完整word版椭圆与双曲线常见题型归纳推荐文档Word格式.docx
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4）x2
2kx
3
0，
故x1
2k
，x1x2
．
k2
若OAOB，即x1x2
y1y2
0．
而y1y2
k2x1x2
k（x1
x2）
于是x1x2
3k2
2k2
10，
k2
化简得
4k2
0，所以k
例2．设F1、F2
分别是椭圆
x2
1的左、右焦点.
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
uuuur
PF1
PF2的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点M（0,2）
的直线l与椭圆交于不同的两点
A、B，且∠AOB为锐角（其中O
为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围
例2．解：
（Ⅰ）解法一：
易知
a
2,b
1,c
所以F1
3,0
F2
3,0，设P
x,y，则
3x2
3x2
PF1PF2
3x,y,3x,y
8
因为x
2,2
，故当x0
，即点P为椭圆短轴端点时，
PF2有最小值2
当x
，即点P为椭圆长轴端点时，
PF2有最大值1
解法二：
易知a
，所以F1
，设P
x,y
，则
uuur2
uuuur2
cos
F1PF2
PF2
F1F2
2PF1
y2
12
3（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线
不满足题设条件，可设直线
l:
y
2,A
x1,y2
B
x2,y2，
联立
，消去y，整理得：
k
4kx
∴x1
4k
x1
由
4k4k
30得：
k
3或k
又00
A0B
900
OAOB
uuuruuur
∴OAOBx1x2
y1y20
又y1y2
kx1
2kx2
2k2x1x2
2kx1
3k2
8k2
∵
k21
0，即k2
∴2k2
故由①、②得
或
例3．设F1、F2分别是椭圆
1的左、右焦点，
B（0,
1）
（Ⅱ）若C为椭圆上异于
B一点，且BF1
CF1，求
的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求
PBF1的周长的最大值.
例3．解：
（Ⅰ）易知a
3，所以F1
设P
x,y,则
uuuruuuur
13x2
，故当x
PF2有最小值
2，即点P为椭圆长轴端点时，
（Ⅱ
）设
C（
x0
，y0
），
F1
得
BF
CF
3（1
y0
，又
y0
所以有
6
7
0解得
7（
0舍去）
（Ⅲ）因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴
PBF1周长≤4＋
|BF2|＋|BF1|≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，
PBF1周长最大，最
大值为8．
例4．已知中心在原点的双曲线
C的右焦点为
（2,0），右顶点为（
3,0）
（1）求双曲线C的方程；
（2）
若直线l：
ykx
与双曲线C恒有两个不同的交点
A和B，且OA
OB
2（其中
O为原点），求k的取值范围。
例4．解：
（Ⅰ）设双曲线方程为
（a
0,b
0）.由已知得
a2
b2
1.故双曲线C的方程为x2
3,c
2,再由a2
b2
22,得b2
2代入x2
（Ⅱ）将ykx
1得（1
3k2）x2
62kx
90.
由直线l与双曲线交于不同的两点得
0,
（6
2k）2
36（1
3k2）
k2）
0.
即k2
1且k2
①设A（xA,yA）,B（xB,yB），则
xA
62k2,xAxB
9
xB
2,由OAOB
3k
而xAxB
yAyB
xAxB
（kxA
2）（kxB
（k
2,即3k2
0,解此不等式得
2得xAxB
2,
2）（k2
1）xAxB
2k（xAxB）2
.于是
k23.②
由①、②得
故k的取值范围为（1,
3）
（3,1）.
例5．已知椭圆x2
（a＞b＞0）的离心率
e
，过点A（0，-b）和B（a，0）的
直线与原点的距离为
3．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：
是否存
在k的值，使以CD为直径的圆过E点?
请说明理由．例5．解析：
（1）直线AB方程为：
bx-ay-ab＝0．
c
6，
3，
解得
依题意
ab
∴
椭圆方程为
1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
（2）假若存在这样的
k值，由
2，
得（13
2）
12kx
0．
3y2
（12k）2
36（13k2）0．
①
x1
12k
2，
设C（x1，y1）、D（x2
，y2），则
②
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
（kx1
2）（kx2
2）
k2x1x2
2k（x1
x2）4．
要使以CD为直径的圆过点
E（-1，0），当且仅当
CE⊥DE时，则
y1
x11
即y1y2
（x1
1）（x21）0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
（k2
1）x1x22（k
1）（x1
x2）50．
③
将②式代入③整理解得k
，使①成立．
．经验证，k
综上可知，存在k，使得以CD为直径的圆过点E．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
2．“中点弦型”
例6.已知椭圆x2
1，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同
43
两点关于直线y4xm对称。
例6.解：
设A（x1,y1）,B（x2,y2），AB的中点M（x0,y0），kAB
1,
而3x12
4y1
12,3x2
4y2
12,相减得3（x2
4（y2
y12）0,
即y1
y23（x1x2）,
y03x0，3x0
4x0m,x0
m,y0
3m
而M（x0,y0）在椭圆内部，则m2
9m2
1,即2
m
13
例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在
x轴上，离心率e
3，焦距为23
（I）求该双曲线方程.
（II）是否定存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是
线段AB的中点？
若存在，请求出直线l的方程，若不存在，说明理由.
例7.
（1）x2
（2）设（
）,
），直线：
1k，代入方程
Ax1
Bx2
k2）x2
k）x（1k）2
0（2k2
（2
2k（1
0）
则x1
k（1
k）
，解得k
2，此时方程为2
方程没有实数根。
所以直线l不存在。
例8．已知椭圆的中心在原点，
焦点为F1（0，
22），F2（0，2
2），且离心率e
22。
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点
A、B，且线段AB中点的横坐
标为
1，求直线l倾斜角的取值范围。
例8．解：
（I）设椭圆方程为
1，由已知c2
2，又
22
a2
a=3，所以b=1，故所求方程为
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
（II）设直线l的方程为ykxb（k≠0）代入椭圆方程整理得
（k2
9）x2
2kbxb2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
（2kb）2
4（k2
9）（b2
9）
由题意得
2kb
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7分
3或k
又直线l
与坐标轴不平行
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
故直线l倾斜角的取值范围是
，
，2）
12分
3．“弦长型”
1交于A、B两点，记△
例9．直线y＝kx＋b与椭圆
（I）求在k＝0，0＜b＜1的条
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