学年高中数学人教A版选修11教学案第一章Word文档格式.docx
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（2）如果p是q的充分条件，则p是唯一的吗？
不唯一，如x>
3，x>
5，x>
10等都是x>
0的充分条件．
（3）若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B的关系怎样？
A＝B．
[课前反思]
（1）充分条件的定义是：
；
（2）必要条件的定义是：
（3）充要条件的定义是：
．
[思考] 充分条件、必要条件、充要条件与命题“若p，则q”、“若q，则p”的真假性有什么关系？
名师指津：
当命题“若p，则q”为真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；
当命题“若q，则p”为真命题时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；
当上述两个命题都是真命题时，p是q的充要条件．
讲一讲
1．判断下列各题中p是q的什么条件．
（1）在△ABC中，p：
A>
B，q：
BC>
AC;
（2）p：
1，q：
x2>
1；
（3）p：
（a－2）（a－3）＝0，q：
a＝3；
（4）p：
a<
b，q：
<
1.
[尝试解答]
（1）由三角形中大角对大边可知，若A>
B，则BC>
AC；
反之，若BC>
AC，则A>
B.因此，p是q的充要条件．
（2）由x>
1可以推出x2>
由x2>
1，得x<
－1，或x>
1，不一定有x>
1.因此，p是q的充分不必要条件．
（3）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；
由a＝3可以得出（a－2）（a－3）＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
（4）由于a<
b，当b<
0时，
>
1;
当b>
1，故若a<
b，不一定有
<
当a>
0，b>
0，
1时，可以推出a<
b；
当a<
0，b<
1时，可以推出a>
b.因此p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；
原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；
原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；
原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
练一练
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
（1）p：
四边形的对角线相等，q：
四边形是平行四边形；
（x－1）2＋（y－2）2＝0，q：
（x－1）（y－2）＝0.
解：
（1）∵四边形的对角线相等
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
（2）∵（x－1）2＋（y－2）2＝0⇒x＝1且y＝2⇒（x－1）·
（y－2）＝0，
而（x－1）（y－2）＝0
（x－1）2＋（y－2）2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
[思考] 如何证明“p是q的充要条件”？
证明“p是q的充要条件”即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题．
2．证明：
a＋2b＝0是直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0垂直的充要条件．
[尝试解答]
（1）（充分性）当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直．
当b≠0时，直线ax＋2y＋3＝0的斜率k1＝－
，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－
，若a＋2b＝0，则k1·
k2＝
·
＝－1，两直线垂直．
（2）（必要性）如果两条直线互相垂直且斜率都存在，则k1·
＝－1，所以a＋2b＝0.
若两直线中直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0，所以a＋2b＝0.
综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．
一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；
证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
2．求证：
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：
（充分性）：
因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，
即（x－1）（ax＋a＋b）＝0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
（必要性）：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
所以有a×
12＋b×
1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
已知p：
A＝{x|p（x）成立}，q：
B＝{x|q（x）成立}．
[思考1] 若p是q的充分条件，则A与B有什么关系？
A⊆B．
[思考2] 若p是q的充分不必要条件，则A与B有什么关系？
A
B．
[思考3] 若p是q的充要条件，则A与B有什么关系？
[思考4] 若p是q的既不充分也不必要条件，则A与B有什么关系？
B
A，且A
3．已知p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m>
0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[尝试解答] p：
0）．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}
{x|－2≤x≤10}，
故有
或
解得m≤3.
又m>
0，所以实数m的取值范围为{m|0<
m≤3}．
根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解．
3．若本讲中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
p：
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以A
B.
所以
解不等式组得m>
9或m≥9，所以m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
4．本讲中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？
因为p：
若p是q的充要条件，则
方程组无解．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
—————————————[课堂归纳·
感悟提升]————————————————
1．本节课的重点是充分条件、必要条件、充要条件的判断，难点是充要条件的证明以及利用充分条件、必要条件求解参数的取值范围．
2．本节课的易错点是分不清“充分条件”与“必要条件”造成解题失误，见讲1和讲3.
3．本节课要重点掌握的规律方法
（1）判断充分条件与必要条件的方法，见讲1.
（2）从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A⊆B，则p是q的充分条件，若A
B，
则p是q的充分不必要条件
若B⊆A，则p是q的必要条件，若B
A，
则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A⊆B，且B⊆A，则p既不是q的充分条件，
也不是q的必要条件
其中p：
4．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解，见讲3.
课时达标训练（三）
[即时达标对点练]
题组1 充分、必要条件的判断
1．“数列{an}为等比数列”是“an＝3n（n∈N*）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 当an＝3n时，{an}一定为等比数列，但当{an}为等比数列时，不一定有an＝3n，故应为必要不充分条件．
2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（ ）
选A 由a＋b＝0可知a，b是相反向量，它们一定平行；
但当a∥b时，不一定有a＋b＝0，故应为充分不必要条件．
3．“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和2x－2ay＝1平行”的 （ ）
选C 当a＝0时，两直线方程分别为x＝1和2x＝1，显然两直线平行；
反之，若两直线平行，必有1×
（－2a）＝（－2a）×
2，解得a＝0，故应为充要条件．
4．“sinA＝
”是“A＝
”的__________条件．
由sinA＝
不一定能推得A＝
，例如A＝
等；
但由A＝
一定可推得sinA＝
，所以“sinA＝
”的必要不充分条件．
答案：
必要不充分
题组2 充要条件的证明
5．函数y＝（2－a）x（a<
2且a≠1）是增函数的充要条件是 （ ）
A．1<
a<
2 B.
2
C．a<
1D．a<
选C 由指数函数性质得，当y＝（2－a）x（a<
2且a≠1）是增函数时，2－a>
1，解得a<
1.故选C.
6．求证：
一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.
①充分性：
如果b＝0，那么f（x）＝kx，
因为f（－x）＝k（－x）＝－kx，
即f（－x）＝－f（x），
所以f（x）为奇函数．
②必要性：
因为f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数，
所以f（－x）＝－f（x）对任意x均成立，
即k（－x）＋b＝－kx＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数f（x）＝kx＋b（k≠0）是奇函数的充要条件是b＝0.
题组3 利用充分、必要条件求参数的范围
7．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a<
0B．a>
0C．a<
－1D．a<
1
选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0（a≠0）有一正根和一负根．
由于{a|a<
－1}{a|a<
0}，故选C.
8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋（m＋1）y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________．
x＋（m＋1）y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·
m＋（m＋1）·
2＝0⇔m＝－
.
－
9．已知M＝{x|（x－a）2<
1}，N＝{x|x2－5x－24<
0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
由（x－a）2<
1，得a－1<
x<
a＋1，
由x2－5x－24<
0，得－3<
8.
∵N是M的必要条件，
∴M⊆N.
故a的取值范围为[－2，7]．
[能力提升综合练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙
丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
2．设0<
，则“xsin2x<
1”是“xsinx<
1”的（ ）
A．充分不必要条件
C．充要条件
选B 因为0<
x<
，所以0<
sinx<
1.由x·
1知xsin2x<
1，因此必要性成立．由xsin2x<
1得xsinx<
，而
>
1，因此充分性不成立．
3．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
选D 当满足A、B、C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D符合．
4．设{an}是等比数列，则“a1<
a2<
a3”是“数列{an}是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件
选C {an}为等比数列，an＝a1·
qn－1，由a1<
a3，得a1<
a1q<
a1q2，即a1>
0，q>
1或a1<
0，0<
q<
1，则数列{an}为递增数列．反之也成立．
5．不等式（a＋x）（1＋x）<
0成立的一个充分不必要条件是－2<
－1，则a的取值范围是________．
根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有（－2，－1）{x|（a＋x）（1＋x）<
0}，故有a>
2.
（2，＋∞）
6．下列命题：
①“x>
2且y>
3”是“x＋y>
5”的充要条件；
②b2－4ac<
0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<
0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为________．
①x>
3时，x＋y>
5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>
5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<
0且b2－4ac<
0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则
＝
，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lgx＋lgy＝lg（xy）＝0，
∴xy＝1且x>
0，y>
0.
所以“lgx＋lgy＝0”成立，xy＝1必然成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
④
7．已知方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．
令f（x）＝x2＋（2k－1）x＋k2，则方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的实数根
⇔
⇔k<
－2.
因此k<
－2是使方程x2＋（2k－1）x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．
8．已知条件p：
|x－1|>
a和条件q：
2x2－3x＋1>
0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
依题意a>
0.由条件p：
a，
得x－1<
－a或x－1>
∴x<
1－a或x>
1＋a.
由条件q：
0，得x<
或x>
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥
.令a＝1，则p：
0或x>
2，
此时必有x<
即p⇒q，反之不成立．
∴最小正整数a＝1.
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