中考数学专题复习全等三角形之边边角模型Word文档格式.docx

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①∠MAP＝∠BCP；

②PA＝PC；

③AB+BC＝2BD；

④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

二、解答题

3．如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°

，求证：

AD＝CD．

4．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，

求证：

∠A+∠C=180°

．

5．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：

∠OAC+∠OBC＝180°

6．如图，已知∠AOB＝60°

，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°

角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．

（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，

（1）中的结论是否成立？

并说明理由；

（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？

请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；

若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=

，进而得出∆CEB≅∆ADC，就可以得出BE=DC，进而求出DE的值．

【详解】

∵BE⊥CE，AD⊥CE，

∴∠E=∠ADC=

，

∴∠EBC+∠BCE=

∵∠BCE+∠ACD=

∴∠EBC=∠DCA，

在∆CEB和∆ADC中，∠E=∠ADC，∠EBC=∠DCA，BC=AC，

∴∆CEB≅∆ADC（AAS），

∴BE=DC=1，CE=AD=3，

∴DE=EC-CD=3-1=2，

故选：

B．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．

2．A

过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题．

解：

过点P作PK⊥AB，垂足为点K．

∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP，

∴PK＝PD，

在Rt△BPK和Rt△BPD中，

∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL），

∴BK＝BD，

∵∠APC+∠ABC＝180°

，且∠ABC+∠KPD＝180°

∴∠KPD＝∠APC，

∴∠APK＝∠CPD，故①正确，

在△PAK和△PCD中，

∴△PAK≌△PCD（ASA），

∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确，

∴BK﹣AB＝BC﹣BD，

∴BD﹣AB＝BC﹣BD，

∴AB+BC＝2BD，故③正确，

∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA），

∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC，

∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确．

故选A．

本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

3．见解析

试题分析：

在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可．

试题解析：

证明：

在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，

，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°

，∠BED+∠CED=180°

，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD．

点睛：

本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度．

4．见解析

先在线段BC上截取BE=BA,连接DE,根据BD平分∠ABC,可得∠ABD=∠EBD,

根据

可判定△ABD≌△EBD,根据全等三角形的性质可得:

AD=ED,∠A=∠BED．再根据AD=CD,等量代换可得ED

=CD,根据等边对等角可得:

∠DEC=∠C．

由∠BED+∠DEC=180°

可得∠A+∠C=180°

证明:

在线段BC上截取BE=BA,连接DE,如图所示,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠EBD,

在△ABD和△EBD中,

∴△ABD≌△EBD（SAS）,

∴AD=ED,∠A=∠BED．

∵AD=CD,

∴ED

=CD,

∴∠DEC=∠C．

∵∠BED+∠DEC=180°

∴∠A+∠C=180°

本题主要考查全等三角形的判定和性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质.

5．见解析.

如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°

﹣90°

＝180°

，可得∠ACB+∠AOB＝180°

，推出∠OAC+∠OBC＝180°

如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．

∴CE＝CF，

∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°

∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），

∴∠ACF＝∠ECB，

∴∠ACB＝∠ECF，

∵∠ECF+∠MON＝360°

∴∠ACB+∠AOB＝180°

∴∠OAC+∠OBC＝180°

本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

6．

（1）

；

（2）

（1）中结论仍然成立，见解析；

（3）

（1）中结论不成立，

，见解析.

（1）先判断出∠OCE=60°

，再利用特殊角的三角函数得出OD

OC，同OE

OC，即可得出结论；

（2）同

（1）的方法得OF+OG

OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；

（3）同

（2）的方法即可得出结论．

（1）∵OM是∠AOB的角平分线，

∴∠AOC=∠BOC

∠AOB=30°

∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°

∴∠OCD=60°

∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°

在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°

OC，

同理：

OE

∴OD+OE

OC；

（2）

（1）中结论仍然成立，理由如下：

过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，

∴∠OFC=∠OGC=90°

∵∠AOB=60°

∴∠FCG=120°

同

（1）的方法得：

OF

OC，OG

∴OF+OG

OC．

∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，

∴CF=CG．

∵∠DCE=120°

，∠FCG=120°

∴∠DCF=∠ECG，

∴△CFD≌△CGE，

∴DF=EG，

∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，

（3）

（1）中结论不成立，结论为：

OE﹣OD

OC，理由如下：

∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，

∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，

∴OE﹣OD

本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．