完整word版椭圆与双曲线常见题型归纳推荐文档Word格式.docx

1、4） x22kx30 ，故 x12k， x1 x2k 2若 OA OB ，即 x1x2y1 y20 而 y1 y2k 2 x1x2k（ x1x2 ）于是 x1 x23k 22k21 0 ，k2化简得4k 20，所以 k例 2设 F1、 F2分别是椭圆x 21 的左、右焦点 .（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求uuuurPF1PF2 的最大值和最小值 ;（）设过定点 M （0,2）的直线 l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且 AOB 为锐角（其中 O为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围例 2解：（）解法一：易知a2, b1,c所以 F13,0, F23,0 ，设 Px, y ，则

2、3 x23x2PF1 PF23 x, y , 3 x, y8因为 x2,2，故当 x 0，即点 P 为椭圆短轴端点时，PF2 有最小值 2当 x，即点 P 为椭圆长轴端点时，PF2 有最大值 1解法二：易知 a，所以 F1，设 Px, y，则uuur 2uuuur 2cosF1PF2PF2F1 F22 PF1y 2123 （以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线l : y2, Ax1 , y2, Bx2, y2 ，联立，消去 y ，整理得：k4kx x14k, x1由4k4 k3 0 得： k3 或 k又 00A0B900OA OBuuur uuur OA OB x1 x2y1 y

3、2 0又 y1 y2kx12 kx22 k2 x1 x22k x13k28k2k 2 10 ，即 k2 2 k 2故由、得或例 3 设 F1 、 F2 分别是椭圆1的左、右焦点，B（0,1）（）若 C 为椭圆上异于B 一点，且 BF1CF1 ，求的值；（）设 P 是该椭圆上的一个动点，求PBF1 的周长的最大值 .例 3解：（）易知 a3 ，所以 F1, 设 Px, y , 则uuur uuuur1 3x2，故当 xPF2 有最小值2 ，即点 P 为椭圆长轴端点时，（ ） 设C （x0，y 0） ，F1得BFCF3（1, y0， 又y0所 以 有670 解得7（0舍去 ）（） 因为 |P F1

4、 | |PB| 4 |PF2| |PB| 4 |BF2|PBF1 周长 4|BF2| |B F1 | 8所以当 P 点位于直线 BF 2 与椭圆的交点处时，PBF1 周长最大，最大值为 8例 4已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），右顶点为 （3,0）（1）求双曲线 C 的方程；（2）若直线 l： y kx与双曲线 C 恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2 （其中O 为原点 ），求 k 的取值范围。例 4解：（）设双曲线方程为（a0, b0）. 由已知得a2b21.故双曲线 C 的方程为 x 23, c2, 再由 a 2b 222 ,得 b22代入 x2（）将 y kx1得 （13

5、k 2 ）x 26 2kx9 0.由直线 l 与双曲线交于不同的两点得0,（62k） 236（13k 2 ）k 2 ）0.即 k 21 且 k 2 设 A（ xA , y A ）, B（ xB , yB ） ，则xA6 2k2 , xA xB9xB2 ,由OA OB3k而 xA xByA yBxA xB（kxA2）（ kxB（k2,即 3k20, 解此不等式得2得 x A xB2,2） （k 21）xA xB2k（xA xB ） 2.于是k2 3. 由、得故 k 的取值范围为 （ 1,3 ）（ 3 ,1）.例 5已知椭圆 x2（ a b 0）的离心率e，过点 A（0， - b）和 B（ a，0

6、）的直线与原点的距离为3 （1）求椭圆的方程（2）已知定点 E（- 1， 0），若直线 ykx 2（ k 0）与椭圆交于 C、D 两点问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点 ?请说明理由例 5解析：（ 1）直线 AB 方程为： bx- ay- ab0c6 ，3，解得依题意ab椭圆方程为1 4 分（2）假若存在这样的k 值，由2，得（1 32 ）12kx03y 2（12k ）236（1 3k2 ） 0 x112 k2 ，设 C（x1 ， y1 ） 、 D（x2， y2 ） ，则8 分（ kx12）（ kx22）k 2 x1 x22k （x1x2 ） 4 要使以 CD 为直径的圆

7、过点E（- 1， 0），当且仅当CEDE 时，则y1x1 1即 y1 y2（ x11）（ x2 1） 0 10 分（ k21）x1 x2 2（ k1）（ x1x2 ） 5 0 将式代入整理解得 k，使成立经验证， k综上可知，存在 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E 13 分2“中点弦型”例 6. 已知椭圆 x21 ，试确定 m 的值，使得在此椭圆上存在不同43两点关于直线 y 4x m 对称。例 6. 解：设 A（ x1 , y1 ）, B（ x2 , y2 ） ， AB 的中点 M （ x0 , y0 ） ， kAB1 ,而 3x124 y112, 3x24 y212, 相减得 3（

8、x24（ y2y12 ） 0,即 y1y2 3（ x1 x2 ）,y0 3x0 ， 3x04x0 m, x0m, y03m而 M （ x0 , y0 ） 在椭圆内部，则 m29m21,即 2m13例 7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率 e3，焦距为 2 3（I）求该双曲线方程 .（II ）是否定存在过点 P （1 ，1）的直线 l 与该双曲线交于 A ， B 两点，且点 P 是线段 AB 的中点？若存在，请求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 .例 7.（1） x 2（2）设 （,）,） ，直线：1 k ，代入方程A x1B x2k 2 ） x2k） x （1 k） 20

9、（ 2 k 2（ 22k（10 ）则 x1k（1k），解得 k2 ，此时方程为 2方程没有实数根。所以直线 l 不存在。例 8已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1 （0，2 2） ，F2（0，22 ），且离心率 e2 2 。（ I）求椭圆的方程；（ II ）直线 l （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、 B，且线段 AB 中点的横坐标为1 ，求直线 l 倾斜角的取值范围。例 8解：（I ）设椭圆方程为1，由已知 c 22，又2 2a 2a=3，所以 b=1，故所求方程为1 4 分（ II ）设直线 l 的方程为 y kx b（ k 0） 代入椭圆方程整理得（k 29）x 22kbx b 25 分（ 2kb）24（k 29）（b 29）由题意得2kb7 分3或 k又直线 l与坐标轴不平行故直线 l 倾斜角的取值范围是， 2 ）12 分3“弦长型”1交于 A 、B 两点，记例 9直线 y kx b 与椭圆（I）求在 k 0， 0 b 1 的条