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6、其他力做功与机械能的关系

其他力做正功，机械能增加；

其他力做负功，机械能减少。

其他力所做的功等于机械能的增加量。

W其他=ΔE机

7、摩擦生热：

系统产生的热量等于滑动摩擦力乘以相对位移。

（能量损失了）Q热=f滑L相

8、机械能守恒定律：

只有重力或只有弹力做功，机械能守恒。

EP1+EK1=EP2+EK2

1.[2012·

山西省四校联考]如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求：

（1）a球离开弹簧时的速度大小va；

（2）b球离开弹簧时的速度大小vb；

（3）释放小球前弹簧的弹性势能Ep.

2．一个平板小车置于光滑水平面上，其右端恰好和一个

光滑圆弧轨道AB的底端等高对接，如图4－4－22所示．已知小车质量M＝3.0kg，长L＝2.06m，圆弧轨道半径R＝0.8m．现将一质量m＝1.0kg的小滑块，由轨道顶端A点无初速释放，滑块滑到B端后冲上小车．滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3.（取g＝10m/s2）试求：

（1）滑块到达B端时，轨道对它支持力的大小；

（2）小车运动1.5s时，车右端距轨道B端的距离；

（3）滑块与车面间由于摩擦而产生的内能．

3．如图4－4－23所示，为一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L＝0.2m，动摩擦因数μ＝0.6，BC、DEN段均可视为光滑，且BC的始、末端均水平，具有h＝0.1m的高度差，DEN是半径为r＝0.4m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过．在左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现有一可视为质点的小球，小球质量m＝0.2kg，压缩轻质弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿DEN轨道滑下．求：

（1）小球到达N点时速度的大小；

（2）压缩的弹簧所具有的弹性势能．

4、如图所示，传送带与水平面之间的夹角为θ=30°

，其上A、B两点间的距离为l=5m，传送带在电动机的带动下以v=1m/s的速度匀速运动，现将一质量为m=10kg的小物体（可视为质点）轻放在传送带的A点，已知小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ=

，在传送带将小物体从A点传送到B点的过程中，求：

（1）传送带对小物体做的功.

（2）电动机做的功.（g取10m/s2）

一、选择题

　　1．如图1所示，一木块放在光滑水平面上，一子弹水平射入木块中，射入深度为d，平均阻力为f．设木块离原点s远时开始匀速前进，下列判断正确的是[　　]

　　　A．功fs量度子弹损失的动能

　　　B．f（s＋d）量度子弹损失的动能

　　　C．fd量度子弹损失的动能

　　　D．fd量度子弹、木块系统总机械能的损失

　　2.如图11所示，质量为m的可看成质点的物块置于粗糙水平面上的M点，水平面的右端与固定的斜面平滑连接，物块与水平面及斜面之间的动摩擦因数处处相同。

物块与弹簧未连接，开始时物块挤压弹簧使弹簧处于压缩状态。

现从M点由静止释放物块，物块运动到N点时恰好静止。

弹簧原长小于MM′。

若在物块从M点运动到N点的过程中，物块与接触面之间由于摩擦所产生的热量为Q，物块、弹簧与地球组成的系统的机械能为E，物块通过的路程为x。

不计转折处的能量损失，下列图像所描述的关系中可能正确的是（　　）

图11

图12

3．关于做功和物体动能变化的关系，不正确的是[　　]

　　　A．只要动力对物体做功，物体的动能就增加

　　　B．只要物体克服阻力做功，它的动能就减少

　　　C．外力对物体做功的代数和等于物体的末动能与初动能之差

　　　D．动力和阻力都对物体做功，物体的动能一定变化

　　4．一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m，这时物体的速度2m/s，则下列说法正确的是[　　]

　　　A．手对物体做功12J　　B．合外力对物体做功12J

　　　C．合外力对物体做功2J　D．物体克服重力做功10J

10．（2013·

淄博模拟）如图8所示是一皮带传输装载机械示意图，井下挖掘工将矿物无初速放置于沿图示方向运行的传送带A端，被传输到末端B处，再沿一段圆形轨道到达轨道的最高点C处，然后水平抛到货台上。

已知半径为R＝0.4m的圆形轨道与传送带在B点相切，O点为半圆的圆心，BO、CO分别为圆形轨道的半径，矿物m可视为质点，传送带与水平面间的夹角θ＝37°

，矿物与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，传送带匀速运行的速度为v0＝8m/s，传送带AB点间的长度为sAB＝45m。

若矿物落点D处离最高点C点的水平距离为sCD＝2m，竖直距离为hCD＝1.25m，矿物质量m＝50kg，sin37°

＝0.6，cos37°

＝0.8，g＝10m/s2，不计空气阻力。

求：

图8

（1）矿物到达B点时的速度大小；

（2）矿物到达C点时对轨道的压力大小；

（3）矿物由B点到达C点的过程中，克服阻力所做的功。

　（2013·

济南模拟）利用弹簧弹射和皮带传动装置可以将工件运送至高处。

如图2－2－4所示，已知传送轨道平面与水平方向成37°

角，倾角也是37°

的光滑斜面轨道固定于地面且与传送轨道良好对接，弹簧下端固定在斜面底端，工件与皮带间的动摩擦因数μ＝0.25。

皮带传动装置顺时针匀速转动的速度v＝4m/s，两轮轴心相距L＝5m，B、C分别是传送带与两轮的切点，轮缘与传送带之间不打滑。

现将质量m＝1kg的工件放在弹簧上，用力将弹簧压缩至A点后由静止释放，工件离开斜面顶端滑到皮带上的B点时速度v0＝8m/s，AB间的距离x＝1m。

工件可视为质点，g取10m/s2。

（sin37°

＝0.8）求：

图2－2－4

（1）弹簧的最大弹性势能；

（2）工件沿传送带上滑的时间；

2．倾斜传送带与水平方向的夹角θ＝30°

，传送带以恒定的速度v＝10m/s沿如图2－2－5甲所示方向运动。

现将一质量m＝50kg的物块轻轻放在A处，传送带AB长为30m，物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝

，且认为物块与传送带之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。

则在物块从A至B的过程中：

图2－2－5

（1）开始阶段所受的摩擦力为多大？

（2）共经历多长时间？

（3）在图乙中准确作出物块所受摩擦力随位移变化的函数图像；

（4）摩擦力做的总功是多少？

9．（2013·

日照模拟）如图10所示，从A点以v0＝4m/s的水平速度抛出一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平。

已知长木板的质量M＝4kg，A、B两点距C点的高度分别为H＝0.6m、h＝0.15m，圆弧轨道BC对应圆的半径R＝0.75m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g取10m/s2。

图10

（1）小物块运动至B点时的速度大小和方向；

（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力大小；

（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板。

潍坊模拟）如图11所示，水平轨道MN与竖直光滑半圆轨道相切于N点，轻弹簧左端固定在轨道的M点，自然状态下右端位于P点，将一质量为1kg的小物块靠在弹簧右端并压缩至O点，此时弹簧储有弹性势能Ep＝18.5J，现将小物块无初速释放，已知OP＝0.25m，PN＝2.75m，小物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆轨道半径R＝0.4m，g取10m/s2。

（1）物块从P点运动到N点的时间；

（2）分析说明物块能否通过半圆轨道最高点B。

若能，求出物块在水平轨道上的落点到N点的距离。

若不能，简要说明物块的运动情况。

[例]　如图5所示，将一质量为m＝0.1kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出，小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC，并沿轨道恰好通过最高点C，圆轨道ABC的形状为半径R＝2.5m的圆截去了左上角127°

的圆弧，CB为其竖直直径（sin53°

＝0.8，cos53°

＝0.6，重力加速度g取10m/s2）。

图5

（1）小球经过C点的速度大小；

（2）小球运动到轨道最低点B时轨道对小球的支持力大小；

（3）平台右端O点到A点的竖直高度H。

[例]　如图7甲所示，弯曲部分AB和CD是两个半径相等的四分之一圆弧，中间的BC段是竖直的薄壁细圆管（细圆管内径略大于小球的直径），细圆管分别与上、下圆弧轨道相切连接，BC段的长度L可伸缩调节。

下圆弧轨道与水平面相切，D、A分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在同一竖直平面内。

一小球多次以某一速度从A点水平进入轨道，从D点水平飞出。

在A、D两点各放一个压力传感器，测试小球对轨道A、D两点的压力，计算出压力差ΔF。

改变BC间距离L，重复上述实验，最后绘得ΔF－L的图线如图乙所示。

（不计一切摩擦阻力，g取10m/s2）图7

（1）某一次调节后D点离地高度为0.8m。

小球从D点飞出，落地点与D点的水平距离为2.4m，求小球过D点时速度大小。

（2）求小球的质量和圆弧轨道的半径大小。

2．如图2所示，质量为m＝0.1kg的小球置于平台末端A点，平台的右下方有一个表面光滑的斜面体，在斜面体的右边固定一竖直挡板，轻质弹簧拴接在挡板上，弹簧的自然长度为x0＝0.3m，斜面体底端C点距挡板的水平距离为d2＝1m，斜面体的倾角为θ＝45°

，斜面体的高度h＝0.5m。

现给小球一大小为v0＝2m/s的初速度，使之在空中运动一段时间后，恰好从斜面体的顶端B点无碰撞地进入斜面，并沿斜面运动，经过C点后再沿粗糙水平面运动，过一段时间开始压缩轻质弹簧。

小球速度减为零时，弹簧被压缩了Δx＝0.1m。

已知小球与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，设小球经过C点时无能量损失，重力加速度g＝10m/s2，求：

图2

（1）平台与斜面体间的水平距离d1；

（2）小球在斜面上的运动时间t1；

（3）弹簧压缩过程中的最大弹性势能Ep。

4．如图4所示，在大型超市的仓库中，要利用皮带运输机将货物由平台D运送到高为h＝2.5m的C平台上，为了便于运输，仓储员在平台D与传送带间放了一个

圆周的光滑轨道ab，轨道半径为R＝0.8m，轨道最低端与皮带接触良好。

已知皮带和水平面间的夹角为θ＝37°

，皮带和货物间的动摩擦因数为μ＝0.75，运输机的皮带以v0＝1m/s的速度顺时针匀速运动（皮带和轮子之间不打滑）。

仓储员将质量m＝200kg货物放于轨道的a端（g＝10m/s2），求：

（1）货物到达圆轨道最低点b时对轨道的压力；

（2）货物沿皮带向上滑行多远才能相对皮带静止；

（3）皮带将货物由A运送到B需对货物做多少功。

图4

[典例]　（2013·

泰州模拟）如图1－1－10所示，ace和bdf是间距为L的两根足够长平行导轨，导轨平面与水平面的夹角为θ。

整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，ab之间连有阻值为R的电阻。

若将一质量为m的金属棒置于ef端，今用大小为F，方向沿斜面向上的恒力把金属棒从ef位置由静止推至距ef端s处的cd位置（此时金属棒已经做匀速运动），现撤去恒力F，金属棒最后又回到ef端（此时金属棒也已经做匀速运动）。

若不计导轨和金属棒的电阻，且金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ。

（1）金属棒上滑过程中的最大速度；

图1－1－10

（2）金属棒下滑过程的末速度。

[典例]　（2012·

海南高考）图3－2－6甲所示的xOy平面处于匀强磁场中，磁场方向与xOy平面（纸面）垂直，磁感应强度B随时间t变化的周期为T，变化图线如图乙所示。

当B为＋B0时，磁感应强度方向指向纸外。

在坐标原点O有一带正电的粒子P，其电荷量与质量之比恰好等于

。

不计重力。

设P在某时刻t0以某一初速度沿y轴正向自O点开始运动，将它经过时间T到达的点记为A。

图3－2－6

（1）若t0＝0，则直线OA与x轴的夹角是多少？

（2）若t0＝

，则直线OA与x轴的夹角是多少？

2.（2013·

合肥模拟）如图3－2－10所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。

O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。

已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。

图3－2－10

（1）推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨道半径；

（2）求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角；

（3）沿磁场边界放置绝缘弹性挡板，使带电粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变。

若从O点沿x轴正方向射入磁场的粒子速度减小为0.5v，求该粒子第一次回到O点经历的时间。

三、计算题

福建高考）如图9，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

让质量为m，电荷量为q（q>

0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。

不计重力和粒子间的影响。

（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a,0）点，求v1的大小。

图9

（2）已知一粒子的初速度大小为v（v>

v1），为使该粒子能经过A（a,0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？

并求出对应的sinθ值。

贵州六校联考）如图10所示，在0≤x≤d的空间，存在垂直xOy平面的匀强磁场，方向垂直xOy平面向里。

y轴上P点有一小孔，可以向y轴右侧垂直于磁场方向不断发射速率均为v，与y轴正方向所成夹角θ可在0～180°

范围内变化的带负电的粒子。

已知θ＝45°

时，粒子恰好从磁场右边界与P点等高的Q点射出磁场，不计重力及粒子间的相互作用。

图10

（1）磁场的磁感应强度；

（2）若θ＝30°

，粒子射出磁场时与磁场边界的夹角（可用三角函数、根式表示）；

（3）能够从磁场右边界射出的粒子在磁场中经过的区域的面积（可用根式表示）。

山东高考）如图3－3－1所示，在坐标系xOy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里；

第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。

一带电量为＋q、质量为m的粒子，自y轴上的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。

已知OP＝d，OQ＝2d。

不计粒子重力。

图3－3－1

（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。

（2）若磁感应强度的大小为一确定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0。

（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

2．（2013·

揭阳模拟）直角坐标系xOy界线OM两侧区域分别有如图3－3－3所示电、磁场（第三象限除外），匀强磁场磁感应强度为B、方向垂直纸面向外，匀强电场场强E＝vB、方向沿x轴负方向。

一不计重力的带正电的粒子，从坐标原点O以速度为v、沿x轴负方向射入磁场，随后从界线上的P点垂直电场方向进入电场，并最终飞离电、磁场区域。

已知粒子的电荷量为q，质量为m，求：

图3－3－3

（1）粒子在磁场中运动的轨迹半径R及P点的位置坐标；

（2）粒子在磁场中运动的时间；

（3）粒子最终飞离电、磁场区域的位置坐标。

淄博模拟）在直角坐标系y轴右侧有相互垂直的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，电场方向沿y轴负方向，电场强度大小为E。

一质量为m、电荷量为q的正粒子（重力不计）从坐标原点O沿x轴正方向做直线运动，运动到A点时撤去电场，当粒子在磁场中运动到距离原点O最远处P点（图中未标出）时，撤去磁场，同时加另一匀强电场，其方向沿y轴负方向，最终粒子垂直于y轴飞出。

已知A点坐标为（a,0），P点坐标为

图3－3－4

（1）粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径；

（2）磁场的磁感应强度B和粒子运动到P点时速度v的大小；

（3）整个过程中电场力对粒子做的功；

（4）粒子从原点O开始运动到垂直于y轴飞出过程所用的总时间。

苏北四市第三次调研）如图3－3－6所示，带电平行金属板相距为2R，在两板间半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，两板及其左侧边缘连线均与磁场边界刚好相切。

一质子（不计重力）沿两板间中心线O1O2从左侧O1点以某一速度射入，沿直线通过圆形磁场区域，然后恰好从极板边缘飞出，在极板间运动时间为t0。

若仅撤去磁场，质子仍从O1点以相同速度射入，经

时间打到极板上。

图3－3－6

（1）两极板间电压U；

（2）质子从极板间飞出时的速度大小。

汕头模拟）如图10所示，在x轴下方的区域内存在方向沿y轴正向的匀强电场，电场强度为E。

在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy平面并指向纸面外，磁感应强度为B。

y轴下方的A点与O点的距离为d，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场。

不计粒子的重力作用。

（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r。

（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E0，求E0。

（3）若电场强度E等于第

（2）问E0的

，求粒子经过x轴时的位置。

[例1]　中心均开有小孔的金属板C、D与边长为d的正方形单匝金属线圈连接，正方形框内有垂直纸面的匀强磁场，大小随时间变化的关系为B＝kt（k未知，且k>

0），E、F为磁场边界，且与C、D板平行。

D板正下方分布磁场大小均为B0，方向如图1所示的匀强磁场。

区域Ⅰ的磁场宽度为d，区域Ⅱ的磁场宽度足够大。

在C板小孔附近有质量为m、电量为q的正离子由静止开始加速后，经D板小孔垂直进入磁场区域Ⅰ，不计离子重力。

图1

（1）判断金属板CD之间的电场强度的方向和正方形线框内的磁场方向；

（2）若离子从C板出发，运动一段时间后又恰能回到C板出发点，求离子在磁场中运动的总时间；

[典例1]　（2013·

枣庄模拟）（20分）如图3－1所示，AB为半径R＝0.8m的

光滑圆弧轨道，下端B恰与小车右端平滑对接。

小车的质量M＝3kg、长度L＝2.16m，其上表面距地面的高度h＝0.2m。

现有质量m＝1kg的小滑块，由轨道顶端无初速度释放，滑到B端后冲上小车，当小车与滑块达到共同速度时，小车被地面装置锁定。

已知地面光滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3，取g＝10m/s2。

试求：

图3－1

（1）滑块经过B端时，轨道对它支持力的大小；

（2）小车被锁定时，其右端到轨道B端的距离；

（3）小车被锁定后，滑块继续沿小车上表面滑动。

请判断：

滑块能否从小车的左端滑出小车？

若不能，请计算小车被锁定后由于摩擦而产生的内能是多少？

若能，请计算滑块的落地点离小车左端的水平距离。

[典例2]　（2013·

淮安模拟）（18分）如图3－2所示，在xOy平面的y轴左侧存在沿y轴正方向的匀强电场，y轴右侧区域Ⅰ内存在磁感应强度大小B1＝

、方向垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅰ、区域Ⅱ的宽度均为L，高度均为3L。

质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从坐标为（－2L，－

L）的A点以速度v0沿＋x方向射出，恰好经过坐标为[0，－（

－1）L]的C点射入区域Ⅰ。

粒子重力忽略不计。

图3－2

（1）匀强电场的电场强度大小E；

（2）粒子离开区域Ⅰ时的位置坐标；

（3）要使粒子从区域Ⅱ上边界离开，可在区域Ⅱ内加垂直纸面向内的匀强磁场。

试确定磁感应强度B的大小范围，并说明粒子离开区域Ⅱ时的速度方向。

[典例3]　（2013·

北京市西城区期末）（19分）如图3－4甲所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m。

导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B。

金属导轨的上端与开关S、定值电阻R1和电阻箱R2相连。

不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g。

现在闭合开关S，将金属棒由静止释放。

（1）判断金属棒ab中电流的方向；

（2）若电阻箱R2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q；

（3）当B＝0.40T，L＝0.50m，α＝37°

时，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的变化关系如图乙所示。

取g＝10m/s2，sin37°

＝0.60，cos37°

＝0.80。

求阻值R1和金属棒的质量m。

图3－4

1．（2013·

湛江模拟）如图1所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行光滑金属导轨相距l＝1m，导轨平面与水平面成θ＝30°

角，下端连接“2.5V,0.5W”的小电珠，匀强磁场方向与导轨平面垂直。

质量为m＝0.02kg、电阻不计的光滑金属棒放在两导轨上，金属棒与两导轨垂直并保持良好接触。

取g＝10m/s2。

（1）金属棒沿导轨由静止刚开始下滑时的加速度大小；

（2）当金属棒下滑速度达到稳定时，小电珠正常发光，求该速度的大小；

（3）磁感应强度的大小。

潍坊模拟）如图2所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角为θ＝37°

的粗糙斜面轨道DC相切于C点，圆轨道的直径AC与斜面垂直。

质量为m的小球从A点左上方距A高为h的斜面上方P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处。

已知当地的重力加速度为g，取R＝

h，sin37°

＝0.8，不计空气阻力，求：

（1）小球被抛出时的速度v0；

（2）小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小；

（3）小球从C到D过程中摩擦力做的