北交大激光原理第4章高斯光束部分finalWord格式.docx
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CqiD
高斯光束q参数的变换规律
ABCD公式
q2^
高斯光束的聚焦：
只讨论单透镜
高斯光束的准直：
一般为双透镜
高斯光束的模式匹配：
实质是透镜变换，分两种情况
已知w0，w0，确定透镜焦距F及透镜距离I，I'
已知两腔相对位置固定IoII'
及Wo，Wo确定，F如何选择
高斯光束的自再现变换和稳定球面腔
高斯光束的自再现变换
w'
oWo
I'
I
orq（I'
）
q（0）
球面镜R（I）I1
"
T1即F-R（I）222
稳定球面腔
、典型问题的分析思路
等相位面曲率半径R（z）z1
W0
高斯光束的q参数在自由空间中的传输规律
q（z）i-^zqoz
荷丽iw2（z）
Re
1_
—Im
q（z）
2——
此类问题的
基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角实质是，通过任意光学系统追踪高斯光束的
q参数值。
首先要计算傍轴光线通过该系统的变
换矩阵
求出某位置处的q（z）
光束的曲率半径R（z）和光斑大小w（z）o
1）高斯光束通过单个透镜的变换。
已知入射高斯光束的腰斑半径和位置,
求出射高斯光束的腰斑半径和位置。
求解这类问题的
方法是根据傍轴光线通过该系统（透镜）的变换矩阵
在透镜左端
q参数，然后得到出射咼
入射高斯光束的q参数qAifl,求出经过此光学系统变换后的斯光束的腰斑半径和位置。
高斯光束通过双透镜的变换。
高斯光束通过第一个透镜后，出射高斯光束的腰斑半径和位置，然后将第一个透镜的出射光
束看成是第二个透镜的入射光束，再重复利用公式
3）高斯光束的聚焦
WoF
lFF2
（1）F<
f透镜焦距足够小无论I为何值，均可使w0w0若F>
f要使w0w0要求
F2
F
l2f2即l
-F2
f2或I
F2f2才能聚焦如果
f2lF
2f2
不能聚焦
⑵.
淀时IF
Wol'
l
lwol
ol
良好的聚焦效果：
使用短焦距透镜；
光腰远离透镜；
双透镜聚焦
4）高斯光束的准直
a.单透镜对高斯光束发散角的影响物高斯光束的发散角为02
像高斯光束的发散角为
o2U
Fl
1.l1wo
w2FF2
F时，Wo达到极大值w'
o
——F
2——2业
oF
F时，F越大，w0越小，像高斯光束的方向性越好。
b.利用望远镜将高斯光束准
直方法：
先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透
镜来改善其方向性，可得到很好的准直效果。
wo
w"
w（l）
0
散角可以看出Wo，所以要使wo增大
当lF2时,woF2Wo最大。
所以第二个透镜的焦距F2要尽可能的大，而且Wo要
尽可能的小，这就要求I
Fi，这时光腰几乎落在焦平面上
SFiF2组成一倒装望远
镜。
准直倍率（发散角压缩比）M
F2wI
FiWo
5）高斯光束的模式匹配
模式匹配是使一个谐振腔的振荡模式经透镜变换后能在另一个谐振腔激发出相同的模式。
问题实质是透镜变换。
分两种情况：
一种是已知Wo，w'
o，确定透镜焦距（F）及透镜的距离I,I'
（即两腔的相对位置）。
根据物方高斯光束和像方高斯光束腰斑尺寸和束腰到透镜的距离所满足的公式
foWoWo当Ffo并确定时，可求得l,l'
第二种情况是两腔相对位置固定（即两光腰之间的距离）l「及wo,wo确定，为了实现模匹配，f如何选择。
lF
Wo;
F2fo2
Wo汗2fo2
将上面两式相加，根据lo
ll'
，得到
lo2F
F2fo2W
其中fo
WoWo，设A
w°
，上面方程变为
4A2
F24loFIf
A2fo2
o根据此式可求的焦距F。
四、思考题
1.高斯光束最多需要几个独立参数来描写？
2.认为描述激光束最重要的一个参数是什么，为什么？
3.何使单透镜对激光束的聚焦效果最好？
4.对激光束聚焦的单透镜应如何选取？
5•如何才能使激光束准直效果最好？
6.聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件?
7•如何加入第二束共线共焦UV激光？
（30分）
8•试说明发散角和球面光波束张角的区别。
五、练习题
1波长为的高斯光束入射到位于Z1（图3.1）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L），透镜的焦距f应为多少？
画出解的简图。
2.
生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数Zr及发散角
3•某高斯光束光腰大小为°
1.14mm，波长10.6m。
求与腰相距30cm，10m，
1km处光斑的大小及波前曲率半径。
4.求出上题所给出的个高斯光束的发散角1/e2。
用计算来回答下述问题：
在什么条件下可
以将高斯光束近似地看作曲率中心在光腰处的球面波？
即在什么条件下可以用公式
R（z）z和公式w（z）1/e2R（z）来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径？
5.某高斯光束的°
1.2mm，10.6m。
另用f2cm的凸透镜来聚焦。
当光腰与透
镜距离分别为10m、1m、0时，出射高斯光束的光腰大小和位置各为多少？
分析所得的结果。
6.已知高斯光束的00.3mm，0.6328m。
试求：
（1）光腰处；
（2）与光腰相距
30cm处；
（3）无穷远处的复参数q值。
7.两支氦氖激光器的结构及相对位置如图3.3所示，求在什么位置插入一焦距为多大的透
镜才能实现两个腔之间的模匹配？
Ri1mR2R50cmR2
图3.3
8.从腔长为1m，反射镜曲率半径为2m的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm,
曲率半径为10cm的干涉仪中去，两腔长相距50cm，为得到模匹配，应把焦距为多大的透
镜放置在何处？
9.某高斯光束的w01.2mm，10.6m，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主
镜用镀金全反射镜：
R1m，口径为10cm；
副镜为一锗透镜：
f12.5cm，口径为1.5cm，
高斯光束的束腰与副镜相距I1m，求以下两种情况望远镜系统对高斯光束的准直倍率：
（1）
两镜的焦点重合；
（2）从副镜出射的光腰刚好落在主镜的焦平面。
光束发散角为1.0103rad；
（2）光束发散角为1.0106rad时，月球表面被照亮的面积为多少？
两种情况下，光腰半径各为多少？
11.一高斯光束的光腰半径w02cm，波长1m，从距离透镜为d的地方垂直入射到
焦距为F4cm的透镜上。
求：
（1）d0，
（2）d1m时，出射光束的光腰位置和光束发散角。
12一染料激光器输出激光器的波长0.63m，光腰半径为60m。
使用焦距为5cm的
凸透镜对其聚焦，入射光腰到透镜的距离为0.50m。
问：
离透镜4.8cm处的出射光斑为多
大？
13.一高斯光束的光腰半径为0,腰斑与焦距为f的薄透镜相距为I，经透镜变换后传输
距离Io，又经一折射率为，长为L的透明介质后输出，如图3.5所示。
（1）高斯光束
在介质出射面处的q参数和光斑半径。
（2）若介质移到薄透镜处，即Lo0（不考虑可能
存在的间隙），求输出高斯光束的远场发散角。
反射镜a0.44m处放置长为b0.1m的钕玻璃棒，其折射率为1.7。
棒的一端直接镀
上半反射膜作为腔的输出端。
（1）进行腔的稳定性判别；
（2）求输出光斑的大小；
（3）若输
出端刚好位于f0.1m的透镜的焦平面上，求透镜聚焦后的光腰大小和位置。
图3.6
13、某二氧化碳激光器，采用平-凹腔，凹面镜的R=2m腔长L=1m试给出它所产生的高斯光束的束腰斑半径0的大小和位置、该高斯光束的f及0的大小。
1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。
15、若已知某高斯光束之0=0.3mn，632.8nm。
求束腰处的q参数值，与束腰
相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无穷远处q的值。
16、某高斯光束0=1.2mn，10.6m。
今用F=2cm的锗透镜聚焦，，当束腰与透镜的距离为I10m、1m、10cm、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得结果。
17、二氧化碳激光器输出光10.6m，03mm，用一F2cm的凸透镜来聚
焦，求欲得到020m及2.5m时透镜应放在什么位置。
18、如图2.2光学系统，入射光10.6m，求0及|3。
图2.2
19、某高斯光束0=1.2mn，
10.6m。
今用一望远镜将其准直。
主镜用镀金反射
镜R=1cm口径为20cm；
副镜为一锗透镜，F,2.5cm，口径为1.5cm；
高斯光束束腰
与透镜相距I
20、激光器的谐振腔由两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。
21、已知一二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜组成，R11m，r22m，L0.5m。
22、
（1）用焦距为F的薄透镜对波长为、束腰半径为0的高斯光束进行变换，并使
变换后的高斯光束的束腰半径（此称为高斯光束的聚焦），在Ff和Fff—-两
种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离I?
（2）在聚焦过程中，如果薄透镜
到高斯光束束腰的距离I不能改变，如何选择透镜的焦距F？
23、试由自在现变换的定义式（2.12.2）用q参数法来推导出自在现变换条件式
（2.12.3）。
24、试证明在一般稳定腔（R!
，R2，L）中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面
的曲率半径必分别等于各该镜面的曲率半径。
25、试从式（2.14.12）导出式（2.14.13），并证明对双凸腔B24C0。
26、试计算R11m，L0.25m，a12.5cm，a21cm的虚共焦腔的单程和往返。
若想保持a1不变并从凹面镜M1端单端输出，应如何选择a2?
反之，若想保持a2不变并从凸面镜M2端单端输出，应如何选择a1?
在这两种单端输出的条件下，单程和往返各为多大？
题中a1为镜M1的横截面半径，R1为其曲率半径，a2、R2的意义类似。
六、部分答案
解答：
两个。
激光束最重要的一个参数是q参数，因为它主要决定了高斯光束的场分布和传输特点。
⑴F<
f透镜焦距足够小无论I为何值,均可使w0w0
（2）.若F>
f要使
w0w0要求FF
f2即l
F,F2f2或1F,F2f2才能聚焦如果
F2f2lF
■■F
定时lFW0
F'
l'
F
FlW0l
0lF
光腰远离透镜。
先用一个短焦距的透镜将高斯光束聚焦，获得极小的腰斑，然后用一个长焦距的透镜来改善其方向性，经过短透镜的出射光束聚在长焦距透镜的焦点上。
这样可获得很好的准直
效果。
6.聚焦、打孔及准直是高斯光束常见的应用问题，如何取得最佳工作条件？
X2
focus
X3
X1
fl
f2
UV1
UV2
X4
解答:
8•试说明发散角和球面光波束张角的区别。
9.波长为的高斯光束入射到位于Z1（图3.1）处的透镜上，为了使出射高斯光束的光腰刚好落在样品的表面上（样品表面距透镜L），透镜的焦距f应为多少？
如图
q'
qoq
i
代入上式得:
z'
（1-f）q。
zz
（1-f）qo（zz-f）
.i
11
q（
R
為，
qf'
R'
pw'
由1
i
得
qqfz,
qf'
z'
qf
f
（z
（i7）
让实部和虚部对应相等得到:
qof-z
q。
fz'
进而得到：
q°
-（z
'
zz
z-f）f
24
将zl,zL,代入上式可求出f
1m。
求出它所产
2.二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的曲率半径R2m，腔长L
生的高斯光束的光腰大小和位置，共焦参数zR及发散角。
解:
r
/一
\
R2
X_
l1
1!
./
由（z）
z-1z（1
A）
-1
2，可得
由f-
—，可得
1m
01.8mm
10.6
03.141.8
1.87mrad
3.某高斯光束光腰大小为01.14mm，波长
求与腰相距
30cm，10m，
解答：
R（Zz（1f2）
当z=30cm时，（Z）z302.09mm,Rz）z300.79m
当z=10m时，（zzi02.97cm,Rz）z1010.015m
当z=1000m时，（zz10002.96m,R（z）z10001000m
R（z）z和公式w（z）1/e2R（z）来计算高斯光束的光斑大小的波前曲率半径?
z0
当z?
z0时
10.610
1.1410
0.38m
Z0
3
2.9610rad
（z）021（—）2R（z）
z。
5.某高斯光束的01.2mm，
根据
（1--）
z'
1f
z124
（A
z）0
（1z）0
（1-
f）2f2
（1-f2f2
当z=10m时，
02.4m,z'
2cm
当z=1m时,
2.12m,z'
2.03cm
当z=0m时,
2.64m,z202cm
6.已知高斯光束的o0.3mm,0.6328m。
由公式f一,q（z）zif，代入数值得
（1z0时q44.66i
（2）z30cm时q3044.66i
（3）z时q44.66i
R11mR2R50cmR2
L30cmL25cm
<
50cm:
根据等相位面曲率半径为
R2（1门
当z-0.3m时，等相位面曲率半径R1，由上式得
（1
f：
）1z
f,0l27
z-
-0.3m
利用
f-
W°
4
0.6328m得到w3.2410m
4
同理，w03.1710m
根据高斯光束得模匹配公式有
w0.F2
wL
f。
W0产
W0'
0.75,f。
W0W0
000.51
解得
0.87m,z0.31m,z0.44m
8.从腔长为1m，反射镜曲率半径为2m的对称腔中输出的高斯光束入射到腔长为5cm,
曲率半径为10cm的干涉仪中去，两腔长相距50cm，为得到模匹配，应把焦距为多大的透镜放置在何处？
L0.5m
厂（2RL
L2）
I
L0.025m
Z2
2R-2L2
护&
8
A=
00
4.69
0.22
l00.50.50.051.05
f0.25m,l0.76m
9.某高斯光束的W01.2mm，10.6m，今用一望远镜将其准直，如图3.4所示，主
（1）fi2.5cm
W01
（
Z1）2
01
M
Zi
）2
20
（L
f）f2
（Lf）2—）2
2.506cm
w0f02.8105m
024
（1Z0）2（2f02）
f250cm，主镜上的光斑尺寸超过镜面尺寸，考虑衍射，M22
5
10.月球距地球表面3.810km，使用波长0.5145m的激光束照射月球表面。
当
（1）
（2）光束发散角为1.0106rad时，月球表面被照亮的面积
为多少？
根据光斑尺寸为
w2（z）W1（勺2
光束发散角为
得到w0——，将其代入光斑尺寸公式得
W2（z）-21（-）2
于是有
（1）当1103rad,0.5145m,z3.8105km时
光腰半径为w0——3.3104m
月球表面被照亮的面积为Sw2（z）1.13105km2
65
（2）当110rad,0.5145m,z3.810km时
光腰半径为w0——0.33m
月球表面被照亮的面积为Sw2（z）0.113km2
11.一高斯光束的光腰半径w。
2cm，波长1m，从距离透镜为d的地方垂直入射到焦距为F4cm的透镜上。
出射高斯光束束腰处光斑半径为
w
w：
（zF）F
（F
z）2
_w0
2~
F）2
d0,w00,z4cm
2—w'
II
12一染料激光器输出激光器的波长
d1m,w00,z4cm
0.63m，光腰半径为60m。
出射高斯光束束腰处光斑半径和光腰距透镜的距离为
2w：
W02~4
（Fz）2-W-
（Z
2~4
出射高斯光束距束腰距离为
Z处的光斑尺寸为
W；
⑵
W01（
三）2
计算得到
~2~
4.4410
112
m
（z）
z）2
1.546
109
m2
7.5103
4.44
10m
（Z）
7.5
（1f）2
103
）2
1.546109m2
13.一高斯光束的光腰半径为
0,腰斑与焦距为
f的薄透镜相距为I，经透镜变换后传输
0（z）
（z）39.32m
距离I。
，又经一折射率为，长为L的透明介质后输出，如图3.5所示。
（2）若介质移到薄透镜处，即L0
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