专题3三角函数与平面向量综合检测Word下载.docx
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C．（，－2）D．（，2）
7．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且＝，则B等于（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
8．（2011·
全国大纲理，12）设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·
b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°
，则|c|的最大值等于（ ）
A．2B.
C.D．1
9．在△ABC中，若2cosB·
sinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
10．设F1、F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，点P在椭圆上，当△F1PF2的面积为1时，·
的值为（ ）
A．0B．1
C.D．2
11．（文）（2011·
新课标文，11）设函数f（x）＝sin（2x＋）＋cos（2x＋），则（ ）
A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图像关于直线x＝对称
（理）（2011·
新课标理，11）设函数f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）（ω>
0，|φ|<
）的最小正周期为π，且f（－x）＝f（x），则（ ）
A．f（x）在（0，）单调递减B．f（x）在（，）单调递减
C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增
12．（2011·
山东理，12）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ（λ∈R），＝μ（μ∈R），且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（ ）
A．C可能是线段AB的中点
B．D可能是线段AB的中点
C．C，D可能同时在线段AB上
D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．）
13．（2011·
南京二模）函数f（x）＝cosx（sinx＋cosx）（x∈R）的最小正周期是________．
14．（2011·
北京理，9）在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；
a＝________.
15．（文）（2011·
上海文，12）在正三角形ABC中，D是边BC上的点，若AB＝3，BD＝1，则·
＝________.
浙江理，14）若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
16．（2011·
吉林高三质检）函数f（x）＝3sin的图像为C，如下结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①图像C关于直线x＝π对称；
②图像C关于点对称；
③函数f（x）在区间内是增函数；
④由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）（2011·
重庆理，16）设a∈R，f（x）＝cosx（asinx－cosx）＋cos2（－x）满足f（－）＝f（0），求函数f（x）在[，]上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）（2011·
安徽文，16）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos（B＋C）＝0，求边BC上的高．
19．（本小题满分12分）（2010·
江西文，19）已知函数f（x）＝（1＋cotx）sin2x－2sin（x＋）sin（x－）．
（1）若tanα＝2，求f（α）；
（2）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．
20．（本小满分12分）（2011·
重庆一诊）已知向量＝（3，－4），＝（6，－3），＝（5－m，－3－m）．
（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；
（2）若∠ABC为锐角，求实数m的取值范围．
21．（本小满分12分）（2010·
浙江文，18）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA＋sinB的最大值．
22．（本小满分14分）（2011·
浙江五校二模）已知向量m＝1，sinωx＋，n＝（其中ω为正常数）．
（1）若ω＝1，x∈，求m∥n时tanx的值；
（2）设f（x）＝m·
n－2，若函数f（x）的图像的相邻两个对称中心的距离为，求f（x）在区间上的最小值．
详解答案
1[答案] D
[解析] ∵|a|＝|b|即两向量的模相等，但方向不确定，∴①不正确；
对于②，当b＝0时，其方向是任意的，∴a∥c不对；
对于④，当＝时，A、B、C、D有可能共线，即不能构成四边形，∴只有③正确，故选D.
2[答案] B
[解析] f（x）＝tan（－x）＝－tan（x－），
所以f（x）的单调递减区间满足不等式
－＋kπ<
x－<
＋kπ，k∈Z，即
x<
＋kπ，k∈Z，故选B.
3[答案] A
[解析] 本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．
由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，
所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得
sin（α＋）＝sinαcos＋cosαsin
＝（－）×
＋（－）×
＝－，故选A.
4[答案] C
[解析] 由题意知，＝·
k，∴ω＝6k，
令k＝1，∴ω＝6.
5[答案] C
[解析] 依题意y＝sinωx的周期T＝4×
＝π，
又T＝，∴＝π，∴ω＝.
故选C（亦利用y＝sinx的单调区间来求解）
6[答案] B
[解析] 函数y＝cos（2x＋）－2按向量a＝（m，n）平移后得到y′＝cos（2x－2m＋）＋n－2.若平移后的函数为奇函数，则n＝2，－2m＝kπ＋（k∈Z），故m＝－时适合．
7[答案] B
[解析] ∵＝＝，
∴sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，
移项得sin（B＋C）＝2sinA·
cosB，
∴sinA＝2sinA·
cosB，∵sinA≠0，∴cosB＝，
∴B＝60°
.故选B.
8[答案] A
[解析] 如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.
∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1.
又∵a·
b＝－，
∴|a|·
|b|·
cos∠AOB＝－，
∴cos∠AOB＝－.∴∠AOB＝120°
.
∴O、A、C、B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°
，∴Rt△AOC≌Rt△BOC，∴∠ACO＝∠BCO＝30°
，
∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2.
9[答案] C
[解析] 法一：
∵C＝π－（A＋B），
∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝2cosBsinA.
∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin（A－B）＝0.
∵－π<
A－B<
π，∴A－B＝0，即A＝B.
方法二：
由正弦定理sinA＝，sinC＝，cosB＝，
代入条件式得2·
·
＝，
∴a2＝b2.故a＝b.
10[答案] A
[解析] 设P（x，y），F1（－，0），F2（，0），
则·
＝（－－x，－y）·
（－x，－y）＝x2＋y2－3.
∵△F1PF2的面积S＝|||y|＝·
2·
|y|＝|y|＝1，
∴y2＝.由于点P在椭圆上，
∴＋y2＝1.∴x2＝.
∴·
＝x2＋y2－3＝＋－3＝0.故选A.
11[答案] D
[解析] 此类题目应先化简函数解析式为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋m形式再求解．
f（x）＝sin＋cos＝sin
＝cos2x.
则函数在单调递减，其图象关于x＝对称．
11理[答案] A
[解析] 依题意：
f（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）
＝sin（ωx＋φ＋），
又T＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋φ＋）
又f（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ＋（k∈Z），
即φ＝kπ＋.
又|φ|<
，∴φ＝，
∴f（x）＝sin（2x＋）＝cos2x.
又y＝cosx在x∈[0，π）单调递减，
则由0<
2x<
π得0<
即f（x）＝cos2x在（0，）单调递减，故选A.
12[答案] D
C（c,0），D（d,0）调和分割点A（0,0），B（1,0），则有：
＝λ，＝μ，即（c,0）＝λ（1,0）＝（λ，0），
（d,0）＝μ（1,0）＝（μ，0），∴c＝λ，d＝μ，
又＋＝2，∴＋＝2.
对于A，若C为AB中点，则c＝，又＋＝2，
∴d不存在，A错误．同理B错误．
若C正确，则0<
c≤1,0<
d≤1，∴0<
λ≤1,0<
μ≤1.
∴≥1，≥1，又λ，μ不能同时取1，
∴＋>
2.∴C错误．故选D.
13[答案] π
[解析] 因为f（x）＝cosx（sinx＋cosx）
＝sin2x＋＝sin＋，
所以最小正周期为T＝π.
14[答案] ；
2
0<
A<
π，tanA＝2，
∴sinA＝＝.
由正弦定理得：
a＝·
sinA＝5×
×
＝2.
15[答案]
[解析] ·
＝（＋）＝2＋·
＝32＋3×
1×
cos120°
＝9－＝.
15[答案] [，]
[解析] 平行四边形面积S＝||||sinθ＝，
∵|α|≤1，|β|≤1，
∴sinθ≥，又θ∈[0，π]，∴θ∈[，]
16[答案] ①②③
[解析] ①∵f＝3sin
＝3sinπ＝－3，∴x＝π为对称轴．
②∵f＝3sin＝3sinπ＝0，
∴为f（x）的图像的对称中心．
③由－<
⇒－<
2x－<
由于函数y＝3sinx在内单调递增，
故函数f（x）在内单调递增．
④∵f（x）＝3sin2，
由y＝3sin2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin2＝3sin，故答案为①②③.
17[解析] f（x）＝asinxcosx－cos2x＋sin2x
＝sin2x－cos2x，
由f（－）＝f（0）得－·
＋＝－1，解得a＝2.
∴f（x）＝sin2x－cos2x＝2sin（2x－），
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f（x）为增函数．
当x∈[，]时，2x－∈[，]，f（x）为减函数．
∴f（x）在[，]上的最大值为f（）＝2，
又f（）＝，f（）＝，
∴f（x）的最小值为f（）＝.
18[解析] 如图所示
∵cos（B＋C）＝－cosA，
1＋2cos（B＋C）＝0
∴1－2cosA＝0，即cosA＝，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
∵a＝，b＝，∴3＝2＋c2－2×
c×
即c2－c－1＝0，
∵c>
0，∴c＝，
设BC边长的高为h，S△ABC＝bcsinA＝·
a·
h，
即×
＝·
h
∴h＝＝，即BC边上的高为.
19[解析]
（1）f（x）＝·
sin2x－2（sinx＋cosx）（sinx－cosx）
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x
f（α）＝
＝＝＝.
（2）由
（1）f（x）＝cos2x＋sinxcosx
＝＋＝sin（2x＋）＋，
≤x≤⇒≤2x＋≤
⇒－≤sin（2x＋）≤1⇒0≤f（x）≤，
∴f（x）∈[0，]．
20[解析]
（1）∵向量＝（3，－4），＝（6，－3），＝（5－m，－3－m），
∴＝（3,1），＝（2－m,1－m），
由三点共线知3（1－m）＝2－m，解得m＝.
（2）由题设知＝（－3，－1），＝（－1－m，－m），
∵∠ABC为锐角，∴·
＝3＋3m＋m>
0，
解得m>
－.
又由
（1）可知，当m＝时，A，B，C三点共线，
故m∈（－，）∪（，＋∞）．
21[解析]
（1）由题意可知，absinC＝·
2abcosC，
∴tanC＝，
又∵0<
C<
π.∴C＝.
（2）由已知sinA＋sinB＝sinA＋sin（π－C－A）
＝sinA＋sin（－A）
＝sinA＋cosA＋sinA＝sinA＋cosA
＝sin（A＋）≤.
当且仅当A＋＝，即A＝，
即当△ABC为正三角形时取等号，
∴sinA＋sinB的最大值是.
22[解析]
（1）m∥n时，sin＝sin，
sinxcos－cosxsin＝sinxcos＋cosxsin，
则sinx－cosx＝sinx＋cosx.
∴sinx＝cosx，所以tanx＝＝2＋.
（2）f（x）＝2sinsin
＝2sincos
＝2sincos＝sin.
（或f（x）＝2sinsin
＝2
＝－sin2ωx＋sin2ωx＝sin.）
∵函数f（x）的图像的相邻两个对称中心的距离为，
∴f（x）的最小正周期为π，又ω为正常数，
∴＝π，解得ω＝1.故f（x）＝sin.
因为x∈，所以－≤2x－≤.
故当x＝－时，f（x）取最小值－.
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