山东省菏泽市学年高三下学期第二次模拟考试数学理试题 Word版含答案.docx
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山东省菏泽市学年高三下学期第二次模拟考试数学理试题Word版含答案
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则等于（）
A．B．C．D．
2.已知复数，则等于（）
A．B．C．D．
3.某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，已知从49—64这16个数中被抽到的数是58，则在第2小组17—32中被抽到的数是（）
A．23B．24C．26D．28
4.已知函数在上单调递减，则实数的值可以是（）
A．1B．-1C．-2D．-3
5.“”是“圆被轴所截的弦长大于2”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知关于的不等式的解集为，则实数的最大值为（）
A．3B．2C．1D．0
7.包括甲、乙、丙三人在内的6个人站成一排，则甲与乙、丙都相邻且乙不站两端的排法有（）
A．32种B．36种C．42种D．48种
8.如果实数满足条件，若的最小值小于，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．23D．24
10.已知函数，，实数满足，若，，使得成立，则的最大值为（）
A．3B．4C．5D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在机读卡上相应的位置.）
11.在中，，则的面积为______________.
12.执行如图的程序框图，若输入的值为5，则输出的值为______________.
13.已知向量的夹角为，且，设，若是以为斜边的直角三角形，则______________.
14.已知函数的图象与直线及所围成平面图形的面积不小于，则曲线在点处的切线斜率的最小值为______________.
15.已知点是椭圆的上焦点，是双曲线的右焦点，若线段的中点恰为椭圆与双曲线的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线的离心率为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）
已知向量，.
（1）若，且，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有零点，求的取值范围.
17.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，，是的中点.
（1）求证：
平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.
18.（本小题满分12分）
机动车驾驶证考试分理论考试与实际操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则机动车驾驶证考试“合格”并颁发《机动车驾驶证》.甲、乙、丙三人在理论考试中，“合格”的概率依次为：
、、，在实际操作考试中“合格”的概率依次为：
、、，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）求这3人进行理论与实际操作两项考试后，恰有2人获得《机动车驾驶证》的概率；
（2）用表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
20.（本小题满分13分）
过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线在第一象限的交点为，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于、两点.
（i）若，线段的垂直平分线分别交轴和抛物线于两点（位于直线两侧），当四边形为菱形时，求直线的方程；
（ii）若直线过点，且交轴于点，且，对任意的直线，是否为定值？
若是，求出的值；否则，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知函数的图象在点处的切线与直线平行.
（1）若函数在上是减函数，求实数的最小值；
（2）设，若存在，使成立，求实数的取值范围.
山东省菏泽市2017-2018学年高三下学期第二次模拟考试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题
1-5.CDCBA6-10.CBDAA
二、填空题
11.212.3013.-1114.15.
三、解答题
16.
（1）∵，.
∴，得.
∴，
∵，∴，则.
令得，∴.
∴的取值范围是.
17.解：
（1）证明：
取的中点，连接，,
∵，∴，
∵，∴.
∵是的中位线，∴，
∵，∴平面平面，
∵平面，∴平面.
（2）法一：
连接，则，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，∴，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，∴
∵向量是平面的一个法向量，
∴.
∴二面角的余弦值为.
法二：
过作于，易证平面，
过作于，连结，则，∴为二面角的平面角.
在中，等于边上的高的一半，即，
由已知可得为等腰直角三角形，∴，又，∴，则，
∴，即二面角的余弦值为.
18.解：
（1）记“甲获得《机动车驾驶证》”为事件，“乙获得《机动车驾驶证》”为事件，“丙获得《机动车驾驶证》”为事件.
则，，，
3人考试后恰有2人获得《机动车驾驶证》为事件，
则.
（2）由题意得
，，
，.
的分布列为：
0
1
2
3
19.解：
（1）当时，，
当时，，知满足该式.
∴数列的通项公式为.
∵（）.①
∴.②
②-①得：
，，
故，当，又由可得，也满足通项公式，所以.
（2）
∴.
令，①
则，②
①-②得：
，
∴.
∴数列的前项和
20.解：
（1）设，过作轴于点.
∵直线的斜率为，∴,
∵，∴，即，由抛物线的定义得，得.
∴抛物线方程为.
（2）（i）直线的方程为，
联立，消得，令，解得.
所以，，
所以，，
即的中点为，
所以的垂直平分线方程为.
所以，因为四边形为菱形，关于对称.
所以点坐标为，且点在抛物线上，
所以，即，
所以直线的方程为.
（ii）显然直线的斜率一定不等于零，其方程为，则直线与轴交点为，
由得，
∴，
∴，
由，得，
∴，同理可得，
∴，
∴对任意的直线，为定值
21.解：
∵，∴，∴，，则.
（1）∵在上为减函数，∴在上恒成立.
即在上恒成立，
∵函数在上递减，∴的最大值为，∴实数的最小值为.
（2）∵，
∴.
故当，即时，.
若存在，使成立，等价于当时，有.
当时，在上为减函数，
∴，故，
当时，由于在上为增函数，
故的值域为.
由的单调性和值域知，
存在唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
所以，，.
所以，，与矛盾，不合题意，
综上，得.
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