与圆有关的位置关系Word格式.docx

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2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：

直线l与⊙O相交<

dr,直线l与⊙O相切<

dr

直线l与⊙O相离<

3、切线的性质和判定：

⑴性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的

【提醒：

根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】

⑵判定定理：

经过半径的且这条半径的直线是圆的切线

在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】

4、切线长定理：

⑴切线长定义：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角

5、三角形的内切圆：

⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的

⑵三角形内心的形成：

是三角形的交点

内心的性质：

到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分

三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s=，若△ABC为直角三角形，则r=】

一、圆和圆的位置关系：

圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，圆心距为d，则⊙O1与⊙O2外离<

⊙O1与⊙O2外切<

⊙O1与⊙O2相交<

⊙O1与⊙O2内切<

⊙O1与⊙O2内含<

两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d=】

二、反证法：

假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法

【名师提醒：

反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】

【典型例题解析】

考点一：

切线的性质

例1（义乌）已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．

（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；

（2）证明：

PE=PF；

（3）若PF=13，sinA=

，求EF的长．

对应训练

1．（扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．

（1）求证：

AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF=

，求DE的长．

考点二：

切线的判定

例2（自贡）如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°

，DB=6

cm．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

2．（玉林）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．

AC是⊙O的切线：

（2）若BF=8，DF=

，求⊙O的半径r．

考点三：

直线与圆、圆与圆的位置关系

例3（盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（　　）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

例4（攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）

A．外离B．外切C．相交D．内切

3．（黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（　　）

A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm

4．（东营）已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是方程

的根，⊙O1与⊙O2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（　　）

A．内含B．内切C．相交D．外切

【聚焦中考】

1．（青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）

A．r＜6B．r=6C．r＞6D．r≥6

2．（烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（　　）

A．6cmB．3cmC．2cmD．0.5cm

（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是

的中点，则下列结论不成立的是（　　）

A．OC∥AEB．EC=BCC．∠DAE=∠ABED．AC⊥OE

5.（滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：

直线EF是⊙O的切线．

6．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长；

（2）BC是⊙O的切线吗？

若是，给出证明；

若不是，说明理由．

7．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．

∠A=2∠DCB；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

8．（东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB=30°

，求CE的长．

11．（烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为

上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．

CB=CF；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=

，求⊙O的半径．

12．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．

四边形BEDF为矩形；

（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相切B．相交C．相离D．不能确定

2．（云南）已知⊙O1的半径是3cm，⊙O2的半径是2cm，O1O2=

cm，则两圆的位置关系是（　　）

A．相离B．外切C．相交D．内切

3．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（　　）

A．2B．3C．6D．12

4．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（　　）

A．外切B．相交C．内切D．内含

5．（重庆） 

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（　　）

A．18πcmB．16πcmC．20πcmD．24πcm

6．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）

A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直

B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点

C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点

D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径

7．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（　　）

A．AG=BGB．AB∥EFC．AD∥BCD．∠ABC=∠ADC

8．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（　　）

A．2，22.5°

B．3，30°

C．3，22.5°

D．2，30°

9．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（　　）

A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形

B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC

C．当PO⊥AC时，∠ACP=30°

D．当∠ACP=30°

时，△BPC是直角三角形

2、填空题

10．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°

得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为外切

．

11．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是2＜r＜8

12．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=2或0

13．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°

，则∠B=60

度．

14．（天水）如图所示，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80°

，则图中阴影部分的面积是π

15．（晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠A=30°

，AB=4

．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．

（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=；

（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=时，⊙C与直线AB相切．

16．（张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．

17．（南宁）如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为π

18．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．

三、解答题

19．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°

，D为BC的中点．

AB=BC；

（2）求证：

四边形BOCD是菱形．

20．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．

（1）求∠BAC的度数；

AD=CD．

21．（天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．

（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°

，求∠BAC的大小；

（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°

，求∠BAF的大小．

22．（苏州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．

BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=

23．（湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．

PA为⊙O的切线；

（2）若OB=5，OP=

，求AC的长．

26．（新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°

，且AB=AC．

AB为⊙O的切线；

（2）求弦AC的长；

（3）求图中阴影部分的面积．

27．（泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

CD2=CA•CB；

CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=

，求BE的长．