勾股定理竞赛历年考试含解答文档格式.docx
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6、如图，△ABC中，AB=AC=2BC边上有
Mj=AR2RBRC（i=1,
M“+M2+…+M10=.
第（6）题图
10、已知一个直角三角形地边长都是整数，且周长地数值等于面积地数值，那么这个三角形地三边长分别
为.XHAQX74J0X
三、解答题（共70分）
过厶ABC内地点P向厶ABC三边分别作
11、（本题10分）如图△ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,
垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27求BD+BF地长度.LDAYtRyKfE
13、（本题15分）设a,b,c,d都是正数.
求证：
a2c2d22cd.b2c2.a2b2d22ad
14、（本题15分）如图，四边形ABCD中，/ABC=135，/BCD=120,AB^'
6,BC=5-J空,CD=6求
AD.dvzfvkwMIl
15、（本题15分）如图，正方形ABCD内一点E,E到A、BC三点地距离之和地最小值为.^6，求此
正方形地边长.rqyn14ZNXI
答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.C
5.C
解答：
1.•••MA=MB=MC=5•••/ACB=90
222知周长是24,贝UAC+BC=14AC+BC=10,
•2AC-BC=（AC+BCf-（AC2+BC2）=142-102=4X24
1
•Sabc=ACBC二24
2.如图，延长MN交BC地延长线于T,设MB地中点为0,连丁0,则厶BAMhATOB
•
AMMB=0BBT
•M官=2AM・BT
（1）
令DN=1CT=MD=k贝UAM=2-k
所以BM=AB2AM2二4（2-k）2
2
BT=2+k代入
（1）,得4+（2-k）=2（2-k）（2+k）
所以AM
AB=:
2=
3
3.如图，过O作EF±
AD于E,交BC于F;
过O作GHLDC于G,交AB于H
设CF=x,FB=y,AH=s,HB=x,
所以OG=x,DG=s
所以OF2=OB2-BF2=0&
-CF2即42-x2=32-y2
所以x2-y2=16-9=7
（1）
同理有O*=12-s2=32-t2
所以t2-s2=32-12=8
（2）
又因为OHf+HB^OB2即y2+t2=9
（1）-
（2）得（x2+s2）-（y2+t2）=
所以OD^x2*s2=（y2+t2）-1=9-1=8
所以OD=2..、2
4.如图，过P作EF丄AB于E,交CD于F,贝UPF丄CD所以PF=PA=PB=10E为AB中点
设PE=x，贝UAB=AD=10+x
11
所以AE=—AB=—（10+x）
22
在Rt△PAE中,PA2=PE2+AE2
所以102=x2+[1（10+x）]2所以x=6
所以正方形ABCD面积=AB2=（10+6）2=2565.如图，作B关于AC地对称点B'
，连AB'
则N点关于AC地对称点N'
在AB'
上，
这时，B到M到N地最小值等于BtMRN'
地最小值，等于
距离BH'
，连B与AB'
和DC地交点P,SixE2yXPq5
则SAbp=1X20X10=100,
由对称知识，/PAC=/BAC=/PCA所以PA=PC令PA=x,贝UPC=xPD=20-x,
在Rt△ADP中，PA2nPD2+AD2
所以x2=（20-x）2+102所以x=12.5
1'
因为SAbp=PA-bh
所以Bh，=2SABP=1002=16
PA12.5
二、填空题
1.40;
2.12;
3.3.2•
42'
4.13;
5.6,8,10或5,12,13
.222
1如图，作AD丄BC于D,在Rt△ABD和Rt△ARD中，AB=AD+BD
AR2=AD2RD2
所以AB—AR2=AD2+BD2—（AD2+RD）2
=BD2_RD2
=（BDRD）（BD_RD）
=RCRB
所以AR2=RiCB=AB2=4所以Mj=4
所以M1M2M10=40
1.如图，作A关于ON地对称点A'
D关于OM地对称点D'
III
连结AB,CD,贝UAB=AB
c'
d=cd从而ab+bc+cd=^b+bc+cD>
a'
d'
因为/a'
on=/MONNMOD=20°
，所以/a'
oD=60°
又因为oA=oa=4?
3,oD=od=8；
'
3,
所以oD=2oA
即厶oDa'
为直角三角形，且/oAd'
=90°
所以a'
=OD'
2—OA'
2=.（8\3）2-（4「3）2=12
设AB=m,RM=x,RN=y
，则
X2+y2=4
（1）
丿x2+（m-y）2=1
（2）
/m-x）2+y2=9（3）
由
（2）、（3）分别得，
x2+m2_2my+y2=1
（3）
y2+m2_2mx+x2=9
（4）
所以，折线ABCD地长地最小值是12
3.如图，作RMLAB于M,RN1BC于N,
将
（1）代入（4）得m2-2my*3=0=
把x,y地表达式分别代入
（1）得m4-10m21^0
因为m2>
0所以m2=5+2...2
所以AB=m=52.2,BC二一52.2,AD=1522
1153
所以Sabcd（ADBC）AB2
242
4.如图，AB=12,AC=2BD=3且AB丄AC,AB丄BD,P在AB上且PA=x,PB=y,连PCPD,6ewMyirQFL
在Rt△CAP和Rt△DBP中
PC」AC2PA»
=；
x24,
PD=：
BD2PB2»
y29
如图，P点在P0位置时，PC+PD地值最小，为线段CD地长度，而
CD=（23）212»
=13
所以.x2,y29地最小值为13.
5.设三边长为a,b,c，其中c是斜边，则有
a2b2=c2
（1）
abe』（3）
I2
（2）代入
（1）得a2b2=（辿-a-b）2
因为abz0所以ab-4a-4b+8=0
8
所以a=4（a,b为正整数）
b—4
所以b-4=1,2,4,8,
所以b=5,6,8,12;
a=12,8,6,5;
c=13,10,10,13,
所以，三边长为6,8,10或5,12,13
即亚（ab-4a-4b8）=0
4
三、解答题
1如图，连结PA,PB,PC,设BD=xCE=yAF=z,贝UDC=17-x,EA=18-y,FB=19-z
在Rt△PBD和Rt△PFB中，有x2PD2=（19_Z）2PF2
同理有：
y2PE2=（17_x）2PD2
z2PF2=（18_y）2PE2
将以上三式相加，得x2y2z2=（17-x）2•（18-y）2•（19-z）2
即17x+18y+19z=487又因为x+y+z=27所以x=z-1,所以BD+BF=x+（19
2.如图，作CE!
AB于E,
-1+19
贝UCE=AE」AC6
所以BE=AB-AE=2-
222
又BC=CEBE
所以BC=.CE2BE2=[7-2.6-1
再过D作DF丄BC,交CB延长线于F,并设DF=CF=x
贝UBF=x-BC=x+1-.6
又Rt△DFB^Rt△CEB
所以DF:
BF=CEBE,即卩x:
（x+1-晶）=—:
4一'
6
32.6
所以x=
所以SBCD=」BCDF二丄32Q=96
2224
2.如图，构造一个边长为（a+b）、（c+d）地矩形ABCD
在Rt△ABE中，BE=AE2AB2
所以BE=.a2（cd）2二a2c2d22cd
B
在Rt△BCF中，
BF=BC2CF2=箱心—b）2—d2「h』a2b2d22ab
在Rt△DEF中，EF=..、DE2DF2「hjb2c2在厶BEF中，BE+EF>
BF
即,a2c2d22cd.一b2c2•a2b2d22ab
3.如图，过A作AE//BC交CD于E,则/1=45°
/2=60°
过B作BF丄AE于F,作CGLAE于G,
则Rt△ABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形，
又因为AB=、、6,BC=5-、..3,
所以BF=AF='
AB=.、3，所以CG=BF=3,
所以
CE=2CG=2EG=1
■■-3■■-3
CG=1
所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6
DE=CD-EC=6-2=4
过D作DM丄AE延长线于M
/MED=180-/AED=180-/BCD=180-120°
=60
所以EM=!
DE=2,DM=3DE=23
在Rt△AMD中,AD=；
AM2DM2
=,（62）2（23）2
=2.、19
5.如图，以A为中心，将△ABE旋转60°
到厶AMN连NB,MB
AE+EB+EC=AN+MN+EC
因为
则
AE=AN/NAE=60
AE=NE
AE+EB+EC=MN+NE+EC
折线
当AE+EB+EC取最小值时，
MC=2,6,/MBC=150
MNEC成为线段，且
在Rt△PMC中，设BC=x
x
PM—
PB3x
所以（^6）2
（fxx）2
所以x=2,BC=2
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