常见的机器学习数学知识点Word下载.docx
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n
∙RRSE（RootRelativeSquaredError,相对平方根误差）
RRSE＝∑ni=1Xi−X¯
n−−−−−−−−−−⎷
∙Expectation（期望）&
Variance（方差）
期望是描述一个随机变量的“期望值”，方差反映着随机变量偏离期望的程度，偏离程度越大哦，方差越大，反之则相反。
对于离散随机变量X，其期望为：
E（X）=∑i=1∞xip（xi）
其中p（x）为随机变量的X的分布率（概率分布）.
其方差为：
D（X）=∑i=1∞[xi−E（X）]2p（xi）
对于连续变量X，其期望为：
E（X）=∫+∞−∞xf（x）dx
其中f（x）为随机变量的X的概率密度分布.
D（X）=∫+∞−∞[x−E（X）]2f（x）dx
对于Y＝g（X）（g是连续函数），则Y的期望为：
X是离散随机变量：
E（Y）=E（g（x））=∑i=1∞g（xi）p（xi）
X是连续随机变量：
E（Y）=E（g（x））=∫+∞−∞g（xi）f（x）dx
常见分布的期望与方差：
分布/数字特征
期望
方差
两点分布
q
pq
二项分布
np
npq
泊松分布
λ
均匀分布
a+b2
112（b−a）2
指数分布
1λ
1λ2
正态分布
μ
σ2
∙标准差：
标准差为方差的平方根，即：
V（X）=D（X）−−−−−√
∙JP（JointProbability,联合概率）
o二维离散随机变量X,
Y
▪联合概率分布（分布率）
P（x,y）=P{X=xi,Y=yi}=pij
pij≥0
∑ijpij=∑i∑jpij=1
▪联合分布函数
F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}=∑x∑yP（x,y）
o二维连续随机变量X,
▪联合概率密度
f（x,y）
F（x,y）=∫x−∞∫y−∞f（u,v）dudv
f（x,y）≥0
∫+∞−∞∫+∞−∞f（x,y）dxdy=F（+∞,+∞）=1
∙MP（MarginalProbability,边缘概率）
o二维离散随机变量
▪X的边缘分布率
pi.=P{X=xi}=∑j=1∞pij,j=1,2,3,...
▪Y的边缘分布率
p.j=P{Y=yi}=∑i=1∞pij,i=1,2,3,...
▪X的边缘分布函数
FX（x）=F（x,+∞）=P{X≤x}=P{X≤x,Y≤+∞}
▪Y的边缘分布函数
FY（y）=F（+∞,y）=P{Y≤y}=P{X≤+∞,Y≤y}
o二维连续随机变量
fX（x）=∫+∞−∞f（x,y）dy
fY（y）=∫+∞−∞f（x,y）dx
FX（x）=F（x,+∞）=∫x−∞[∫+∞−∞f（u,y）dy]du
FY（y）=F（y,+∞）=∫y−∞[∫+∞−∞f（x,v）dx]dv
∙Independence（独立性）
若对一切x,
y，都有：
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
即：
F（x,y）=FX（x）FY（y）
则随机变量X,Y是互相独立的.
对于离散随机变量，等价于：
P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},i,j=1,2,...
对于连续随机变量，等价于：
f（x,y）=fx（x）fy（y）
∙CP（ConditionalProbability,条件概率）
对于离散随机变量，定义为:
若P{Y=yj}>
0：
P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp.j,i=1,2,...
而
P{Y=yj}=p.j=∑i=1∞pij
因此：
P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pij∑∞i=1pij,i=1,2,...
上式即为在Y=yj条件下X的条件分布律.
同理：
P{Y=yj|X=xi}=P{X=xi,Y=yj}P{X=xi}=pij∑∞j=1pij,j=1,2,...
上式即为在X=xi条件下Y的条件分布律.
对于连续随机变量，定义为:
FX|Y（x|y）=P{X≤x|Y=y}=∫x−∞f（x,y）dxfY（y）
FY|X（y|x）=P{Y≤y|X=x}=∫y−∞f（x,y）dyfX（x）
条件概率密度分别为：
fX|Y（x|y）=f（x,y）fY（y）
fY|X（y|x）=f（x,y）fX（x）
∙BayesianFormula（贝叶斯公式）
使用已知知识来对先验概率进行修正，得到后验概率，即得到条件概率：
P（Bi||A）=P（Bi）P（A|Bi）∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）
P（Bi||A）为后验概率，P（Bi|）为先验概率.
∙CC（CorrelationCoefficient,相关系数）
对于（X,Y）为二维随机变量，若E{[X−E（X）][Y−E（Y）]}存在，则称它为随机变量X与Y的协方差，记为cov（X,Y）或σXY，即：
cov（X,Y））=E{[X−E（X）][Y−E（Y）]}
当D（X）>
0,D（Y）>
0时，
ρXY=cov（X,Y）D（X）−−−−−√D（Y）−−−−−√
称为随机变量X,Y的相关系数或标准协方差.
特别地，
cov（X,X）=D（X）
cov（Y,Y）=D（Y）
因此方差是协方差的特例.
若X,Y相互独立，则cov（X,Y）=0，从而ρXY=0.同时|ρXY|≤1.若|ρXY|＝1，则随机变量X,Y线性相关.
+1代表正线性相关，−1代表负线性相关，绝对值越大则表明它们之间越相关，若为0，则表示它们互相独立.
∙Covariance（协方差矩阵）
若X是由随机变量组成的n列向量，E（Xi）=μi，那么协方差矩阵定义如下：
Σ=⎡⎣⎢E{[X1−E（X1）][X1−E（X1）]}...E{[Xn−E（Xn）][X1−E（X1）]}.........E{[X1−E（X1）][Xn−E（Xn）]}...E{[Xn−E（Xn）][Xn−E（Xn）]}⎤⎦⎥=⎡⎣⎢E{[X1−μ1][X1−μ1]}..E{[Xn−μn][X1−μ1]}.........E{[X1−μ1][Xn−μn]}...E{[Xn−μn][Xn−μn]}⎤⎦⎥
∙Quantile（分位数）
对随机变量X，其分布函数为F（x），任意给定α,0<
α<
1，P（X<
=x）=F（x）=α所对应的x，为α分位数.
∙LMS（LeastMeanSquared,最小均方）
优化的目标为使得均方误差最小，参数即为最小时所对应的参数值，即:
θ=argminθ12∑ni=1（Xi−X¯
）2n=argminθ12∑i=1n（Xi−X¯
公式中的12为了在求导过程中的方便，因为平方项在求导过程中会产生一个2倍，这样便能约掉常数项，目标函数乘以一个常数对结果是没有影响的，只是目标值缩小了一半，但是其所对应的参数还是不变的。
可以使用梯度下降法来进行求解。
∙LSM（LeastSquareMethods,最小二乘法）
在最小二乘法中使用最小均方来对参数进行求解，对于样本点集（X,Y）={（X1,y1）,...,（Xn,yn）}，其中每个样本特征向量为Xi={xi1,...,xim}，n为样本个数，m为样本点的维度，那么其线性回归方程：
f（Xi）=w0+w1xi1+w2xi2+...+wmxim=WT[1,XiT]T,i∈[1,n]
那么，优化目标为：
minF=min12∑i=1n（f（Xi）−yi）2
为了书写方便，将常数1作为每个样本特征向量的第1个分量，即Xi={1,xi1,...,xim}，那么线性回归方程变为：
f（Xi）=WTXi,i∈[1,n]
那么优化目标为：
minF=min12∑i=1n（WTXi−yi）2
∙GD（GradientDescent,梯度下降）
对于最小二乘法中的F最小化求解使用梯度下降算法进行求解（如果是求解最大值，则使用梯度上升算法），梯度下降算法即为从某个初始点出发，按照梯度下降的方向，每次前进一步，直到最小值点，因此需要一个步长α。
1.首先求取梯度
∇wJ（w）=∑i=1n（WTXi−yi）Xi=XT（XWT−y→）
那么前进方向为g=−∇wJ（w），即梯度的反方向,如果是梯度上升算法，那么就是梯度方向，则不需要在前面加上负号.
2.然后按照梯度方向进行前进
W:
=W+αg
其中α>
0，它是一个步长，对于α具体取多大的值，一般按照经验进行取，可以从10,1,0.1,0.01,0.001不断进行尝试而取一个合理的值。
而可以刚开始取一个较大值，后面越来越小，这样刚开始步子就大一点，到逐渐接近最优点的时候，放慢脚步，如果这时候过大，就会造成一直在最优点附近震荡。
3.最后，按照步骤2进行迭代更新W，直到目标函数值不再变化，或者变化的范围小于事先设定的阈值。
所以，梯度下降算法的一个缺点就是需要确定α的值，但是该值并不好确定，需要不断进行尝试和依靠经验。
∙SGD（StochasticGradientDescent,随机梯度下降）
在梯度下降法中，参数的每一次更新都要使用训练集中的全部的样本（批量梯度下降算法），这样速度便相对较慢，于是每次更新时随机选择一个样本进行更新参数，这样便能提高计算速度，但每次更新的方向并不一定朝着全局最优化方向.
∙正规方程求解方法
该方法利用极值点的偏导数为0，即令：
∇WJ（W）=XTXWT−XTy→=0
得到正规方程：
XTXW=XTy→
求解W：
W=（XTX）−1XTy→
该方法的时间复杂度为O（n3），因为需要对矩阵求逆运算，其中n为（XTX）−1的特征数量，如果n值很大，那么求解速度将会很慢。
对此，AndrewNg的经验建议是：
如果n>
10000，那么使用梯度下降算法进行求解。
同时，如果（XTX）是奇异矩阵，即含有0特征值，那么其便不可逆，一个解决方法便是L2正则，后面将会讲到。
∙MLE（MaximumLikelihoodEstimation,极大似然估计）
在我们已经知道到随机变量的一系列观察值，即试验结果已知（样本），而需要求得满足该样本分布的参数θ，于是我们需要采取某种方法对θ进行估计，在最大似然估计中，我们假定观察的样本是该样本分布下中最大可能出现的，把最大可能性所对应的参数θ对真实的θ∗进行参数估计。
o对于离散随机变量
设总体X是离散随机变量，其概率分布P（x;
θ）（注意：
与P（x,θ）的区别，前者中θ是一个常数，只是值暂时不知道，也就是它是一个确定值，而后者中θ是一个随机变量），其中θ是未知参数.设X1,X2,...,Xn分别都是取自总体X的样本，我们通过试验观察到各样本的取值分别是x1,x2,...,xn，则该事件发生的概率，即它们的联合概率为：
P（X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn）
假设它们独立同分布，那么联合概率为：
P（X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn）=∏i=1nP（xi;
θ）
因为xi,i∈{1,2,...,n}都是已知的确定的值，那么上式的值取决于θ，从直观上来说，一件已经发生的事件，那么该事件发生概率应该较大，我们假设该事件的发生概率是最大的，即x1,x2,...,xn的出现具有最大的概率，在这种假设下去求取θ值.
定义似然函数为：
ℓ（θ）=ℓ（x1,x2,...,xn;
θ）=∏i=1nP（xi;
它是关于θ的函数.
极大似然估计法就是在参数θ的取值范围Θ内选取一个使得ℓ（θ）达到最大值所对应的参数θ^，用来作为θ的真实值θ∗的估计值，即：
θ=argmaxθ∈Θℓ（x1,x2,...,xn;
θ）
这样，对求解总体X的参数θ极大似然估计问题转化为求似然函数ℓ（θ）的最大值为题，那么求去最大值问题可以使用导函数进行求解.
为了便于求解，对似然函数进行ln运算，因为ln为递增函数，那么ln（ℓ（θ））与ℓ（θ）在同一处取得最大值，于是,
lnℓ（θ）=ln∏i=1nP（xi;
θ）=∑i=1nlnP（xi;
对上式进行求导操作，并令导函数为0:
dlnℓ（θ）dθ=0
解该方程，得到θ作为真实值的估计.
o对于连续离散随机变量：
设总体X是连续随机变量，其概率密度函数为f（x;
θ），对样本X1,X2,...,Xn观察得到的样本值分别为x1,x2,...,xn，那么联合密度函数为：
∏i=1nf（xi;
则，似然函数为：
ℓ（θ）=∏i=1nf（xi;
同理，按照先前的处理与求解方式，即极大似然估计法，求取theta值.
前面所说的使用已知知识对先验概率进行矫正，得到后验概率，便可以用到似然函数，即后验概率＝先验概率＊似然函数.
o极大似然估计步骤：
1.由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；
2.把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成为已知数，而参数θ作为自变量未知数，得到似然函数ℓ（θ）；
3.将似然函数转化为对数似然函数，然后求取对数似然函数的最大值，一般使用求导方法；
4.最后得到最大值表达式，用样本值代入得到参数的极大似然估计值.
∙QP（QuadraticProgramming,二次规划）
我们经常用到线性规划去求解一部分问题，然后很多问题是非线性的，而二次规划是最简单的非线性规划，简称QP问题，何为二次规划，即其目标函数是二次函数，而约束条件是线性约束的最优化问题.用数学语言描述，其标准形式为：
minf（x）=12xTGx+gTx
i∈EaTjx≥bj,j∈I
其中，G是n×
n的对称矩阵（Hessian矩阵），E,I分别对应等式约束和不等式约束指标集合，g,x,{ai|i∈E},{aj|j∈I}都是n维列向量
o若G正半定，那么QP问题存在全局最优解（凸二次规划）；
o若G正定，那么QP问题存在唯一的全局最优价（凸二次规划）；
o若G不定，那么可能存在非全局的最优解；
凸二次规划即二次规划目标函为维凸函数.
∙L1/L2Regularization（L1/L2正则）
我们在做数据挖掘或机器学些的时候，在训练数据不够时，或者出现过度训练时，往往容易过拟合，即训练时效果特别好，而测试时或者在新数据来临时，模型效果较差，即为模型的泛化能力比较差。
随着训练过程不断进行，该模型在trainingdata上的error渐渐减小，但是在验证集上的error却反而渐渐增大——因为训练出来的网络过拟合了训练集，对训练集外的数据（测试数据或者新数据）却不work。
如下图所示：
避免过拟合的方法有很多：
earlystopping,数据集扩增（Dataaugmentation）,正则化（Regularization）,Dropout等.
oL1
L1正则是一个稀疏规则算子，其是在代价函数（优化目标函数）后面加上参数w绝对值和乘以λn，目标函数即为：
F=F0+λn∑w|w|
其中F0为原目标函数，那么新目标函数的导数为：
∂F∂w=∂F0∂w+λnsgn（w）
上式中sgn（w）是w的符号函数，α>
0是更新步长，它是一个常数，λ>
0是正则项数，它是一个常数，那么参数w的梯度下降算法更新方程为：
w:
=w−α∂F0∂w−αλnsgn（w）
上面的更新方程比原来的多了αλnsgn（w）这一项.当w为正时，更新后w变小，为负时则相反，即将w往0值靠，这样对于那些接近0值的参数，那么就可能为0，这样很多w就会趋近于0，这样便起到了稀疏作用，也就是为何叫做”稀疏规则算子”了，这样相当于降低了模型的复杂度，提高模型泛化能力，防止过拟合.
任何正则化算子，如果它在等于0处不可微，并且可以分解为一个“求和”的形式，那么这个正则化算子就可以实现稀疏.也就是这么说，w的L1范数正则是绝对值，而|w|在w=0处是不可微.其实L0范数正则（L0范数是指向量中非0的元素的个数），也可以达到稀疏目的，但是现实中为什么不用L0正则呢，因为L0范数正则的优化是一个NP难问题，所以L1范数正则具有更好的优化特性.
在w的更新式子中，当w为0时，|w|是不可导的，所以需要按照原始的未经正则化的方法去更新w，即为了方便我们定义sgn（0）=0，这样便统一了所有情况.
L1正则的稀疏性特性可能用来进行特征选择，只选择那些重要的，区分能力强的特征，而去掉那些不重要的，区分能力不强的特征.虽然如果加上这些特征，可能会使得在模型训练时效果更好，但是可能会造成过拟合，从而模型的泛化能力不强.
在线性回归中使用L1正则的叫做LASSO（LeastAbsoluteShrinkageandSelectionatorOperatorL1正则最小二乘回归）.
oL2
L2范数正则化是在代价函数（优化目标函数）后面加上平方和正则项，即：
F=F0+λ2n∑ww2
注意：
常数项的w是不带入正则项中的，为了便于区分，将其用b表示.
其中F0为原始目标函数，在正则项前面乘以12是为了在求导过程中方便，因为平方项在求导过程中会产生一个2倍，这样便能约掉常数项.那么新目标函数的导数为：
∂F∂w=∂F0∂w+λnw∂F∂b=∂F0∂b
这样参数的更新方程为:
=w−α∂F0∂w−αλnw=（1−αλn）w−α∂F0∂wb:
=b−α∂F0∂b
其中，α>
0是正则项数，它是一个常数
从w更新方程中可以看出，在不使用L2正则项时，求导结果中的w前的系数为1，而现在前面的系数为（1−αλn），因为α,λ,n都是正数，因此前面的系数小于0，它的效果就是减小w，这就是为何L2正则又被称为“权值衰减”（weightdecay）.
通过L2正则来降低模型的复杂度，提高模型的泛化能力，防止过拟合，并且L2正则本书是一个凸二次函数，这样便有利于优化.
在前面所说的正规方程中，若XTX不可逆，则无法进行求解，那么如果加上L2正则项，就变成：
W=（XTX+λI）−1XTy→
这样（XTX+λI）肯定是可逆的.
最后通过一张图直观上来区别L1与L2正则，如图:
FromPRML
上图中使用的模型是线性回归，该模型中有两个特征，要优化的参数分别是w1和w2，左图的正则化是L2，右图是L1.蓝色线就是优化过程中遇到的等高线，一圈代表一个目标函数值，圆心就是样本观测值（假设一个样本），半径就是误差值，受限条件就是红色边界（就是正则化那部分），二者相交处，才是最优参数.可见右边的最优参数只可能在坐标轴上，所以就会出现0权重参数，使得模型稀疏.
从另一个角度上来看，正则化其实就是对模型的参数设定一个先验，这是贝叶斯学派的观点，也是一种理解。
L1正则是Laplace先验，L2是高斯先验.
oL2.5
该正则化集合了L1与L2正则，具有它们两者的优点.
∙Eigenvalue（特征值）&
Eigenvector（特征向量）
设A是n阶矩阵，如果数lambda和n维非零列向量α，使得：
Aα=λα
成立，则称这样的数λ为方阵A的特征值，非零列向量α称为A对应于特征值λ的特征向量.
特征向量α≠0，特征值λ都是对方阵来说的；
n阶方阵A的特征值即为使得
齐次线性方程组（λI−A）x=0有非零解的λ值，即满足方程|λI−A|=0的λ都是矩阵A的特征值.
特征值积等于方阵的行列式值，即：
∏i=1nλi=|A|
若特征值λi互不相等，那么它们所对应的特征向量αi线性不相关.
若方阵的行列式值为0，即为奇异方阵，也即其含有为0的特征值，那么该方阵不可逆.
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