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该圆称为渐开线的基圆，直线nn称为发生线。
角θk称为渐开线AK段的展角。
根据渐开线的形成过程，我们可以看出渐开线具有下列特性：
2、渐开线上任一点K的法线必与基圆相切。
其切点N是渐开线上K点的曲率中心，线段NK是渐开线上K点的曲率半径（图5—2）。
由此可见，渐开线上各点的曲率半径是不相同的，K点愈靠近基圆，其曲率半径愈小，即渐开线弯曲的程度愈大，当K点与基圆上的A点重合时，则曲率半径为零。
3、渐开线上任一点的法线与该点速度方向线所夹的锐角αk称为该点的压力角，其大小为：
COSαk＝rb/rk，可见，渐开线上各点的压力角也不同，向径rk愈大（即K点离轮心愈远），其压力角愈大。
4、渐开线的形状决定于基圆的大小。
同一基圆上的渐开线形状完全相同；
大不等的基圆其渐开线形状不同，如图5—3所示。
基圆愈小，渐开线愈弯曲；
基圆愈大，渐开线愈平直；
当基圆半径为无穷大时，渐开线就变成为一条直线。
此时齿轮就变成了齿条，即齿条上的齿廓就是这种直线齿廓。
5、基圆内无渐开线。
二、渐开线齿轮的啮合特点
1、保证恒定的瞬时传动比（即满足齿廓啮合基本定律）
前面我们曾讲过，要保证齿轮正常工作，其传动比必须保持不变，否则，就会产生惯性力。
从而不仅影响齿轮的寿命，而且还引起机器的振动和噪声。
下面我们来研究渐开线齿轮是否保持恒定的瞬时传动比。
由渐开线的性质可知：
设ω1、ω2分别为主动轮和从动轮的角速度，R01、R02分别为主动轮和从动轮的基圆半径，则
所以R01ω1Δt=R02ω2Δt
故瞬时传动比i=ω1/ω2=R02/R01
上式说明两渐开线齿轮的瞬时传动比，等于其基圆半径的反比。
对于己制造好的一对
图5—4所示为一对啮合的渐开线齿轮。
直线N1N2是两基圆的内公切线。
设在某一瞬时，两齿轮在K点接触，根据渐开线的性质可知，过K点的公法线必与两基圆相切，即K点公法线与两基圆的内公切线N1N2相重合。
当经过时间Δt后，主动轮转过ΔΦ1，从动轮转过ΔΦ2，其接触点由K点移到K′点。
同样道理可知，K′点的公法线也与两基圆的内公切线N1N2相重合。
由此可知，渐开线齿轮啮合时，各接触点始终沿着两基圆的内公切线N1N2移动。
图5—4渐开线齿轮满足啮合基本定律
渐开线齿轮来说，其基圆半径是固定不变的，所以一对渐开线齿轮的瞬时传动比为一常数，即保持恒定的瞬时传动比。
从图5—4可知，N1N2与两轮中心的连线0102交于P点。
因为Δ01N1P∽Δ02N2P，所以R02/R01＝02P/O1P＝R2/R1，于是
i=ω1/ω2=R02/R01=R2/R1
将上式改写成R1ω1=R2ω2，即表示两轮在P点的线速度相等，这就是说，渐开线齿轮传动时，可以看成半径分别为Rl和R2的两个摩擦轮作无滑动的纯滚动。
所以这两个圆称为节圆，R1、R2称为节圆半径，P点称为节点。
2、渐开线齿廓的传力特性
由渐开线齿廓的形成原理可知，对于渐开线齿轮来说，无论两齿廓在哪一点接触，过接触点的公法线都是同一条直线N1N2，也就是说一对渐开线齿廓从开始啮合到脱离接触，所有的啮合点均在N1N2上。
因此N1N2是两齿廓接触点的轨迹，称为渐开线齿轮传动的啮合线。
因齿轮在传动中两齿廓间的正压力是沿其接触点的公法线方向，故知渐开线齿轮在传动过程中，两啮合齿廓间的正压力方向是始终不变的。
这对齿轮传动的平稳性是很有利的。
3、中心距的可分性
由于制造和安装等误差，一对渐开线齿轮的实际中心距必然会与计算值产生一定的偏差。
但由于齿轮的瞬时传动比只与基圆半径有关，因此当中心距有偏差时，齿轮的瞬时传动比是不会改变的。
这个性质称为传动的可分性。
这是渐开线齿轮的一个重要优点。
正是由于这一优点，使一些小型加工机得以简单化。
如家用面条机压面辊的调整等。
5—3渐开线标准齿轮各部分名称和基本参数
一、齿轮各部分名称和符号
图5—5为渐开线标准直齿圆柱齿轮的一部分。
为了使齿轮能在两个方向转动，齿轮两侧齿廓是完全对称的。
现将有关参数的意义和尺寸关系分述如下：
周节，用Pk表示。
3、分度圆、模数与齿数设Z为齿数，则根据周节的定义可得πdk=PkZ，即dk=PkZ/π，可见在不同直径的圆周上，比值Pk/π是不同的，其中还包含无理数“π”，既不便于计算，也不便于设计和制造。
此外，根据渐开线的特性，在不同直径的圆周上，齿廓各点的压力角αk也是不等的。
故为了便于设计、制造及互换使用，将齿轮某一圆周上的比值Pk/π规定为标准值（整数或较完整的有理数），并使该圆上的压力角为标准值，这个圆称为分度圆，其直径用d表示。
分度圆上的压力角用α表示。
分度圆上的周节P对π的比值称为模数，用m表示。
4、齿顶高、齿根高及全齿高在轮齿上介于齿顶圆和分度圆之间的部分称为齿顶，其径向高度称为齿顶高，用ha表示。
介于齿根圆和分度圆之间的部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用hf表示。
齿顶圆与齿根圆之间轮齿的径向高度称为齿全高，用h表示。
5、压力角α分度圆上两齿廓曲线接触点的受力方向（即两齿廓接触点的公法线）与运动方向之间的夹角α称为压力角。
显然，压力角α愈大，则推动齿轮转动的切向分力愈小，而径向分力愈大。
图5—6为分度圆上不同压力角的轮齿形状。
由图中几何关系可得：
COSα=R/R0，可见，压力角α不但随分度圆半径R而变化，而且与基圆半径R0的大小有关。
当α<
20°
时，虽然齿轮传动性能较好，但齿轮的基圆半径R0较大，离分度圆直径距离很近。
这样，不但齿根部分的渐开线短（因基圆内无渐开线），而且齿根很瘦，则强度不高。
若α>
，则齿轮的基圆半径R0较小，虽齿根强度较高，但传动性能不好。
可见，压力角α是决定齿形与传动性能的重要参数。
所以标准中规定压力角α=20°
是比较合适的。
二、基本参数和标准齿轮的几何尺寸
1、基本参数：
齿轮的基本参数只有齿数Z、模数m和压力角α三个。
其中模数m是齿轮几何尺寸计算的基础。
为了便于设计和制造，我国对模数m己标准化、系列化。
在设计齿轮时，其模数m应符合国家标准的规定。
应用时可从有关手册中查得。
标准齿轮模数系列表（GB1357—78摘录）
第一系列
1.25
1.5
2
2.5
3
4
5
6
8
10
第二系列
1.75
2.25
2.75
（3.25）
3.5
（3.75）
4.5
5.5
（6.5）
7.0
注：
1°
本表适用于圆柱齿轮、圆锥齿轮及蜗杆传动等各种齿轮传动。
2°
对斜齿圆柱齿轮系指法面模数；
对圆锥齿轮系指大端模数；
对蜗轮系指端面模数。
3°
选用模数时应优先选用第一系列，括号内的数值尽可能不用。
2、标准齿轮的几何尺寸
具有标准模数、标准压力角、标准齿顶高和标准齿根高，且分度圆上齿厚等于齿槽宽的齿轮称为标准齿轮。
对于标准齿轮s=e=p/2=πm/2,而
齿顶高ha＝m齿根高hf=1.25m
齿全高h＝ha十hf＝2.25m齿根圆d＝Zm
齿顶圆直径da＝d+2ha＝（Z+2）m齿根圆直径df＝d-2hf＝（Z-2.5）m
可见，分度圆和模数是齿轮的一个重要尺寸。
显然，m愈大，轮齿的齿根愈厚，轮齿的抗弯能力也愈高，所以模数m又是轮齿抗弯能力的重要标志。
5—4渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
一、一对渐开线齿轮的正常啮合条件
由前面所述可知，渐开线齿廓能满足定传动比传动，但这并不等于说任意两个渐开线齿轮都能成对搭配起来正确地传动。
比如说，一个齿轮的齿距很小，而另一个齿轮的齿距却很大，显然这两个齿轮是无法搭配传动的。
那么一对渐开线齿轮应具备什么条件才能正确啮合传动呢？
从齿轮的整个啮合过程来看，为了保证前后两对齿廓能同时在啮合线上接触，则两齿轮的基节应相等，即：
P01=P02
又P01=P1cosα1=πm1cosα1P02=P2cosα2=πm2cosα2
则应有m1cosα1=m2cosα2
因为模数和压力角均己标推化，所以要满足上式，只有使m1=m2和α1=α2。
这就是说要使一对渐开线齿轮正常啮合即配对使用，就必须使它们的模数和压力角分别相等。
二、连续传动条件
如图5—7a所示，一对齿廓的啮合是由从动轮2的齿顶圆与啮合线N1N2的交点B2开始，到主动轮1的齿顶圆与啮合线N1N2的交点B1时终止的。
所以B1B2称为齿廓啮合的实际啮合线。
当一对轮齿在B1点将要终止啮合时，尚若后一对轮齿已进入啮合或在B2点刚刚进入啮合，那么两轮就能连续地运转。
所以保证齿轮连续传动的条件是：
实际啮合线B1B2大于或等于基圆上的齿距。
即
式中εα称为齿轮传动的重合度。
εα的大小表明了同时参入啮合的轮齿对数的平均值。
显然增大εα，对提高齿轮传动的平稳性，提高齿轮传动的承载能力都是有力的，但对于标准齿轮εαmax不会超过1.98。
理论上εα=1就能保证一对齿轮连续传动，但由于制造、安装误差等原因，在实用中一般取εα=1.1～1.4。
至于重合度εα的大小，可由下式求得：
三、标准中心距（即正确安装条件）
一对齿轮传动时，一轮节圆上的齿槽宽与另一轮节圆上的齿厚之差称为齿侧间隙。
在齿轮设计时，正确的安装条件是按齿侧无间隙确定其中心距尺寸。
而由标准齿轮的定义知，当分度圆与节圆重合时，齿侧间隙为零。
所以分度圆与节圆重合时（即两分度圆相切时）的安装称正确安装，其中心距称为标准中心距，用a表示，即：
a=r1+r2=m（z1+z2）/2
应当注意，单个齿轮只有分度圆和压力角。
一对齿轮啮合时，才有节圆和啮合角。
标准齿轮只有在正确安装时，节圆与分度圆重合，啮合角才等于压力角。
否则，节圆与分度圆不重合，啮合角不等于压力角。
5—5渐开线齿廓的切制与根切
一、渐开线齿廓的切制方法
齿轮轮齿的加工方法很多，有铸造、热轧、模锻、粉末冶金和切削加工等方法。
但最基本的是切削加工法，也是目前最常用的加工方法。
按其切齿原理可分为仿形法和范成法两种。
1、仿形法
仿形法是用轴剖面内刀刃形状与被切齿轮齿槽形状相同的刀具进行铣削或拉削。
其所采用的刀具有盘形铣刀和指状铣刀等。
仿形法简单，不需要专用机床。
但因m、α及Z的不同，需选用不同刀具，且生产效率低，加工精度低。
2、范成法
范成法又称展成法、共轭法或包络法，是目前齿轮加工中最常用的一种方法，如插齿、滚齿和磨齿等都属于这种方法。
它是根据一对齿轮啮合传动时，两轮的齿廓互为共轭曲线的原理来加工的。
用范成法加工齿轮时，只要刀具和被加工齿轮的模数m和压力角α相同，不管被加工齿轮的齿数多少，都可用同一把刀具来加工，而且生产效率高。
二、渐开线齿廓的根切
1、轮齿的根切现象用范成法加工齿轮时，若齿数过少，刀刃的顶部就会把轮齿根部的一部分渐开线齿廓切去，这种现象称为轮齿的根切。
如图5—8a所示，产生根切的齿轮，一方面削弱了轮齿的抗弯强度；
另一方面会使齿轮传动的重合度降低，从而影响传动的平稳性。
因此应设法避免。
2、标准齿轮不发生根切时的最少齿数
为了减小齿轮传动的尺寸和重量，当传动比i和模数m一定时，希望选用齿数Z较小齿轮。
但如前所述，当齿数Z过小时，用范成法加工齿轮必产生根切现象。
而标准齿轮是否发生根切，取决于刀具的齿顶线是否超过了啮合极限点N1，如图5—8b所示。
由图5—8b可知，要避免根切，应使PN1≥PB1，而由ΔPN1O和ΔPB1B′知：
由此可见，标准齿轮不发生根切现象的最少齿数是齿顶高系数h*a及分度圆压力角α的函数。
当h*a=1，α=20°
时，最小齿数应为zmin=17，否则齿轮在加工过程中，就生根切现象。
为了避免根切，应使所设计齿轮的齿数大于17或采用变位齿轮。
一般设计时，在满足强度的基础上，适当增加齿数Z，以减轻齿轮的磨损并使传动更加平稳。
5—6齿轮与齿条传动
齿轮与齿条传动可以实现旋转运动和直线运动之间的转换，如图5—9a所示。
当齿轮为主动时可以把旋转运动转换为直线运动；
当齿条为主动时，则可以把直线运动转换为旋转运动。
例如车床的走刀机构，钻床的钻杆升降机构以及一些机器的操纵控制机构等都采用了齿条齿轮传动。
它在机械中的应用是比较广泛的。
齿条可以看成是直径为无穷大的齿轮。
当齿轮的分度圆直径无穷大时，分度圆弧就变成直线，称作齿条的分度线。
齿顶圆变成齿顶线，齿根圆变成齿根线，齿条的齿廓也变成了直线（直径为无穷大的基圆的渐开线是直线），如图5—9b所示。
标准齿条的齿廓线夹角为2α＝40°
，相邻两齿在分度线上对应点间的距离为周节P＝πm。
同两个齿轮啮合一样，齿条和齿轮的啮合条件也必须是模数m和压力角α相等。
5—7斜齿圆柱齿轮传动
一、斜齿圆柱齿轮齿廓的形成及啮合特点
假想把直齿圆柱齿轮切成等宽的齿轮薄片，并将每片依次旋转过一个角度，便得到类似阶梯的齿轮如图5—10a所示，如果齿轮片切得很薄，片数无限增多，齿轮就形成如图11—8b所示的螺旋状，这就是斜齿轮。
斜齿圆柱齿轮齿面的形成原理和直齿圆柱齿轮的形成原理基本上相同。
如图5—10c所示，使发生面上的直线BB不平行于基圆柱母线CC，而是与基圆柱母线CC成一角度βj，当发生面沿基圆柱作纯滚动时，直线BB就展出一个螺旋形的渐开线曲面，称为渐开线螺旋面，它就是斜齿圆柱齿轮的齿廓曲面。
角βj称为基圆柱上的螺旋角。
由斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成原理可知，斜齿圆柱齿轮在啮合过程中，每一瞬时也是直线接触，这与直齿圆柱齿轮是相同的，但不同的是斜齿圆柱齿轮的各接触线均与轴线不相平行（如图5—11a所示），而直齿圆柱齿轮的各接触线均与轴线平行（如图5—11b所示）。
此外，斜齿圆柱齿轮各接触线的长短也是变化的。
在开始啮合到脱离啮合的过程中，接触线的长度从零逐渐增大到最大值，然后由最大值逐渐缩小到零，所以斜齿圆柱齿轮的啮合不是突然开始，也不是突然脱离；
由于轮齿是螺旋状，所以同时参加啮合的轮齿数较直齿轮多。
因此，斜齿圆柱齿轮较直齿圆柱齿轮传动平稳，冲击和噪音较小，承载能力也较高，适用于高速和重载传动。
但是，斜齿圆柱齿轮在传动时有轴向力Px（图5—12a），为了克服这一缺点，可以采用人字齿轮（图5—12b），使两边产生的轴向力Px相互抵消。
但人字齿轮加工较困难，精度较低。
故人字齿轮主要用于重型机械中。
二、斜齿圆柱齿轮的主要参数和几何尺寸
根据斜齿圆柱齿轮的形成原理
图5—12斜齿轮和人字齿轮的受力
理可知，从端面上看，它的齿形也是渐开线，所以它与直齿圆柱齿轮有相同之处。
但因为斜齿圆柱齿轮的轮齿是倾斜的，所以它还有特殊之处。
因此，需讨论斜齿圆柱齿轮在端面和法面内的两种情况。
其中，垂直于齿轮轴线的平面称为端面，垂直于轮齿的平面称为法面。
1、螺旋角β在沿分度圆柱面的展开图上，斜齿轮的轮齿与轴线的倾斜角β称为螺旋角。
螺旋角β愈大，轮齿愈倾斜，则传动平稳性愈好，但是产生的轴向力Px愈大。
为了减少轴向分力，螺旋角不宜过大，一般设计中取β=8～20°
。
对于人字齿轮，因轴向力可以抵消，故可取β=27～45°
此外，根据轮齿的旋向可以分为右旋和左旋，如图5—13所示。
2、模数将斜齿轮的分度圆柱面展开，如图5—14所示。
图中有剖面线的表示齿厚部分，无剖面线的表示齿槽部分。
设tn为法面周节，ts为端面周节，则tn=tsCOSβ，根据模数的定义，便可得出法面模数mn与端面模数ms的关系：
mn=msCOSβ。
用铣刀或滚刀切制斜齿轮时，通常是使刀具的进刀方向垂直于齿轮的法面，所以一般规定法面模数符合标准值。
3、压力角与模数相类似，斜齿轮在分度圆上的压力角也有两种，即法面压力角αn和端面压力角αs，同理可证，tgαn=tgαs·
cosβ。
并规定法面压力角αn符合标准，所以αn=20°
4、几何尺寸计算完全可仿照直齿轮进行。
详见教材P80页表4-5。
三、斜齿圆柱齿轮的啮合条件及特点
要使一对外啮合的斜齿圆柱齿轮配对使用，除使两轮的模数和压力角分别相等外，还必须使两轮在分度圆上的螺旋角大小相等，旋向相反（β1=-β2），即一个齿轮是右旋，另一个齿轮是左旋。
斜齿圆柱齿轮的特点除传动平稳，噪音较小外，重合度较大，故承载能力较高。
且最少齿数少于直齿圆柱齿轮的最少齿数。
[例5—1]在一机床的主轴箱中有一直齿圆柱渐开线标准齿轮，经测量其压力角α=20°
，齿数Z=40，齿顶圆直径da=84mm。
现发现该齿轮已经磨损，需更换，试确定这个齿轮的模数。
解：
因da=（Z+2ha*）m所以m=da/（Z+2ha*）
[例5—2]已知一对斜齿轮传动，z1=30、z2=100、mn=6mm,试问其螺旋角应为多少时才能满足中心距为400mm的设计要求？
解：
因斜齿轮传动的中心距为
[例5—3]
在某设备中有一对渐开线标准直齿圆柱齿轮，已知z1=20、i12=5、m=3mm、α=20°
在技术改造中，要求在不降低轮齿的弯曲强度、不改变中心距和传动比的条件下，将直齿轮改为斜齿轮，并希望将分度圆柱螺旋角限制在20°
以内，试确定z11、z22和mn。
原直齿圆柱齿轮传动的中心距为
改为斜齿轮后，为了不降低轮齿的弯曲强度，应取mn=m=3mm。
在不改变中心距和传动比的条件下，则有
当取β=20°
时，由上式可求得z11=23.5。
为了限制β≤20°
，可取z11=24，则z22=120。
为维持中心距不变，其螺旋角应为
第六章轮系
6—1轮系及其分类
前面讨论的都是一对齿轮的啮合传动问题。
用一对齿轮啮合可以传递运动和扭矩，并达到减速、增速或改变转动方向等目的。
这种由一对齿轮啮合所组成的齿轮机构，是齿轮传动中最简单的形式。
在许多机械中，常常要求将主动轴的一种转速变换为从动轴的多种转速，或者需要获得很大的传动比等等，此时仅用一对齿轮传动是不够的，而需要采用一系列相互啮合的齿轮将主动轴和从动轴连接起来。
这种由两个以上相互啮合的齿轮组成的传动系统称为轮系。
根据轮系传动时各个齿轮的几何轴线位置是否固定，轮系可以分为：
定轴轮系和周转轮系两种基本类型。
如图12—1所示。
在常见的机械传动装置中，定轴轮系应用较广。
一、定轴轮系
如果在轮系运转时，所有齿轮的轴线相对于机架的位置都是固定的，这种轮系称为定轴轮系（或普通轮系），如图6—1a所示。
二、周转轮系
如果在轮系运转时，其齿轮中有一个或几个齿轮轴线的位置不固定，而是绕着其他齿轮的固定轴线回转，则这种轮系称为周转轮系，图6—1b所示。
该轮系在传动时，内齿轮3固定不动。
当摇动转臂H时，因为齿轮2是和齿轮3相啮合的，所以齿轮2一方面绕自己的几何轴线转动，另一方面又绕位置固定的齿轮1的轴线转动。
与此同时又推动与它相啮合的齿轮1转动。
象这种至少有一个齿轮的轴线绕位置固定的另一齿轮的轴线转动的轮系，称为周转轮系。
6—2定轴轮系的传动比及其计算
一对齿轮的传动比是指该两齿轮的角速度（或转速）之比，而所谓轮系的传动比，则是指在所研究的轮系中首末两齿轮（或输入轴与输出轴）的角速度之比，用符号ijk来表示。
即：
ijk=ωj/ωk=nj/nk,表示齿轮j和齿轮k的转速之比。
并规定当两轴线平行的齿轮的转动方向相同时，传动比为正；
两齿轮的转动方向相反时，传动比为负。
计算轮系的传动比，不但要确定它的数值大小，而且要确定它的符号，以完全表达主动轮转速与从动轮转速之间的关系。
现以图6—1a所示的定轴轮系为例来讨论定轴轮系传动比大小的计算方法。
在该轮系中，Ⅰ为第一主动轴（即齿轮1为首轮），Ⅴ为最末从动轴（即齿轮5为末轮）。
其传动比i15可由各对相啮合的齿轮求出。
若设n1、n2、n2ˊ（=n2）、n3、n3ˊ（=n3）、n4及n5为各齿轮的转速；
Z1、Z2、Z2ˊ、Z3、Z3ˊ、Z4及Z5为各齿轮的齿数。
则
由此可得该轮系的传动比为
由以上计算可以看出，定轴轮系的传动比等于组成轮系的各齿轮副传动比的连乘积；
其大小也等于各齿轮副中的所有从动轮齿数的乘积与所有主动轮齿数的乘积之比，而传动比的正负（即首末两轮转向相同或相反），则取决于轮系中外啮合齿轮的对数。
轮系传动比的正负号还可以在图上根据内啮合（转向相同）、外啮合（转向相反）的关系，依次用标注箭头的方法来确定。
若不改变速比而只改变转向，可采用惰轮装置来实现。
如图6—1a所示轮系中的齿轮4和两个齿轮同时啮合，它既是前一级的从动轮，又是后一级的主动轮，它的齿数不论多少并不影响传动比的大小，但它却使外啮合次数改变，从而改变传动比的符号。
这种齿轮称为惰轮或过桥齿轮。
根据以上分析，可以推广到一般情况。
如果定轴轮系中有圆锥齿轮、螺旋齿轮或蜗轮蜗杆等空间齿轮，其传动比的大小仍可用上述公式来计算，但首末两轮的转向关系就不能用外啮合的次数来确定（首末两轮的轴线平行时除外），而必须在图上用箭头表示出来。
6—3周转轮系的传动比及其计算
一、周转轮系的组成
在周转轮系中，轴线位置回转的齿轮（即既作自转又作公转的齿轮），称为行星轮，如图6—2中的齿轮2；
支持行星轮的回转构件称为转臂或系杆（用H表示）；
轴线位置固定的齿轮则称为中心轮或太阳轮（常用K表示），如图6—2中的齿轮1和齿轮3。
由于一般都以中心轮和系杆作为运动的输入
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