119二项分布与正态分布习题理含答案Word格式.docx
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4）＝0.8，则P（0<
ξ<
2）＝（ ）
A．0.6B．0.4
C．0.3D．0.2
[解析] 本题考查利用正态分布求随机变量的概率．
∵P（ξ<
4）＝0.8，∴P（ξ≥4）＝0.2，又μ＝2，
∴P（0<
2）＝P（2<
4）＝0.5－P（ξ≥4）
＝0.5－0.2＝0.3.
4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：
质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率是.质点P移动五次后位于点（2,3）的概率是（ ）
A．（）5B．C（）5
C．C（）3D．CC（）5
[答案] B
[解析] 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点（2,3），所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C（）3·
（）2＝C（）5＝C（）5.故应选B.
5．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是（ ）
A．[0.4,1）B．（0,0.6]
C．（0,0.4]D．[0.6,1）
[解析] CP（1－P）3≤CP2（1－P）2,4（1－P）≤6P，P≥0.4，又0<
P<
1，∴0.4≤P<
1.
6．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N（0，σ2）的图像，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是（ ）
A．σ1>
1>
σ2>
σ3>
0B．0<
σ1<
σ2<
1<
σ3
C．σ1>
0D．0<
σ2＝1<
[答案] D
[解析] 当μ一定时，曲线由σ确定，当σ越小，曲线越高瘦，反之越矮胖．故选D.
二、填空题
7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N（1，σ2）（σ>
0）．若X在（0,1）内取值的概率为0.4，则X在（0,2）内取值的概率为________．
[答案] 0.8
[解析] ∵X～N（1，σ2），
X在（0,1）内取值概率为0.4，
∴X在（1,2）内取值的概率也为0.4.
∴X在（0,2）内取值的概率为0.8.
8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐，已知只有5发子弹备用，首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是，每次命中与否互相独立，求油罐被引爆的概率______．
[答案]
[解析] 记“油罐被引爆”的事件为事件A，其对立事件为，则P（）＝C（）（）4＋（）5
∴P（A）＝1－[C（）（）4＋（）5]＝.
三、解答题
9．2011年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道被该考生正确做出的概率都是.
（1）求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；
（2）若该考生至少正确做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．
[解析]
（1）记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai（i＝1,2,3,4），则P（Ai）＝，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率为
P（A1A23）＝P（A1）·
P（A2）·
P（3）
＝×
×
＝.
（2）记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道题或4道题，故P（B）＝C×
3×
＋C×
4＝.
1．（2010·
山东理）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），P（X>
2）＝0.023，则P（－2≤X≤2）＝（ ）
A．0.477B．0.628
C．0.954D．0.977
[解析] ∵P（X>
2）＝0.023，∴P（X<
－2）＝0.023，
故P（－2≤X≤2）＝1－P（X>
2）－P（X<
－2）＝0.954.
2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：
an＝，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为（ ）
A．C2·
5B．C2·
5
C．C2·
5D．C2·
[解析] 有放回地每次摸取一个球，摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，这是一个独立重复试验．S7＝3，说明共摸7次，摸到白球比摸到红球多3次，即摸到白球5次，摸到红球2次，
所以S7＝3的概率为C2·
5.
3．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k次正面的概率与出现k＋1次正面的概率相同，则k的值是________．
[答案] 2
[解析] 由Ck5－k＝Ck＋14－k，得k＝2.
4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是0.93×
0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.
其中正确结论的序号是________（写出所有正确结论的序号）．
[答案] ①③
[解析] 本小题主要考查独立事件的概率．
“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；
“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C×
0.93×
0.1，②不正确；
“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．
5．有甲、乙、丙3批饮料，每批100箱，其中各有一箱是不合格的，从3批饮料中各抽出一箱，求：
（1）恰有一箱不合格的概率；
（2）至少有一箱不合格的概率．
[解析] 记抽出“甲饮料不合格”为事件A，“乙饮料不合格”为事件B，“丙饮料不合格”为事件C，则
P（A）＝0.01，P（B）＝0.01，P（C）＝0.01.
（1）从3批饮料中，各抽取一箱，恰有一箱不合格的概率为P＝P（BC）＋P（AC）＋P（AB）
＝0.01×
0.992＋0.01×
0.992
≈0.029.
（2）各抽出一箱都合格的概率为0.99×
0.99×
0.99
≈0.97.
所以至少有一箱不合格的概率为1－0.97≈0.03.
6．（2010·
全国卷Ⅰ）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；
若两位初审专家都未予通过，则不予录用；
若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．
（1）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（2）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
[分析] 本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想．
（1）“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解．
（2）X服从二项分布，结合公式求解即可．
[解析]
（1）记A表示事件：
稿件能通过两位初审专家的评审；
B表示事件：
稿件恰能通过一位初审专家的评审；
C表示事件：
稿件能通过复审专家的评审；
D表示事件：
稿件被录用．
则D＝A＋B·
C，
而P（A）＝0.5×
0.5＝0.25，P（B）＝2×
0.5×
0.5＝0.5，
P（C）＝0.3
故P（D）＝P（A＋B·
C）＝P（A）＋P（B）·
P（C）＝0.25＋0.5×
0.3＝0.4.
（2）X～B（4,0.4），X的可能取值为0,1,2,3,4且
P（X＝0）＝（1－0.4）4＝0.1296
P（X＝1）＝C×
0.4×
（1－0.4）3＝0.3456
P（X＝2）＝C×
0.42×
（1－0.4）2＝0.3456
P（X＝3）＝C×
0.43×
（1－0.4）＝0.1536
P（X＝4）＝0.44＝0.0256
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
0.1296
0.3456
0.1536
0.0256
期望EX＝4×
0.4＝1.6.
7．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；
每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
（1）求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
（3）假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击．
问：
乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
[解析]
（1）记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次相当于作4次独立重复试验．
故P（A1）＝1－P（）＝1－（）4＝，
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.
（2）记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则
P（A2）＝C×
（）2×
（1－）4－2＝；
P（B2）＝C×
（）3×
（1－）4－3＝.
由于甲、乙射击相互独立，故
P（A2B2）＝P（A2）·
P（B2）＝×
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
（3）记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di（i＝1,2,3,4,5），则
A3＝D5D4（＋D1＋D2），且P（Di）＝.
由于各事件相互独立，故
P（A3）＝P（D5）P（D4）P（）P（＋D1＋D2）
（1－×
）＝.
所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.
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