中考复习专题三函数及其应用Word格式.docx
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25.83
扬州市
26
17.33
20.00
28
18.67
泰州市
22
14.67
39
26.00
南通市
46
30.67
19.33
41
27.33
盐城市
20.67
27
18.00
淮安市
15
10.00
33
22.00
宿迁市
12.00
徐州市
27.50
20.71
连云港
48
32.00
51
34.00
平均
24.62
18.93
29.77
21.78
34.15
24.45
【课标要求】
1．探索具体问题中的数量关系和变化规律
2．函数
（1）通过简单实例，了解常量、变量的意义．
（2）能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例．
（3）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
（4）能确定函数（尤其是实际问题）中自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值．
（5）能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系．
（6）结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测．
3．一次函数
（1）结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式．
（2）理解正比例函数的意义及与一次函数的隶属关系．
（3）根据已知条件熟练运用待定系数法确定一次函数表达式．
（4）会利用描点法画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况）．
（5）能利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
（6）能运用一次函数解决实际问题．
4．反比例函数
（1）结合具体情境体会反比例函数意义，归纳反比例函数的一般形式．
（2）能由已知条件运用待定系数法确定反比例函数表达式．
（3）能利用描点法画出反比例函数的图象，根据图象和解析式（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况）．
（4）能用反比例函数解决某些实际问题．
5．二次函数
（1）通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式，并体会二次函数意义．
（2）会用描点法画出二次函数的图象，能利用函数的图象认识二次函数的性质．
（3）会确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴并掌握图象的变化情况．
（4）能根据已知条件利用二次函数解析式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）通过待定系数法确定函数关系式．
（5）能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系．
（6）能在实际问题中列出二次函数关系式并运用其性质解决简单的实际问题．
（7）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【课时分布】
函数部分在第一轮复习时大约需要9课时，下表为内容及课时安排（仅供参考）．
课时数
内 容
1
变量与函数、平面直角坐标系
一次函数的图象和性质
一次函数的应用
反比例函数的图象和性质及应用
二次函数的图象和性质
2
二次函数的应用
函数单元测试与评析
【知识回顾】
1．知识脉络
2．基础知识
（1）一次函数的函数关系式：
y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0）
（2）一次函数的图象、性质
①当b＝0时，是正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）．图象是过原点的一条直线．当k＞0时，图象过第一、第三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，图象过第二、第四象限，y随x的增大而减小．
②当b≠0时，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是过点（0，b）的一条直线．当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0，y随x的增大而减小．图象经过的象限由k、b的符号决定．
（3）反比例函数的解析式：
（k≠0）
（4）反比例函数的图象、性质：
反比例函数（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0时，图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
当k＜0时，图象在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
（5）二次函数的解析式
①一般式：
y＝ax2＋bx＋c（a≠0），其中a，b，c是常数．
②顶点式：
y＝a（x－h）2＋k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点坐标．
③交点式：
y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中（x1，0），（x2，0）是抛物线与x轴的交点坐标．（此解析式不具有一般性，通常将结果化为一般式）
（6）二次函数的图象：
函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是对称轴平行于y轴的抛物线
（7）二次函数的性质：
设y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
①开口方向：
当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
②对称轴：
直线．
③顶点坐标（，）．
④增减性：
若a＞0，则当x＜时，y随x的增大而减小；
当x＞时，y随x的增大而增大；
若a＜0，则当x＜时，y随x的增大而增大；
当x＞时，y随x的增大而减小．
⑤二次函数最大（小）值：
（注意自变量的取值范围）．
若a＞0，则当x＝时，y最小值＝．
若a＜0，则当x＝时，y最大值＝．
3．能力要求
例1如图3-1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0），且与轴相交于负半轴．给出四个结论：
（1）abc＜0；
（2）2a＋b＞0；
（3）a＋c＝1；
（4）a＞1．其中正确结论的序号是______．
【分析】
利用图象的位置可判断a，b，c的符号，结合图象对称轴的位置，经过的点可推断出正确结论．
图3-1
【解】
由图象可知：
a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.∵对称轴在（1，0）的左侧，∴<
1，∴2a＋b＞0.∵图象经过点（－1，2）和点（1，0），
∴∴a＋c＝1，b＝－1.∴a＝1－c＞1．
∴正确的序号为：
（2）（3）（4）．
【说明】
本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函数的解析式y＝ax2＋bx＋c中a，b，c，对称轴的位置与二次函数的图象的关系．通常能够利用函数的图象确定符号的有：
a，b，c，b2－4ac，a＋b＋c，a－b＋c，2a＋b等．教师在复习时要加强这一方面的训练．
例2如图3-2，已知双曲线，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．
（1）∵双曲线经过点D（6，1），∴，解得k=6.
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD=6，∴S△BCD=×
6•h=12，解得h=4.
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4=-3，∴，解得x=2.
∴点C的坐标为（-2，-3）.
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，解得
.
所以，直线CD的解析式为.
（3）AB∥CD．理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（-2，-3），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（-2，0），B（0，1）.
设直线AB的解析式为y=mx+n，
所以，直线AB的解析式为.
∵AB、CD的解析式k都等于相等，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．
本题有机地综合了反比例函数，一次函数及图形面积等知识，其中待定系数法是求函数解析式的常用方法，这是学生必须掌握的．本题将数和形有机地结合在一起，特别第（3）问题既可以从数上着手，也可以从形上着手，可以利用相似证明∠BAE=∠BDE=∠AEC,从而得AB∥CD．亦可通过等积变形及k的几何意义，证明S△ABC=S△AOC==S△BOD=S△ABD从而C、D两点到AB的距离相等，于是AB∥CD.
例3如图3-3-1，菱形ABCD中，∠A=600．点P从A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；
点Q从A与P同时出发，沿边AD匀速运动到D终止，设点P运动的时间为ts．△APQ的面积s（cm2）与t（s）之间函数关系的图像由图3-3-2中的曲线段OE与线段EF、FG给出．
（1）求点Q运动的速度；
（2）求图2中线段FG的函数关系式；
（3）问：
是否存在这样的t，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1:
5的两部分，若存在，求出这样的t的值；
若不存在，请说明理由．
（1）根据函数图象中E点所代表的实际意义求解．E点表示点P运动到与点B重合时的情形，运动时间为3s，可得AB=6cm；
再由S△APQ=，可求得AQ的长度，进而得到点Q的运动速度；
（2）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．如答图3-3-2所示，求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如答图3-3-3所示，求出t的值；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如答图3-3-4所示，求出t的值．
（1）由题意，可知题图3-3-2中点E表示点P运动至点B时的情形，所用时间为3s，则菱形的边长AB=2×
3=6cm．
此时如3-3-3图所示：
图3-4-2
AQ边上的高h=AB•sin60°
=6×
=.
，解得AQ=3cm，
∴点Q的运动速度为：
3÷
3=1cm/s．
（2）由题意，可知图3-3-2中FG段表示点P在线段CD上运动时的情形．如图3-3-3所示：
点Q运动至点D所需时间为：
6÷
1=6s，点P运动至点C所需时间为12÷
2=6s，至终点D所需时间为18÷
2=9s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为：
6≤t≤9．
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
则PE=PD•sin60°
=
，
∴FG段的函数表达式为：
（3）菱形ABCD的面积为：
当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，如图3-3-5所示．此时△APQ的面积.
根据题意，得解得
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图3-3-6所示．此时，有即
解得
∴存在，使PQ将菱形ABCD的面积恰好分成1：
5的两部分．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
例4为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：
每月用气量
单价（元/m3）
不超出75m3的部分
2.5
超出75m3不超出125m3的部分
a
超出125m3的部分
a+0.25
（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费 元；
（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；
（3）在
（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？
（1）根据单价×
数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；
（2）结合统计表的数据）根据单价×
数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；
（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：
x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，
75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．
（1）由题意，得60×
2.5=150（元）；
（2）由题意，得a=（325﹣75×
2.5）÷
（125﹣75），a=2.75，
∴a+0.25=3，
设OA的解析式为y1=k1x，则有2.5×
75=75k1，
∴k1=2.5.
∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）；
设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得
解得：
∴线段AB的解析式为：
y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；
（385﹣325）÷
3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，
由图象，得
∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）
（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，
当x＞125，175﹣x≤75时，3x﹣50+2.5（175﹣x）=455，
解得：
x=135，175﹣135=40，符合题意；
当75＜x≤125，175﹣x≤75时，2.75x﹣18.75+2.5（175﹣x）=455，
x=145，不符合题意，舍去；
当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时，2.75x﹣18.75+2.75（175﹣x）=455，方程无解．
∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3.
本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×
数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
例5如图3-5-1，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BO？
（2）设△AQP的面积为S，
①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②若我们规定：
点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2−x1，y2−y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．
（1）如图3-5-2所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；
（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出．
S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；
②本问关键是求出点P、Q的坐标．当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；
求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解．
（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，
∴AB=
．
如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．
∵PQ∥BO，∴.
即，解得t=.∴当t=秒时，PQ∥BO．
（2）由
（1）知：
OA=8，OB=6，AB=10．
①如图3-5-2所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO，
∴，即，解得PD=6﹣t．
S=AQ•PD=•2t•（6-t）=6t-t2=-（t-）2+5，
∴S与t之间的函数关系式为：
S=-（t-）2+5（0＜t＜），
当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）．
②如图3-5-3所示，当S取最大值时，t=，
∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO，又PD∥BO，
∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4，
∴P（4，3）．
又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）．
依题意，“向量PQ”的坐标为（，-3）．
∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，-3）．
本题是典型的动点型问题，代数几何综合题，综合考查了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点．第
（2）②问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意．也即适当地创建初高中数学的衔接．
例6如图3-6-1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a,b是常数）的图象与x轴交于点A（−3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P，Q．
（1）求a和b的值；
（2）求t的取值范围；
（3）若∠PCQ=90°
，求t的值．
（1）将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a，b的值；
（2）根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可；
（3）证明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值．
（1）将点A、点B的坐标代入可得：
（2）抛物线的解析式为直线y=t，
联立两解析式可得：
即
∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，∴△=4+4（3+t）＞0，
t＞-4；
（3）∵
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
当x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．
设点Q的坐标为（m，t），则P（-2-m，t）．
如图，设PQ与y轴交于点D，则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．
∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°
，∠DPC+∠PCD=90°
∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°
，∴△QCD∽△CDP，
∴，即,整理得：
∵Q（m，t）在抛物线上，∴∴
∴化简得：
.解得或
当时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去．∴．
本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解一元二次方程等知识点．第（3）问中，注意抛物线上点的坐标特征．
例7如图3-7-1，二次函数y=x2+bx-3的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）请直接写出点D的坐标：
；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；
图3-7-1
（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；
（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；
（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．
（1）（﹣3，4）；
（2）设PA=t，OE=l
由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°
得△DAP∽△POE
∴∴
∴当t=时，l有最大值.即P为AO中点时，OE的最大值为；
（3）存在．
①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（-4，0）
由△PAD≌△OEG得OE=PA=1∴OP=OA+PA=4
∵△ADG∽△OEG∴AG：
GO=AD：
OE=4：
∴AG=.∴重叠部分的面积==.
②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），
此时重叠部分的面积为
本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．第（3）题注意分类讨论．平时教学中要渗透数学思想方法，同时要帮助学生从“无从下手”到与数学知识的挂钩，以及知识点的灵活应用．
【复习建议】
1．立足教材，理清概念，夯实基础，学生通过复习，应熟练掌握函数的基本知识、基本技能和基本方法．
2．用待定系数法确定函数关系式是中考重点内容，引导学生从题目给出的图象、表格、图形等信息中挖掘已知条件，针对不同的条件进行复习．
3．加强函数与方程（组），不等式（组）、相似三角形等知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平，促进学生更快、更好地构建数学知识网络．
4．要充分利用函数图象的直观性，让学生结合题意解读函数图象，做到能“看图说话”，说出所能发现的结论，并能够整合各知识模块运用其进行分析推理进而解决问题．
5．渗透函数建模思想，关注函数的最值问题的处理，适当归纳初中数学中的最值问题，形成体系，提高学生解决问题的能力．
6．重视学生的审题，重视学科间知识、方法的渗透，重视知识点应用的归类，同时培养严谨的数学习惯，稳重的考试心态．
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