高中数学 13三角函数的诱导公式教案3 新人教A版必修4Word文档格式.docx

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　　　　　　　　　　ctg（2kπ+α）=ctgα．

利用诱导公式一可以把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°

～360°

（0～2π）间角的三角函数值的问题．

学习诱导公式的基本思想方法是化归转化，如果我们能把求90°

间的角的三角函数值转化为求0°

间的角的三角函数值，那么任意角的三角函数值就都能通过查表来求．

设0°

≤α≤90°

，则90°

～180°

间的角，可以写成180°

-α；

180°

～270°

+α；

270°

间的角，可以写成360°

-α．下面我们依次讨论180°

+α，-α，180-α，360°

-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．为了使讨论更具有一般性，这里假定α为任意角．

（布置学生阅读P．152—153初步了解诱导公式二、公式三的推导过程．）

（二）诱导公式二、三

首先我们先介绍单位圆概念，如图2-18示，以原点为圆心，等于单位长的线段为半径作一个圆，这样的圆称为单位圆．下面我们利用单位圆和任意角三角函数的定义来推导诱导公式二、三．推导之前，请一位同学回答分别关于x轴，y轴，原点对称的两个点的坐标间的关系．

设点P（x、y），它关于x轴、y轴、原点对称的点坐标分别是P1（x，-y），P2（-x，-y），P3（-x，-y）．

请同学们作出一个任意角α的终边，再作出180°

+α角的终边，它们与单位圆的交点有何特征？

为什么？

如图2-18，任意角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°

+α的终边就是角α终边的反向延长线，角180°

+α的终边与单位圆的交点P′，是与点P关于点O对称的。

正由于点P与点P′关于原点O中心对称，所以P′坐标是（-x，-y），又因单位圆半径r=1，由正弦函数和余弦函数的定义可得到

因此，sin（180°

+α）=-sinα，cos（180°

+α）=-cosα，请同学们思考能否由同角三角函数关系式推导出tg（180°

+α），ctg（180°

+α）化简结果？

由同角三角函数间的基本关系式，可得到

因此我们可以得到诱导公式二

sin（180°

+α）=-cosα，

tg（180°

+α）=tgα，ctg（180°

+α）=ctgα．

例1　求下列各三角函数值

我们再来研究角α与-α的三角函数值之间的关系．请同学们作出任意角α与-α的终边，它们与单位圆的交点有何特征？

如图2-19，任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角-α的终边与单位圆相交于点p′，从图上可观察得到P与P′关于x轴成轴对称．

这位同学回答得正确！

由于角α与-α是由射线从x轴的正半轴开始，按相反的方向绕原点作相同大小的旋转而成的，这两个角的终边关于x轴对称，因此，点p′的坐标为（x，-y），由于r=1，我们得到sinα（-α）=-y，cos（-α）=x，从而sin（-α）=-sinα，（cos（-α）=cosα．如何由同角三角函数关系式推导出tg（-α）．ctg（-α）的化简结果？

由同角三角函数关系式可得到

因此我们可以得到诱导公式三

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，

tg（-a）=-tgα，ctg（-α）=-ctgα．

例2　求下列各三角函数值

（1）sin（-400°

）=-sin（360°

+40°

）=-sin40°

=-0.6428，

解：

∵　ctg（-α-180°

）=ctg[-（180°

+α）]=-ctg（180°

+α）=-ctgα，

sin（-180°

-α）=sin[-（180°

+α）]=-sin（180°

+α）=-（-sinα）=sinα．

课堂练习：

P．155中练习3

（1）、（3）、（6）；

4．

（三）诱导公式四、五

请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导180°

-α与α的三角函数值之间的关系？

由诱导公式我们可以得到

-α）=sin[180°

+（-α）]=-sin（-α）=sinα；

cosα（180°

-α）=cos[180°

+（-α）]=-cos（-α）=-cosα；

-α）=tg[180°

+（-α）]=tg（-α）=-tgα；

ctg（180°

-α）=ctg[180°

+（-α）]=ctg（-α）=-ctgα．

公式四：

-α）=sinα，cos（180°

-α）=-cosα，tg（180°

-α）=-tgα，ctg（180°

-α）=-ctgα．

请大家再思考如何利用已学过的诱导公式推导360°

-α与α的三角函数值之间的关系．

由诱导公式我们可以得到：

sin（360°

-α）=sin（-α）=-sinα，cos（360°

-α）=cos（-α）=cosα，

tg（360°

-α）=tg（-α）=-tgα，　ctg（360°

-α）=ctg（-α）=-ctgα．

于是我们得到诱导公式五

-α）=-sinα，cos（=360°

-α）=cosα，

-α）=-tgα，ctg（360°

公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式．

上面这些诱导公式，可以概括如下：

k·

360°

+α（k∈z），-α，180°

±

α，360°

-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀。

请同学思考利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤，即如何利用诱导公式将任意角的三角函数求值问题化归成锐角三角函数求值问题？

请看下面例题后总结其步骤．

例4　求下列各三角函数值

（2）cos（-1665°

）=-cos1665°

=-cos（4×

+225°

）=-cos225°

反思例4的解题过程，请一位同学总结．

利用诱导公式求任意角的三角函数值，一般可按以下步骤进行：

运用诱导公式解题本质上是多次运用“化归”思想方法，化负角为正角，化大角为周内角，再化为锐角．

（四）总结

本节课我们学习了π±

α，-α，2π-α形式的诱导公式，可用口诀“函数名不变，符号看象限”来帮助记忆，正确掌握诱导公式符号是运用诱导公式解题的关键．

五、作业

六、板书设计

七、参考资料

《高中数学精讲精练》

（一）

《三点一测丛书》

2019-2020年高中数学1.3三角函数的诱导公式教案4新人教A版必修4

重点知识讲解

1、正、余弦的诱导公式

公式一：

sin（α＋k·

）=sinα　　　　cos（α＋k·

）=cosα（k∈Z）

公式二：

＋α）=－sinα　　　　cos（180°

＋α）=－cosα

公式三：

sin（－α）=－sinα　　cos（－α）=cosα

－α）=sinα　　　　cos（180°

－α）=－cosα

公式五：

－α）=－sinα　　　　cos（360°

－α）=cosα

总结：

α＋k·

（k∈Z），－α，180°

－α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

注：

正切等其余的函数的诱导公式可通过同角三角函数关系式推导出。

2、诱导公式的推导

　　诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180°

＋α（或－α）与α的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导.

　　由五组诱导公式，可将任意角的三角函数值转化为0°

的三角函数值，从而利用数学用表查值.

　　利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：

例1、推导出180°

＋α，－α，180°

－α，360°

－α的正切、余切的诱导公式.

精析：

借助公式二、三、四、五和同角三角函数关系式推导.

解答：

过程略.

　tan（180°

＋α）=tanα，cot（180°

＋α）=cotα

　tan（－α）=－tanα，cot（－α）=－cotα

－α）=－tanα，cot（－α）=－cotα

　tan（360°

－α）=－tanα，cot（360°

－α）=－cotα

小结：

“函数名不变，正负看象限”不仅对于公式一～五成立，对于正切、余切函数也都成立，应深刻理解其含义.

2、诱导公式的应用——化简、求值、证明.

例2、设

的值为（　）

　A．　　　　　　　　　　　B．

　C．－1　　　　　　　　　　　　D．1

　　利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.

答案：

A

例3、计算=____________.

诱导公式的一个重要作用就是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，于是可着眼于角的变换，并辅以特殊角的三角函数值求解.

例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：

（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；

（2）

△ABC的三内角应满足A＋B＋C=π，注意到左右两边角的差异，利用诱导公式可证.

∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C=π.

（1）cos（2A＋B＋C）=cos（π＋A）=－cosA；

（2）

三、难点知识解析

灵活运用诱导公式对含n的式子的讨论等是本节内容的难点.

例5、已知函数f（x）=asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（1997）=－1，则f（xx）=（　）

　A．－1　　　　　　　　　　　　　B．0

　C．1　　　　　　　　　　　　　　D．2

利用诱导公式寻求f（xx）与f（1997）的关系，并注意xxπ=1997π＋π的数量关系.

f（1997）=asin（1997π＋α）＋bcos（1997π＋β）=－asinα－bcosβ，

　　f（xx）=asin（xxπ＋α）＋bcos（xxπ＋β）=asinα＋bcosβ，

　　两式相加，有f（1997）＋f（xx）=0，

　　∴f（xx）=1，故选C.

C

例6、若

，则α的取值范围是__________.

采取逆向思维的方法，先用诱导公式和同角基本关系式将式子化简，再对比左右两边，得出α的取值范围.

原式变形为

例7、化简

.

为能应用诱导公式，需对整数n的奇偶性进行讨论.

当n为偶数时，设n=2k（k∈Z）,

　　原式=

；

　　当n为奇数时，设n=2k＋1（k∈Z），

　　原式

　　故原式=2tanα.

例8、化简

（1）tan1°

·

tan2°

tan3°

…·

tan88°

tan89°

（2）2－sin221°

－cos221°

＋sin417°

＋sin217°

cos217°

＋cos217°

对90°

的偶数倍的诱导公式应能熟练掌握和运用，而对于90°

的奇数倍的诱导公式若能加以探索和掌握，则更能在解题时得心应手.

（1）∵tanα=cot（90°

－α），且tanα·

cotα=1

　　　　∴原式

　　　　　=tan1°

tan44°

tan45°

cot46°

…

　　　　　·

cot1°

　　　　　=1·

1·

=tan45°

=1

（2）原式

　　　　　=2－（sin221°

＋cos221°

）＋sin217°

（sin217°

）＋cos217°

　　　　=2－1＋sin217°

=2