选修34114 单摆教案Word版含答案Word格式文档下载.docx
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（2）周期公式:
荷兰物理学家
惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成
正比,与重力加速度g的二次方根成
反比,他确定了计算单摆周期的公式为
T=2π
。
4.用单摆测定重力加速度
（1）原理:
由T=2π
得g=
即只要测出单摆的
摆长l和
周期T,就可以求出当地的重力加速度。
（2）画图法处理实验数据:
分别以l和T2为纵坐标和横坐标,画出函数
l=
T2的图象,它应该是一条直线,由该直线的斜率可求出
的值,进而求出重力加速度g。
1.作为一个理想化模型,应该怎样认识单摆的摆线和小球?
解答:
摆线是没有弹性、没有质量的细绳,小球直径与线的长度相比可以忽略,小球摆动时空气等阻力可以忽略。
2.单摆的周期跟哪些因素有关?
单摆的周期跟摆长以及所在地的重力加速度有关。
3.探究单摆周期与摆长关系实验中,测量周期的始末计时位置是选摆球的最高点还是最低点?
最低点。
主题1:
单摆的动力学分析
甲
情景:
某同学想研究单摆的运动,他把摆球拉到某一位置然后释放,发现小球总在关于最低点对称的圆弧上振动,并且越靠近最低点运动得越快,如图甲所示。
他马上想到了刚刚学过的弹簧振子的简谐运动。
问题:
（1）单摆沿圆弧运动的向心力由哪些力来提供?
（2）单摆往复运动的回复力由哪几个力来提供?
（3）阅读课本相关内容,思考单摆做简谐运动的条件。
（1）圆周运动的向心力是指向圆心的。
如图乙所示,当摆球运动到P点时受到重力G和细线的拉力F'
的作用,将重力G沿切线和细线两方向分解为F和G1。
沿细线方向:
Fn=F'
-G1=F'
-Gcosθ,它的作用是改变摆球的运动方向,提供摆球做圆周运动的向心力。
（2）小球静止在O点时,悬线竖直,悬线的拉力和小球的重力平衡,这个位置即为单摆的平衡位置。
当摆球运动到P点时,将重力G沿切线和细线两方向分解,切线方向F=Gsinθ,它的作用是改变摆球速度的大小,使小球回到平衡位置,即为摆球提供做振动的回复力。
（3）只有摆角很小时,摆球相对于O点的位移x才和θ角所对的弧长近似相等,所以有sinθ≈（x表示摆球偏离平衡位置
的位移,l表示单摆的摆长）,因此单摆的回复力F=mgsinθ=
又因为单摆回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反,所以F=-mgsinθ=-
=-kx,满足简谐运动的条件。
由此可以知道在偏角很小（通常θ<
5°
）时,单摆做简谐运动。
知识链接:
单摆做简谐运动过程中,回复力并不是合力提供的（仅在左、右最大位移处合力提供回复力）。
主题2:
单摆的周期公式及其应用
（1）“探究单摆周期与摆长的关系”的实验主要采用了哪种实验方法?
（2）为减小误差,实验中测周期和摆长时都要取平均值,二者取平均值的方法有何不同?
（3）王红同学学习了单摆周期公式后,想把奶奶家墙上越走越慢的老式“挂钟”调准,她该怎么做?
（4）某校科技小组利用单摆周期公式测当地重力加速度,发现测出的结果比上网查到的结果总是偏大。
请讨论后分析可能的原因。
（1）控制变量法。
（2）测周期要用“累积法”,一次测量几十次全振动的时间,然后计算周期;
测摆长是多次测量后取平均值。
（3）老式“挂钟”越走越慢是因为“挂钟”的周期比标准时钟的周期大,应把钟摆下面的小螺母适当上调,通过减小摆长来调小周期。
（4）可能的原因有两个:
一是把摆线长度加上小球的直径当作了摆长;
二是测周期记录全振动次数时多数了开始计时的一次。
测摆长时,应悬挂摆球后测量,摆长是摆线长和摆球半径之和;
测周期时,为减小误差应从平衡位置开始计时。
1.（考查单摆的回复力）单摆振动的回复力是（ ）。
A.摆球所受的重力
B.摆球重力在垂直悬线方向上的分力
C.悬线对摆球的拉力
D.摆球所受重力和悬线对摆球拉力的合力
【解析】单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力;
重力的另一个分力与细线的拉力的合力提供摆球的向心力。
【答案】B
【点评】注意单摆的回复力与单摆所受合力的区别。
2.（考查单摆的周期公式）将秒摆的周期变为4s,下列措施正确的是（ ）。
A.只将摆球质量变为原来的
B.只将振幅变为原来的2倍
C.只将摆长变为原来的4倍
D.只将摆长变为原来的16倍
【解析】单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,A、B均错;
对秒摆,T0=2π
=2s,对周期为4s的单摆,T=2π
=4s,故l=4l0。
故C对,D错。
【答案】C
【点评】单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关,当所在位置及环境条件不变时,只与摆长有关。
3.（考查单摆的周期）在一个单摆装置中,摆动物体是一个装满水的空心小球,球的正下方有一小孔,当摆开始以小角度摆动时,让水从球中连续流出,直到流完为止,则摆球的周期将（ ）。
A.逐渐增大B.逐渐减小
C.先增大后减小D.先减小后增大
【解析】单摆小角度摆动,做简谐运动的周期为T=2π
式中l为摆长,其值为悬点到摆动物体重心之间的距离。
当小球装满水时,重心在球心,水流完后,重心也在球心,但在水刚流出过程中重心要降低。
因此,在水流出的整个过程中,重心位置先下降后上升,即摆长l先增大后减小,所以摆动周期将先增大后减小。
【点评】随着水的流出,物体重心位置发生改变,摆长也随之变化。
4.（考查单摆的振动图象）图示为在同一地点的A、B两个单摆做简谐运动的图象,其中实线表示A的运动图象,虚线表示B的运动图象。
以下关于这两个单摆的判断中正确的是（ ）。
A.这两个单摆的摆球质量一定相等
B.这两个单摆的摆长一定不同
C.这两个单摆的最大摆角一定相同
D.这两个单摆的振幅一定相同
【解析】从题中图象可知:
两单摆的振幅相等,周期不等,所以,两单摆的摆长一定不同,故B、D对,C错。
单摆的周期与质量无关,故A错。
【答案】BD
【点评】单摆简谐运动的位移大小与单摆圆周运动的弧长是不同的。
拓展一:
单摆周期公式的应用
1.有一单摆,其摆长l=1.02m,摆球的质量m=0.10kg,已知单摆做简谐运动,单摆振动30次用的时间t=60.8s。
试求当地的重力加速度。
【分析】本题考查单摆周期公式的应用,注意单摆周期与摆球质量无关。
【解析】用振动30次的时间计算出周期,再将单摆的周期公式变形就可解得当地的重力加速度。
当单摆做简谐运动时,其周期公式T=2π
由此可得g=
只要求出T值后将其代入公式即可。
因为T==
s=2.027s,所以g=
=
m/s2=9.79m/s2。
【答案】9.79m/s2
【点拨】根据单摆的周期公式T=2π
可知,同一单摆在重力加速度不同的两地周期也不相同,所以可以根据周期公式的变形式g=
测重力加速度。
拓展二:
用单摆测定重力加速度实验
2.利用单摆做简谐运动的周期公式,可以很精确地测量当地的重力加速度。
如图甲所示,利用一根长细线,一个带孔的小铁球,一个铁架台组成一个简单的单摆,再利用毫米刻度尺测出单摆的摆长,用秒表测出单摆的周期,最后通过计算就可以求出当地的重力加速度的值。
（1）根据所给情景,单摆摆长应该如何测量?
（2）单摆周期的测量往往是先测出若干个周期（如50个周期）的时间,再求出一个周期。
在测量时间时,开始计时（也是停止计时）的位置应选在哪里?
（3）下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据:
摆长l/m
0.5
0.6
0.8
1.1
周期T2/s2
1.9
2.4
3.2
4.8
①利用上述数据在图乙坐标系中描出l-T2图象。
②利用图线可知,取T2=4.2s2时,l= m,重力加速度g= m/s2。
乙
【分析】
（1）单摆摆长是指悬挂点到球心的距离;
（2）测量时间的开始位置应该是小球经过它时能够准确判断出来的位置;
（3）根据单摆周期公式T=2π
得g=
由于表格中的数据已经处理好了,所以可以直接描点画图象。
【解析】
（1）先测量出悬挂点到小球的细线长度l'
再测出小球的直径D,则摆长l=l'
+。
（2）测量时间的开始位置应该是单摆的平衡位置,因为小球通过该位置时速度最快。
（3）①l-T2图象如图丙所示。
丙
②T2=4.2s2时,从图丙中画出的直线上可读出其摆长l=1.05m,将T2与l代入公式g=
得g=9.86m/s2。
【答案】
（1）见解析
（2）平衡位置 （3）①如图丙所示
②1.05 9.86
【点拨】提高实验精度从两个方面下手:
（1）尽可能准确地测量出摆长和周期;
（2）多次改变摆长,重做实验得到多组数据,并用图象法处理数据。
一、物理百科
钟表小史
古时候没有钟表,人们根据太阳影子的长短来判断时间。
中国古代很早就用日晷计时。
河南省登封县告成镇现存元代的一个观星台遗址,它的台高约9.5m,台下有长约31.2m的南北向的“量天尺”,这是当时先进的计时建筑。
用日影测时受气象限制,很不方便。
于是人们发明了漏沙计时的“沙钟”,燃香计时的“火钟”,滴水计时的“水钟”。
我国北宋苏颂等人发明了“水运仪象台”,它是最早采用齿轮的机械计时仪,被已故著名科学史专家李约瑟誉为“现代天文钟的鼻祖”。
17世纪中叶,意大利科学家伽利略发现了单摆的等时性。
1656年,荷兰物理学家惠更斯利用这一性质制出了第一个实用的机械摆钟,从此人类掌握了比较精确地测量时间的方法。
1658年英国物理学家胡克发明了有摆轮的怀表,1760年具有时、分、秒三个针的怀表问世,机械表更加具有实用价值。
最精确的机械钟要数1920年问世的邵特钟,它一昼夜误差只有千分之一秒,被当时的天文台用来当作天文钟。
但是机械钟怕震,一次小地震就可能使它停摆或产生较大的误差,而且它的精度不能再提高了。
20世纪三十年代石英钟问世了,它一昼夜误差只有万分之一秒,充当了天文钟的角色。
后来人们发现某些物质的分子或原子有更为稳定的计时功能,于是出现了原子钟。
1949年世界上第一台原子钟在美国造出。
原子钟运行3000多年才产生1s的误差,所以目前天文台使用的都是原子钟。
二、备用试题
1.一只钟从甲地拿到乙地,它的钟摆摆动加快了,则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（ ）。
A.g甲>
g乙,将摆长适当增长
B.g甲>
g乙,将摆长适当缩短
C.g甲<
D.g甲<
【解析】钟从甲地拿到乙地,钟摆摆动加快,说明周期变短,由T=2π
可知,g甲<
g乙,要将钟调准需将摆长增长,故C正确。
2.我国探月的“嫦娥”工程已启动,在不久的将来,我国宇航员将登上月球。
假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为（ ）。
A.
B.
C.
D.
【解析】根据单摆周期公式T=2π
在月球上重力等于万有引力,mg=
月球密度ρ=,月球体积V=πr3,所以ρ=
选项B正确。
3.已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两摆长之差为1.6m。
则两单摆摆长la与lb分别为（ ）。
A.la=2.5m,lb=0.9m
B.la=0.9m,lb=2.5m
C.la=2.4m,lb=4.0m
D.la=4.0m,lb=2.4m
【解析】设单摆a、b振动的时间为t。
根据单摆振动周期公式,有Ta=
=2π
Tb==2π
由于>
所以lb>
la,则有lb-la=1.6m。
联立可解得100la=36lb,最后解得la=0.9m,lb=2.5m。
4.图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置。
设摆球向右运动为正方向,图乙是这个单摆的振动图象。
根据图象回答:
（1）单摆振动的频率是多大?
（2）开始时刻摆球在何位置?
（3）若当地的重力加速度为10m/s2,取π2=10,试求这个摆的摆长。
（1）由乙图知周期T=0.8s,则频率f==1.25Hz。
（2）由乙图知,0时刻摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以摆球在B点。
（3）由T=2π
得l=
=0.16m。
（1）1.25Hz
（2）B点 （3）0.16m
1.单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是（ ）。
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度短得多
D.摆球体积要足够大
【解析】单摆由摆线和摆球组成,要求摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,A、B、C三项正确。
【答案】ABC
2.下列关于单摆的说法,正确的是（ ）。
A.单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A（A为振幅）,经过正向最大位移处又运动到平衡位置时的位移为-A
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力
C.单摆摆球的回复力是摆球重力沿运动轨迹切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点的,摆球在最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零。
摆球的回复力由合力沿圆弧切线方向的分力（即重力沿圆弧切线方向的分力）提供,合力沿摆线方向的分力提供向心力。
摆球经过最低点（振动的平衡位置）时回复力为零,但向心力不为零,所以加速度不为零。
摆球到最高点时,向心力为零,回复力最大,合力也不为零。
3.两个相同的单摆静止于平衡位置,使摆球分别以水平初速度v1、v2（v1>
v2）在竖直平面内做小角度摆动,它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2,则（ ）。
A.f1>
f2,A1=A2
B.f1<
C.f1=f2,A1>
A2
D.f1=f2,A1<
【解析】单摆的频率由摆长决定,摆长相等,频率相等,所以A、B错误;
由机械能守恒知,小球在平衡位置的速度越大,其振幅越大,所以C正确,D错误。
4.两个摆长分别为l1和l2的单摆,做小角度振动,它们的振动图象分别为图中的1和2所示,则为（ ）。
A. B.
C.3D.9
【解析】由图象可知两单摆的周期T1∶T2=3∶1,由T=2π
得,l1∶l2=9∶1。
【答案】D
5.如图所示,MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分,把小球A放在圆弧MN的圆心处,再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的D处。
今使两球同时释放,则在不计空气阻力时有（ ）。
A.A球先到达C点
B.B球先到达C点
C.两球同时到达C点
D.无法确定哪一个球先到达C点
【解析】A球做自由落体运动,很容易求出到达C点的时间t=
其中l为圆弧MN的半径,而B球在MN上摆动,在振幅很小的情况下做简谐运动,周期与单摆周期类似,T=2π
所以B球从D→C的时间为,从而比较A、B两球到达C点时间的长短,可得t<
即A球先到达C点。
【答案】A
6.
（1）某同学在探究影响单摆周期的因素时有如下操作,请判断是否恰当（填“是”或“否”）。
①把单摆从平衡位置拉开约5°
释放;
②在摆球经过最低点时启动停表计时;
③把停表记录摆球一次全振动的时间作为周期。
（2）该同学改进测量方法后,得到的部分测量数据见下表。
根据表中数据可以初步判断单摆周期随 的增大而增大。
数据组编号
摆长/mm
摆球质量/g
周期/s
1
999.3
32.2
2.0
2
16.5
3
799.2
1.8
4
5
501.1
1.4
6
【解析】
（1）①单摆做简谐运动时要求摆角小,单摆从平衡位置拉开约5°
释放满足此条件。
②因为最低点位置固定、容易观察,所以在最低点启动停表计时。
③摆球一次全振动的时间太短,不易读准,误差大,应测多个周期的时间求平均值。
（2）分析表格中的数据可知,当两摆的摆长相同、质量不同时,周期相同,而质量相同,摆长长的周期大,所以可以初步判断单摆周期随摆长的增大而增大。
（1）①是 ②是 ③否
（2）摆长
7.如图所示,用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动,则（ ）。
A.当小球每次通过平衡位置时,动能相同
B.当小球每次通过平衡位置时,速度相同
C.当小球每次通过平衡位置时,丝线拉力相同
D.撤去磁场后,小球摆动周期变大
【解析】小球摆动过程中,洛伦兹力方向垂直速度方向,所以回复力不变,周期不变,因洛伦兹力不做功,所以每次通过平衡位置时动能相同,但速度不同,故A正确,B、D错误;
由于通过平衡位置时的速度方向不同,所受洛伦兹力方向不同,丝线的拉力大小不同,故C选项不正确。
8.一单摆做小角度摆动,其振动图象如图所示,以下说法正确的是（ ）。
A.t1时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最小
B.t2时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小
C.t3时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最大
D.t4时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大
【解析】设摆长为l,摆球质量为m,绳的拉力为T,摆球经过平衡位置时,根据牛顿第二定律与圆周运动知识可知,T-mg=m
则T=mg+m
摆球速度最大时,悬绳的拉力最大,故D选项正确。
9.一个单摆挂在电梯内,发现单摆的周期增大为原来的2倍,可见电梯在做加速运动,加速度a为（ ）。
A.方向向上,大小为
B.方向向上,大小为
C.方向向下,大小为
D.方向向下,大小为
【解析】单摆周期变大,由周期公式T=2π
可知等效重力加速度小于实际重力加速度,物体处于失重状态。
所以加速度方向向下,等效重力加速度g'
=,由牛顿第二定律mg-m·
=ma,可以得到a=
故选D。
10.试确定下列两个摆球在平衡位置附近来回摆动的周期。
（1）如图甲所示,悬挂在水平横梁上的双线摆球,摆线长为l,摆线与水平横梁的夹角为θ。
（2）如图乙所示,光滑斜面上的摆球,斜面倾角为θ,摆线长为l。
（1）双线摆在垂直于纸面的竖直面内做简谐运动,等效摆长为lsinθ,故振动周期为T=2π
（2）摆球在光滑的斜面上来回振动,等效重力加速度为gsinθ,其振动周期为T=2π
（1）2π
（2）2π
11.将一水平木板从一沙摆（可视为简谐运动的单摆）下面以a=0.2m/s2的加速度匀加速地水平抽出,板上留下的沙迹如图所示,量得O1O2=4cm,O2O3=9cm,O3O4=14cm,试求沙摆的振动周期和摆长。
（g=10m/s2）
【解析】根据单摆振动的等时性得到O1O2、O2O3、O3O4三段位移所用的时间相同,由匀变速直线运动规律Δs=aT2计算可得:
T=
s=0.5s,振动周期T'
=2T=1s。
由单摆公式T'
得:
=0.25m。
【答案】1s 0.25m
12.如图所示,小球m自A点以沿AD方向的初速度v逐渐接近固定在D点的小球n。
已知
=0.8m,圆弧AB半径R=10m,AD=10m,A、B、C、D在同一水平面上,则v为多大时,才能使m恰好碰到小球n?
（g取10m/s2,不计一切摩擦）
【解析】小球m的运动由两个分运动合成,这两个分运动分别是:
以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运动。
因为
≪R,所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性,是类单摆,其圆弧半径R即为类单摆的摆长。
设小球m恰好能碰到小球n,则有:
AD=vt,且满足t=kT（k=1,2,3,…）
根据单摆的周期公式T=2π
联立解得v=
m/s（k=1,2,3,…）。
m/s（k=1,2,3,…）
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