圆的基础知识与方法基本经验与技巧Word文档格式.docx

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3、基本经验：

在同圆或等圆中，两个“圆心角”、及其它们“所对的弧”、“所对的弦”，“所对弦的弦心矩”（即：

圆心到弦的距离）这“四个量”中，只要有“其中一组量”相等，那么剩下来的“其余三组量”也分别对应相等。

三、垂径定理，垂径定理的推论，以及隐藏其中的“结伴推导”关系

1、垂径定理：

垂直于弦的直径，（一定恰好）平分该弦，并且还平分该弦所对的两段弧。

解读1：

垂径定理的“已知条件”是“径垂直弦”，且此弦既可以是“直径弦”，又可以是“一般弦”。

其中的“径”不必一定指直径，其实质是指“过圆心的直线或线段”。

解读2：

“垂直于弦的径”干了“两件大事”，一是“平分弦”，二是“平分两段弧”。

简言之，垂径定理的结论会得到：

一个弦中点，两个弧中点。

2、垂径定理的推论：

平分非直径弦的直径，（一定恰好）垂直该弦，并且还平分该弦所对的两段弧。

该推论的“已知条件”是“径平分弦”，且此弦必须是“非直径弦”，不然就要闹笑话。

“平分非直径弦的径”干了“两件大事”，一是“垂直弦”，二是“平分两段弧”。

简言之，垂径定理的推论会得到：

一个垂直弦，两个平分弧。

解读3：

垂径定理、及其推论，会涉及到“四个点”：

圆心点、弦中点、两个弧中点，这四个点具有“已知其二，可推另二”的“结伴推导”关系。

表述如下：

①、经过“圆心”和“弦中点”的直线，必然垂直该弦，并且还经过该弦所对的“两段弧的中点”；

②、经过“圆心”和“弧中点”的直线，必然垂直“该弧所对的弦”，并且还既经过“该弦中点”，又经过“该弦所对的另一段弧中点”；

③、经过“弦中点”和该弦所对其中一段“弧中点”的直线，必然垂直该弦，并且还既经过“圆心”，又经过“该弦所对的另一段弧中点”；

④、经过某弦所对的“两段弧中点”的直线，必然垂直该弦，并且还既经过“圆心”，又经过“该弦中点”；

3、有关经验：

垂径定理、及其推论有关的“计算题”，往往会涉及到“四个量”之间的“两个关系”。

这“四个量”是指：

半径、半弦、弓形高、弦心距，“两个关系”是指：

勾股关系和“合成”半径关系。

具体而言，“劣弧弓形”的“弓形高”加“弦心距”等于“半径”；

而“优弧弓形”的“弓形高”减“弦心距”等于“半径”；

值得强调的是，计算中不要只关注“勾股定理”，还要考虑“相似形”与“三角函数”，具体问题要学会灵活处理，择易处理。

四、圆心角、圆周角，的相关定理与推论

1、四种常见角的定义：

①、圆心角：

顶点在圆心，两边和圆都相交的角，叫做圆心角；

②、圆周角：

顶点在圆周，两边和圆都相交的角，叫做圆周角；

③、圆内角：

顶点在圆内，两边和圆都相交，或延伸后会与圆相交的角，叫做圆内角；

④、圆外角：

顶点在圆外，两边和圆都相交，或延伸后会与圆相交的角，叫做圆外角；

2、某些规定：

为了让某些知识之间能丰富联系、融会贯通，特作出以下“数学政策”规定：

①、弧不仅有“长度”，还有“度数”。

弧的度数等于，它所对的圆心角的度数；

②、圆周角定理：

某弧所对的“圆心角”度数，等于该弧所对的“圆周角”度数的“2倍”；

③、圆周角他说：

“圆周角”度数，等于它“所夹”的弧的度数的一半；

右脑法：

三个“的”字，味道像“配方”中的三个“的”字。

申述：

凡理解了“①和③”的规定，自然能感受“②”的正确性；

或者说，凡理解了“①和②”的正确性，自然能产生“③”的表述；

3、圆周角定理的证明过程，体现了“分类讨论思想”、“转化思想”、“类比构造法”、“类比迁移法”、“对比观察策略”，请同学务必认真体验其间过程，回味反思，以修筑思维之术。

4、圆周角定理的推论：

①、推论1：

同弧或等弧，所对的圆周角相等；

②、推论2：

直径所对的圆周角是直角，反之，90°

的圆周角所对的弦（一定恰好）是直径；

③、推论3：

“圆内接四边形”的两组对角都“互补”，并且它的“外角”等于“内对角”；

5、圆的“四种角”的“观察与推导”技巧，右脑口诀：

圆心角与圆周角，观察思路角弧角；

圆内角与圆外角，推导善于看外角；

五、直线与圆之间的位置关系

1、位置关系分类

1、若直线与圆“有两个”公共点，则二者是“相交”关系，此时的直线叫“圆的割线”，公共点叫“交点”；

2、若直线与圆“只有一个”公共点，则二者是“相切”关系，此时的直线叫“圆的切线”，公共点叫“切点”；

3、若直线与圆“没有”公共点，则二者是“相离”关系，此时的直线叫“圆的离线”；

2、从“d与r”的数量关系，来研究直线与圆的位置关系的“判定与性质”

，圆心O到直线L的距离OH=d，则：

直线L与⊙O相切；

直线L与⊙O相离；

直线L与⊙O相交；

3、怎样判断一条直线与圆之间的位置关系？

先“过圆心作相关直线的垂线段”，分别计算出d和r，然后再作大小比较，通过以上关系来判断二者的位置关系。

六、圆的切线的性质定理，与判定定理

1、切线的性质定理：

圆的切线（天生下来就专门）垂直于“过切点的”半径。

2、切线的判定定理：

经过半径的“外端点”，且垂直于“该半径”的直线是圆的切线。

3、关于以上两个定理的证明，教材上都使用了“反证法”。

如果直接证明一个命题不好证，可以考虑用反证法。

反证法的三个步骤是“反设、归谬、结论”，编个口诀就是：

一作假设，二推矛盾，三行反悔。

4、切线的性质定理，和判定定理中，隐藏着一个“某三者”的“结伴推导”关系

即：

在“过圆心”、“过切点”、“垂直于切线”，这三个关系中，已知其中两个，可推出第三个。

具体表述为：

1、经过圆心和切点的直线，必然垂直于切线。

2、经过圆心且垂直于切线的直线，必过切点。

3、经过切点且垂直于切线的直线，必过圆心。

七、怎样证明一条直线是圆切线？

可分两类：

1、如果“不清楚”直线是否经过圆上的“某一点”，则可以先过圆心O作“该直线”的“垂线段OH”，然后只要能证明出“OH=r”，即可判断该直线与圆相切。

这种思路的口诀是：

作垂直，证半径。

2、如果“已明确”直线经过了圆上的“某一点”，则可以先连接圆心与该点，然后只要能证明出“该直线垂直于该半径”，即可判断该直线与圆相切。

连半径，证垂直。

八、切线长定理，及其相关的“基本经验”

1、切线长定理：

从“圆外”一点可作“两条”圆的切线，它们的“切线长”相等。

其中“切线长”是指圆外该点到切点的“点点距离”。

2、相关的基本经验

1、切线长定理的“赠送结论”：

过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆外该点与圆心的连线，不仅平分“两切线”的“夹角”，还垂直平分“两切点”的“连线”。

右脑记忆：

圆外该点与圆心的连线，干了“三件大事”：

首先把“两切线的夹角”平分了，接着又把“两切点的连线”平分了，这样都还出不了气，顺便也把“连线”给“锤了一顿”，把人家锤成了“垂径定理”的鬼样子，结果却意外地导致整幅图形反而具有了完美的对称性，而圆外点、圆心点、一弦中点、二弧中点，五点共处于对称轴上。

2、圆外切四边形的性质：

圆外切四边形的两组对边“的和”相等。

3、圆外切三角形的“切线长”公式：

圆外切三角形的“某切线长”，等于“过该点的两边之和减去它的对边”所得的“差的一半”。

4、三角形的“另类”面积公式：

⊿ABC的面积=1/2×

（AB+BC+CA）×

r，其中r代表⊿ABC的内切圆半径。

联想：

如果三角形三边长度是已知的，那么其面积可以算出来，继而可利用以上公式计算出“内切圆半径”。

提示：

如果你知道“海伦公式”这个飞升技能，那么已知三边求面积，你就来得“又快又准”。

倘若不知道这个公式，也不要紧，你可以作出最长边的高，然后求之，最后再由“二分之一”底乘以高，来求面积，但这样给人的感觉是“慢、难、繁”，烦得很。

建议：

记一下这个叫“海什么的公式”。

设P表示三角形的周长的一半，即P是“半周长”，而a、b、c分别表示三角形的三条边，则三角形的面积，等于，P、（P—a）、（P—b）、（P—c）这四个人的“乘积的算术平方根”。

海神说，⊿的面积=“四人之积”的“再开方。

”

感受：

①、若⊿ABC的三边长分别为：

3、4、5，则面积=二次根号下：

“6×

（6—3）×

（6—4）×

（6—5）”=6；

②、若⊿ABC的三边长分别为：

5、5、6，则面积=二次根号下：

“8×

（8—5）×

（8—6）”=12；

③、若⊿ABC的三边长分别为：

2、3、4，求面积？

请动手求！

追问：

你除了用“海伦公式”来计算，还能用“提示”中提到的“一般方法”来计算吗？

九、圆“内接正多边形”与“外切正多边形”有关概念和计算技巧

1、圆的“内接正多边形”的定义：

如果一个正多边形的每一个顶点都在“同一个”圆上，那么这个正多边形叫做圆的“内接正多边形”，而此时的圆叫正多边形的“外接圆”。

2、有关概念：

在圆和它的内接正多边形中，“圆心”也叫“正多边形的中心”，“半径”也叫“正多边形的半径”，正多边形的每一条边，作为圆的弦，所对的“圆心角”也叫“正多边形的中心角”，圆心到每一条边的“弦心距”也叫“正多边形的边心距”。

记忆导图：

“圆心”

“正多边形的中心”；

“外接圆半径”

“正多边形的半径”；

“圆心角”

“正多边形的中心角”；

“弦心距”

“正多边形的边心距”

3、圆的“外切正多边形”的定义：

如果一个正多边形的每一条边都与“同一个”圆相切，那么这个正多边形叫做圆的“外切正多边形”，而此时的圆叫正多边形的“内切圆”。

4、有关联系：

①、同一个正多边形的“外接圆”与“内切圆”是“同心圆”；

②、三心合一：

正多边形的中心、外接圆圆心、内切圆圆心，是同一个“点”；

③、三位一体：

正多边形的“边心距”、外接圆的“弦心距”、内切圆的“半径”，是同一条“线段”；

④、三线合一：

每一条边的“垂直平分线”与“中心角的角平分线”与“等腰三角形的三线合一”是一致的；

5、圆与正多边形的计算技巧，右脑歌：

优先关注“中心角”，三角函数能生效，有斜用弦无则切，边角口诀别忘却。

十、三角形的“外心”与“内心”

1、经过“不在”同一直线上的“三个点”，可以确定“唯一”一个圆，相当于说，经过“任意”一个三角形的三个顶点，可以画出“唯一”一个圆。

这个圆叫三角形的“外接圆”，而三角形叫圆的“内接三角形”。

2、怎样画三角形的“外接圆”？

三角形的任意两边“中垂线”的交点，就是我们要苦苦追寻的外接圆“圆心”，而这个“心”到三角形的“三个顶点”的距离必然相等，因为“某线段”的“中垂线”上的任意一个点到“该线段”的两端点的“点点距”距离相等，接着这三条相等的线段自然成为我们“即将画出”的外接圆的“半径”。

右脑歌：

两条中垂线交点，圆规铁尖定此间，粉笔随站一顶点，旋转一圈外接圆。

3、外心的定义与性质：

三角形的任意两边中垂线的“交点”，是其“外接圆”的圆心，所以三角形三边中垂线的交点不叫“中垂心”，该叫“外心”。

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，你可以说这是因为“三个点点距”都代表外接圆的半径，也可以“更原味”地说，那是因为这“三个距离”必须要遵循“中垂线”的性质。

4、任何一个三角形内部，总是存在“唯一”一个圆，能与三角形的“三条边”都相切。

这个圆叫三角形的“内切圆”，而三角形叫圆的“外切三角形”。

5、怎样画三角形的“内切圆”？

三角形的任意两个内角“角平分线”的交点，就是我们要苦苦追寻的内切圆“圆心”，而这个“心”到三角形的“三条边”的距离必然相等，因为“某个角”的“角平分线”上的任意一个点到“该角”的两条边的“点线距”距离相等，接着这三条相等的“垂线段”自然成为我们“即将画出”的内切圆的“半径”。

两角平分线交点，圆规铁尖定此间，粉笔随站一切点，旋转一圈内切圆。

6、内心的定义与性质：

三角形的任意两个内角平分线的“交点”，是其“内切圆”的圆心，所以三角形三条角平分线的交点不叫“角心”，该叫“内心”。

三角形的内心到三角形三条边的距离相等，你可以说这是因为“三个点线距”都代表内切圆的半径，也可以“更原味”地说，那是因为这“三个距离”必须要遵循“角平分线”的性质。

十一、弧长公式、扇形面积公式

1、设某弧的长度为L，它所在圆的半径为R，它所对的圆心角为n度，则

由L：

2πR=n：

360可得：

L=nπR/180；

2、设某扇形的面积为S，它所在圆的半径为R，扇形的圆心角为n度，则

由S：

πR2=n：

S=nπR2/360；

3、综合1、2可得：

S=1/2（LR），右脑记忆：

扇形好似三角形，面积底高半好记，半径作高弧作底，弧底糊涂将就行。

4、解题技巧

求弧长L，可选择公式1、3，因为里面有“L”的身影。

求扇形面积S，可选择公式2、3，

若涉及到圆心角n，可考虑公式2；

若涉及到弧长L，可考虑公式3。

十二、圆的计算、证明题，常用技巧

1、圆里面，经常借助“半径”相等构造“等腰三角形”，然后考虑“等边对等角”或“三线合一”。

2、同圆或等圆中，有“等弧”、“等弦”、“等弦心距”、“等圆心角”、“等圆周角”中的“五分之一”出现时，一般要考虑这“五者”的结伴推导关系。

3、有“过圆心”的直线“垂直于”弦，要善于考虑“垂径”定理。

4、有“弦中点”、或“弧中点”出现时，可以考虑连接“圆心”与“这类中点”，然后去尝试使用“垂径定理”的“推论”；

有“弧中点”时，还要关注“半弧所对圆心角”等于“满弧所对圆周角”，这点“也许”有用，因为“角相等”可以为证明“全等、相似、或推导其它角相等”服务。

5、“垂径定理”及其“推论”，往往涉及到“半径”、“半弦”、“弓形高”、“弦心距”这四者的“勾股关系”和“合成半径关系”。

6、思考“圆心角”或“圆周角”，往往要按照“角——弧——角”的思路来“观察”。

7、当已知条件出现“直径”时，往往要构造直径“所对的圆周角”，再考虑可否利用“这个圆周角是直角”来解题。

倘若直径还恰巧“垂直于某弦”，那么我们可主动去构造“直径所对的圆周角”，这样便会呈现出“Rt⊿的大套图”，于是可以考虑“射影定理”对解题“是否”有帮助。

8、有“四点共圆”时，可以“尝试”使用“两组对角都互补”，或“外角等于内对角”的性质；

（这是“四点共圆”的性质）！

！

9、若“同一条线段（一条船）”在它的“同侧”所对的两个角（帆尖角）“相等”，则此图可认定为“双帆图”模型，由此可判定这个“双帆图”所涉及的四个点（船的首、尾端点，还有两个帆尖点）绝对四点共圆，接着便可以在“心象”中想象出这个“辅助圆”，而后可以利用“同弧所对的圆周角相等”得出“另外三条船”的帆尖角两两相等（这是先判定“四点共圆”，再使用其性质）！

10、偶遇两圆“相交”时，一般要作“公共弦”，然后关注一下是否有“四点共圆”的结构。

11、偶遇两圆“相切”时，一般要作“公切线”，然后关注一下可否利用“弦切角”推导出“新的相等角”。

12、当已知条件出现“圆的切线”时，要考虑连接“圆心”和“切点”，然后使用“圆的切线天生下来就专门垂直过切点的半径”，看看这一发现“能否”对解题有帮助。

13、要证明一条直线是“圆的切线”，有两类方法：

一、若已经明确直线通过了圆上某点，则“连半径，证垂直”；

二、若不清楚直线“是否”通过圆上某点，则“作垂直，证半径”。

14、遇到“双切线图形”，要善于连接“圆心与切点”，也要善于连接“圆外那点”与“圆心”，考虑好“平分两切线夹角”，“平分两切点连线”，“五点共线”等经验“是否”对解题有帮助。

15、不论是“圆外切”正多边形，还是“圆内切”正多边形，都要抓好“半中心角”、“边心距”、“半边长”这三个“领衔主演”，用好它们的“勾股关系”和“三角函数关系”。

圆的有关辅助线口诀

（摘自网络）

半径弦长要计算，弦心距来中间站；

弧弦中点圆心连，垂径定理要记全；

有了直径看半圆，想要直角径连弦；

圆周角边两条弦，直径与弦端点连；

圆上一旦有切线，圆心切点半径连；

想要证明是切线，半径垂线仔细辨；

想作三角外接圆，先作两边中垂线；

还想作个内切圆，两角平分定交点；

遇到相交的两圆，不要忘作公共弦，

若遇相切的二圆，迅速作出公切线，

两者都添连心线，与圆相交得切点。

真诚建议

有关“求线段长度”，或“找线段关系”的题目，要考虑：

一勾股、二相似、三角函数要重视。

勾股易解则勾股，勾股难解则回避，考虑列出比例式，怪物异物自退去。

什么意思？

若用勾股定理，所列方程或方程组容易解出，则自然可选勾股定理抓分。

倘若利用勾股定理，却列出了“不会解或难解”的“高次”方程、或“高次”方程组，则要设法回避使用“勾股定理”，届时可以考虑利用“射影比例式”，或“相似比例式”，或“平行比例式”，或“三角比例式”，看看“能否”回避这些“高次数异物”，或“庞系数怪物”。

若还是无法回避，则说明还有“特殊的几何关系”没有被我们发现，或还有“特别的几何方法”没有被我们觉察，届时应该放弃，还是坚守，请君依据“抓、弃、挤、猜、qian”的五字诀原则自行定夺。

考场上，千万不要与“异物和怪物”死磕、纠缠，因为你花费不起“那珍贵的120”。

请记住，花时间去抓取分数，远胜于花时间去寻找解法。

考场上请处理好“有效时间”、“博弈时间”、“无效时间”的关系。

2016年3月