微分方程习题及答案.docx
《微分方程习题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程习题及答案.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
微分方程习题及答案
微分方程习题
§1基本概念
1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.
（1）X2—xy+y2=C,（x—2y）y‘=2x—y
t2
（2）J；e-dt+x=1,y"=y（y）2
2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C,C1,C2均为常数）
（一般方法：
对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数
（1）（X+C）2+y2=1；
（2）y=6sin2x+C2cos2x.
3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P（x,y）处的法线X轴的交点为Q,,PQ为y轴平分。
（3）曲线上的点P（X,y）处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2,且曲线过点（2,0）。
§2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解
sec2xtanydxtsec2y4anxdy=0；
吐-3xy=xy2；
dx
（2^-2x）dx+（2xM+2y）dy=0
2.求下列微分方程的特解
3.求下列微分方程的通解
（1）x/=y（lny+1）；
x
（2）（X3+y3）dx—3xy2dy=0.
4.求下列微分方程的特解
（1）；dxx-y
22
（2）（y-3x）dy+2xydx=0,y=1.
5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程
xy‘+y=y（lnx+Iny）
y，+1
X-y
y（xy+1）dx+x（1+xy+x2y2）dy=0
（t=0）速度
7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时为0,求物体速度v与时间t的函数关系.
&有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉
40%染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分钟时正常胰脏中染色量P（t）随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常?
9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
§3一阶线性方程与贝努利方程
1求下列微分方程的通解
（1）
（X2-1）/+2xy-COSx=0；
yinydx+（x—1ny）dy=0;
（5）dy=4^ysinx-1dx
2.求下列微分方程的特解
（1）y’—ytanx=secx,y=0；
⑵小工=^^2^,心=1
xx
3.一曲线过原点，在（X,y）处切线斜率为2x+y，求该曲线方程.
4.设可导函数W（x）满足方程
x
®（x）COSX+2L®（t）sintdt=X+1，求®（x）.
5.设有一个由电阻R=100，电感L=2H，电流电压E=20sin5tV串联组成之电路,合上开关，求电路中电流i和时间t之关系.
6.求下列贝努利方程的通解
-.y26
（1）
y十一=xy
X
y‘=y4COSX+ytanx
dx,2.c
y——+x—xIny=0
dy
1
-xy2y=—+xy2
x2-1
§4可降阶的高阶方程
1.求下列方程通解。
（1）y\y7x;
（2）于=竽匚；⑶yyJ2y2=0（4）y3y—1
x+1
2.求下列方程的特解
门wJySylxrO’ylx」一1
x
3•求y"=x的经过（0,1）且在与直线y=—+1相切的积分曲线
2
K可取正或负
4•证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.
证明：
——=K,（K工0,K=0可推出y是线性函数;
（1+y严
5•枪弹垂直射穿厚度为6的钢板，入板速度为a，出板速度为b（aAb），设枪弹在板内受
到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少?
§5高阶线性微分方程
1.已知yi（X）,y2（x）是二阶线性微分方程y"+P（x）y'+q（x）y=f（x）的解，试证yi（x）-y2（x）是yPp（x）y'+q（x）y=0的解
2.已知二阶线性微分方程y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）的三个特解y1=x,y^x2,y^e3x
试求此方程满足y（0）=0,y（0）=3的特解.
3.验证=x+l,y2=eX+1是微分方程（x-1）y"-xy'+y=1的解，并求其通解.
§6二阶常系数齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解
y"+6y'+13y=0;
y+4y，+4y=0;
y（4）+2y"+y=0.
2.求下列微分方程的特解
（1）y"—4y，+3y=0,yx£=6,y'x£=10
（2）y“+25y=0,y
计空气阻力条件下，求角位移0随时间t变化的规律.
A'p
mg
浮筒质量.。
x（t）
P（t）
§7二阶常系数非齐次线性微分方程
1.求下列微分方程的通解
（1）y"+3y'+2y=3xe~x;
（2）y+5y'+4y=3-2x；
y+4y‘=xcosx;
2
y"_y=sinx；
yUy"-2y，=x（eX+4）.
2.求下列微分方程的特解
（1）y"_3y'+2y=5,y（0）=6,y（0）=2;
（2）y"+y+sin2x=0,y（;i）=1,y（兀）=13.设连续函数f（x）满足f（x）=eX+G（t-x）f（t）dt求f（x）.
4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为
k），求此物体之运动规律.
O—x（t）
5.—链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力,
求链条全部滑下所需时间.
x（t）
6.大炮以仰角a、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线
p（t）=（x（t）,y（t））
§8欧拉方程及常系数线性微分方程组
1.求下列微分方程的通解
（1）x3y"-x2y"+2xy'-2y=x3；
2.求下列微分方程组的通解
dx丄dy丄丄c
+y=_x+y+3dtdt
Idxdy丄c
—=x+y-3
Idtdt
^^-3x^=0
.dt2
+x+y=0dt2
自测题
1.求下列微分方程的解。
（2）ydx+（2x2y-x）dy=0；
（3）八——y+2xy-X
（4）y"_y'=xsin2x.
2.求连续函数W（x），使得xaO时有J0®（xt）dt=2申（X）•
3.求以y=（C1+C2x+x2）e~2x为通解的二阶微分方程.
4.某个三阶常系数微分方程y卡ay"+by'+cy=O有两个解ex和x，求a,b,c.
5.
设y"+p（x）y'=f（x）有一个解为1，对应齐次方程有一特解x2，试求:
x
（1）p（x）,f（x）的表达式;
（2）该微分方程的通解•
『品—求f（x）.
已知曲线y=y（x）上原点处的切线垂直于直线x+2y-1=0,且y（x）满足微分方程
y"-2y'+5y=eXcos2x，求此曲线方程•
微分方程习题答案
§1基本概念
1验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解
（1）X2—xy+y2=C,（x—2y）y‘=2x—y
解：
求导：
2x-y-xy'+2yy'=0移项：
（X—2y）y'=2x-y
故所给出的隐函数是微分方程的解
t2
（2）J；e6t+x=1,y”=y（y）2.
解：
隐函数方程两边对x求导
e^y・+1=0
方程两边再对x求导
2
丄
e2[（-yj/y'+y]=0
指数函数非零，即有
y、y（y）2
故所给出的隐函数是微分方程的解
2.已知曲线族，求它相应的微分方程（其中C,Ci,C2均为常数）
（一般方法：
对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数
（1）（X+C）2+y2=1;
求导得：
2（x+c）+2yy'=0解出（X+c）=-yy’代入原方程得y2y'2+y2=1
（2）y=6sin2x+C2COs2x.
求导得：
y'=2cicos2x+2Q（—sin2x）再求导得：
y"=YC|sin2x-4^cos2x消去c1,c2得：
y"+4y=0
3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
4.
（1）曲线在（X,y）处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
yy'+2x=0
（3）曲线上的点P（X,y）处的切线与y轴交点为Q,PQ长度为2,且曲线过点（2，0）。
解：
点P（x,y）处切线方程：
Y-y=y'（X-X）
故Q坐标为（0,y_yx），则有
§2可分离变量与齐次方程
1求下列微分方程的通解
解:
分离变量
咅=代’两边积分占7忌
得arcsiny=arcsinx+c
（2）sec2xtanydx^sec2yAanxdy=0；
解:
分离变量
tanxtanytanxtanyInItan彳=Tn|tan寸+G=
Intanxtany=G
tanxtany=C其中C=±eCl
In
y+3
（2T-2x）dx+（2川+2y）dy=0.
In
2y-1
=-In
2x+1
+C1=In
（2y-1Q+y
=C1=e
In
In（2y
TX2X+1]=eCl=（2y-1X2x+1）=±eC1=（2y-1X2x+i）=c
其中
2.求下列微分方程的特解
（1）八e2i
解：
eydy=e2Xdxfeydy=Je2xdx
0解得c=—
2
所以特解为：
M-1（e2x+1）
2
（2）xy'+y=y2,y
，故特解为y=1-xy
3.求下列微分方程的通解
C1）xy'=y（In—+1）；X
（2）（X3+y3）dx—3xy2dy=0.
解：
方程变形为齐次方程
dy
1+9
u+x
du
dx
3u2du
1-2u3
dx
3纟丿
，令u
dx
=U+X
du
dx
，故原方程变为
1+u3
3u2
dx
「d（Zu3）」1—2u3
In1-2u
，分离变量得
两边积分
艸彳②3
（1-
=-2ln
=eC1
3u2du
dx
T-2u3
13
—2d（1—2u3）
1-2u3
dx
In1—2u3
+2ln
3
In（1-2u3
）x2=C1=
c3、2
2u）x
=eC1=
1-^-1
X2=±eC1=
1-2
y
[
lx丿」
[
"丿
3
x2|
X2=±eC=
X3-2y3=Cx其中C=±eC1
4.求下列微分方程的特解
（1）
升级会员 