性的证明：

首先我们需要证明购买的若干个向量是线性无关的。

考虑用数学归纳法，假设购买的前t个向量P1..Pt是线性无关的，现在发现向量Q也需要购买，我们证明P1..Pt,Q也是线性无关的：

由于Q需要购买，则方程P1X1+P2X2+…+PtXt=Q无解。

假设结论不成立，即存在（Y1,Y2,..,Yt）使得P1Y1+P2Y2+..+Pt-1Yt-1+QYt=Pt，

那么若Yt=0，即P1Y1+P2Y2+..+Pt-1Yt-1=Pt，则与P1..Pt是线性无关矛盾；

若Yt不为0，于是有P1（Y1/Yt）+P2（Y2/Yt）+..+Pt-1（Yt-1/Yt）-Pt（1/Yt）=Q，则与“方程P1X1+P2X2+…+PtXt=Q无解”矛盾。

因此P1..Pt,Q也是线性无关的。

因此前t+1个向量也是线性无关，于是命题得证。

此外还有一个问题，在贪心过程中每次遇到需要购买的向量，我们就马上购买，但会不会造成之后无解呢？

显然不会，下面我们再来证明一个结论：

设前t次购买的向量为P1..Pt，第t+1次购买的向量为Pt+1，那么若存在一组可行解（P1,P2,…,Pt,Q1,…,Qs），则一定会存在一组解（P1,P2,…,Pt+1,W1,…,Wk）。

证明：

（P1,P2,…,Pt,Q1,…,Qs）是可行解，则它们一定可以表示所有的向量。

设P1X1+P2X2+…+PtXt+Q1Y1+…+QsYs=Pt+1，那么Y1..Ys不可能全为0。

若全为0，则方程简化为P1X1+P2X2+…+PtXt=Pt+1，但P1..Pt+1是线性无关的，因此这是不可能的。

不妨设Ys不为0，那么我们只须将Qs替换为Pt+1，则（P1,P2,…,Pt+1,Q1,…Qs-1）同样也为可行解。

因此结论得到证明。

每次判断一个向量需不需要购买，实际上就是判断一个方程组有没有实数解，整个算法的时间复杂度为O（MN2）。