微分方程习题及答案.docx

1、微分方程习题及答案微分方程习题 1 基本概念1.验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解 .(1) X2 xy+y2 =C,(x 2y)y =2x yt2(2) J；e-dt+x=1,y = y(y)22.已知曲线族，求它相应的微分方程（其中 C,C1,C2均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数(1)(X +C)2 +y2 =1 ；(2) y =6 sin2x + C2cos2x .3.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在（x,y）处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P （x,y ）处的法线X轴的交点为Q, PQ为y轴平分。

2、（3）曲线上的点P（X, y ）处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2,且曲线过点（2, 0）。 2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解sec2 x tan ydx tsec2 y 4anxdy =0 ；吐-3xy=xy2 ；dx(2-2x)dx+(2xM+2y)dy=02.求下列微分方程的特解3.求下列微分方程的通解(1)x/ = y(l ny+1)；x(2)(X3+y3)dx3xy2dy =0.4.求下列微分方程的特解(1)； dx x - y2 2(2)(y -3x )dy+2xydx=0, y = 1.5.用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程xy + y = y(ln x

3、+ In y)y，+1X -yy(x y + 1)dx +x(1 +xy + x2y2)dy = 0(t=0)速度7.设质量为m的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时 为0,求物体速度v与时间t的函数关系.&有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能 .正常胰脏每分钟吸收掉40%染色，现内科医生给某人注射了 0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后t分 钟时正常胰脏中染色量 P(t)随时间t变化的规律，此人胰脏是否正常?9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐 10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以 每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小

4、时后，容器内尚有多少盐？ 3 一阶线性方程与贝努利方程1求下列微分方程的通解(1)(X2 -1)/ + 2xy -COSx =0 ；yin ydx +(x 1 n y)dy =0 ;(5) dy =4y sinx-1 dx2.求下列微分方程的特解(1) y ytan x =secx, y =0 ；小工=2,心=1x x3.一 曲线过原点，在(X, y)处切线斜率为2x+y，求该曲线方程.4.设可导函数W(x)满足方程x(x) COSX + 2 L (t)sintdt = X +1，求(x).5. 设有一个由电阻 R =100，电感L =2H，电流电压E =20sin5tV串联组成之电路, 合上

5、开关，求电路中电流i和时间t之关系.6.求下列贝努利方程的通解-.y 2 6(1)y 十一=x yXy = y4 COSX + y tanxdx , 2 . cy +x x In y =0dy1- xy 2 y = +xy2x2 -1 4可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。(1)yy7x ; (2)于=竽匚； yyJ2y2 =0(4)y3y 1x +12.求下列方程的特解门 wJySylxrOylx一1x3求y =x的经过(0,1)且在与直线y = +1相切的积分曲线2K可取正或负4证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线 .证明： =K,(K工0,K =0可推出y是线性函数;(1 +y 严5枪弹垂直

6、射穿厚度为 6的钢板，入板速度为 a，出板速度为b (a A b)，设枪弹在板内受到阻力与速度成正比，问枪弹穿过钢板的时间是多少? 5高阶线性微分方程1.已知yi(X), y2(x)是二阶线性微分方程y+ P(x)y+ q(x)y = f (x)的解，试证 yi(x) -y2 (x)是 yP p(x)y +q(x)y =0 的解2.已知二阶线性微分方程 y+p(x)y+q(x)y =f(x)的三个特解y1 =x, yx2, ye3x试求此方程满足 y(0) =0, y(0) =3的特解.3.验证=x+l, y2 =eX +1是微分方程(x-1)y-xy + y =1的解，并求其通解. 6二阶常

7、系数齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解y +6y +13y =0 ;y +4y，+4y =0;y(4)+2y + y =0.2.求下列微分方程的特解(1) y4y，+3y =0, y x =6, yx =10 (2) y“+25y=0, y计空气阻力条件下，求角位移 0随时间t变化的规律.Apmg浮筒质量.。x(t)P(t) 7二阶常系数非齐次线性微分方程1.求下列微分方程的通解(1) y +3y+2y =3xex;(2) y +5y +4y =3 -2x ；y +4y =xcosx ;2y_y=sin x ；yU y - 2y，=x(eX +4).2.求下列微分方程的特解(1) y_3

8、y+2y =5,y(0)=6,y(0) =2 ;(2) y + y+sin 2x =0, y(;i) =1, y (兀)=1 3.设连续函数 f(x)满足 f(x) =eX + G (t-x) f (t)dt 求 f(x).4.一质量为m的质点由静止开始沉入水中， 下沉时水的反作用力与速度成正比 （比例系数为k），求此物体之运动规律.O x(t)5.链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子 8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力,求链条全部滑下所需时间.x(t)6.大炮以仰角a、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线p(t) =(x(t),y(t) 8欧拉方程及常系数线性微分方程组1.求

9、下列微分方程的通解(1) x3y-x2y+2xy-2y =x3 ；2.求下列微分方程组的通解dx丄dy 丄 丄c+ y = _x + y +3 dt dtI dx dy 丄 c=x+y -3I dt dt-3x=0.dt2+x +y =0 dt2自测题1.求下列微分方程的解。(2) ydx +(2x2y -x)dy =0 ；(3)八 y + 2xy -X(4) y_y=xsin2 x.2.求连续函数W(x)，使得xaO时有J0 (xt)dt =2申(X)3.求以y=(C1 +C2x+x2)e2x为通解的二阶微分方程.4.某个三阶常系数微分方程 y卡ay+by + cy=O有两个解ex和x，求a

10、, b, c .5.设y + p(x)y=f(x)有一个解为1，对应齐次方程有一特解 x2，试求:x(1)p(x), f (x)的表达式;(2)该微分方程的通解品求f(x).已知曲线y =y(x)上原点处的切线垂直于直线 x + 2y-1=0 ,且y(x)满足微分方程y-2y+5y =eX cos2x，求此曲线方程微分方程习题答案 1 基本概念1验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解(1) X2 xy+y2 =C,(x 2y)y =2x y解：求导：2x-y-xy + 2yy=0 移项：(X 2y)y =2x - y故所给出的隐函数是微分方程的解t2(2) J；e6t +x=1,y” = y

11、(y)2.解：隐函数方程两边对 x求导e y+1 =0方程两边再对x求导2丄e 2（-yj/y + y =0指数函数非零，即有y、y(y)2故所给出的隐函数是微分方程的解2.已知曲线族，求它相应的微分方程（其中 C,Ci,C2均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数(1)(X +C)2 +y2 =1;求导得：2(x+c) +2yy=0 解出(X +c )= -yy代入原方程得y2y2+y2=1(2) y =6 sin2x+C2COs2x.求导得：y=2ci cos2x+2Q(sin2x) 再求导得：y = YC| sin2x -4 cos2x 消去 c1

12、, c2 得：y + 4y = 03.写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。4.(1)曲线在(X, y )处切线的斜率等于该点横坐标的平方。yy +2x = 0(3)曲线上的点P(X, y )处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2,且曲线过点(2，0)。解：点P(x,y)处切线方程：Y-y =y(X -X)故Q坐标为(0,y _yx )，则有 2可分离变量与齐次方程1求下列微分方程的通解解:分离变量咅=代两边积分占 7忌得 arcsin y = arcs in x + c（2） sec2 x tan ydx sec2 y Aanxdy =0 ；解:分离变量tanx tany tanx tan

13、 yIn I tan 彳=Tn |ta n 寸 + G =In tanxtany =Gtan xtan y = C 其中 C = eClIny +3 (2T-2x)dx+(2川 +2y)dy =0.In2y -1=-In2x +1+ C1= In(2y-1 Q + y=C1= eInIn (2yT X 2X + 1 = eCl = (2y -1X 2x +1 )= eC1 = (2y -1X 2x+i )=c其中2.求下列微分方程的特解(1)八e2i解：eydy=e2Xdx feydy = Je2xdx0解得c =2所以特解为：M-1(e2x+1)2 (2) xy + y =y2, y，故特解

14、为y = 1 - xy3.求下列微分方程的通解C1) xy = y(In +1)； X(2)(X3+y3)dx3xy2dy =0.解：方程变形为齐次方程dy1+9u +xdudx3u2du1 -2u3dx3纟丿，令udx=U +Xdudx，故原方程变为1 +u33u2dxd (Zu3 ) 12u3In 1 -2u，分离变量得两边积分艸彳3(1-=-2ln= eC13u2dudxT -2u31 3 2d(1 2u3)1-2u3dxIn 1 2u3+ 2ln3In (1 -2u3)x2 =C1 =c 3、 22u )x=eC1 =1-1X2 = eC1 =1-2ylx丿丿3x2|X2 = eC =X3 -2y3 =Cx其中 C = eC14.求下列微分方程的特解(1)