高考数学理选修4内容分类汇编.docx

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高考数学理选修4内容分类汇编

2014高考数学理分类汇编选修4系列

N单元选修4系列

15．[2014·广东卷]（几何证明选讲选做题）如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．

图13

15．9　

15．[2014·湖北卷]（选修41：

几何证明选讲）

如图13，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC＝1，CD＝3，则PB＝________．

图13

15．4　

12．[2014·湖南卷]如图13所示，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．

图13

12.　

22．[2014·辽宁卷]选修41：

几何证明选讲

如图17所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上—点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

（1）求证：

AB为圆的直径；

（2）若AC＝BD，求证：

AB＝ED.

图17

22．证明：

（1）因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.

由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，

又因为∠PGD＝∠EGA，所以∠DBA＝∠EGA，

所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，

从而∠BDA＝∠PFA.

又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，故AB为圆的直径．

（2）连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB＝∠CBA.

又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.

因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，

所以ED为直径，又由

（1）知AB为圆的直径，所以ED＝AB.

22．[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修41：

几何证明选讲

如图16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.

图16

（1）证明：

∠D＝∠E；

（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：

△ADE为等边三角形．

22．证明：

（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.

（2）设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．

又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，

所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.

又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由

（1）知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．

22．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修41：

几何证明选讲

如图14，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：

（1）BE＝EC；

（2）AD·DE＝2PB2.

图14

22．证明：

（1）连接AB，AC.由题设知PA＝PD，

故∠PAD＝∠PDA.

因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，

∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，

∠DCA＝∠PAB，

所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.

因此BE＝EC.

（2）由切割线定理得PA2＝PB·PC.

因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.

由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，

所以AD·DE＝2PB2.

15．[2014·陕西卷]

图13

B．（几何证明选做题）如图13，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．

15．B．3　

6．[2014·天津卷]

图12

如图12所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

②FB2＝FD·FA；

③AE·CE＝BE·DE；

④AF·BD＝AB·BF.

则所有正确结论的序号是（　　）

A．①②B．③④

C．①②③D．①②④

6．D　

14．[2014·重庆卷]过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________．

14．4　

21．[2014·福建卷]（Ⅰ）选修42：

矩阵与变换

已知矩阵A的逆矩阵．

（1）求矩阵A；

（2）求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

21.（Ⅰ）解：

（1）因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且＝2×2－1×1＝3≠0，

所以A＝＝.

（2）矩阵A－1的特征多项式为f（λ）＝＝λ2－4λ＋3＝（λ－1）（λ－3），令f（λ）＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝）是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝）是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．

13．[2014·天津卷]在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．

13．3　

4．[2014·安徽卷]以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）

A.B．2

C.D．2

4．D　

3．[2014·北京卷]曲线（θ为参数）的对称中心（　　）

A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上

C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上

3．B　

21．[2014·福建卷]（Ⅱ）选修44：

坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．

（1）求直线l和圆C的普通方程；

（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

21.（Ⅱ）解：

（1）直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

（2）因为直线l与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

解得－2≤a≤2.

14．[2014·广东卷]（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．

14．（1，1）　

16．[2014·湖北卷]（选修44：

坐标系与参数方程）

已知曲线C1的参数方程是（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为________．

16.　

11．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：

（α为参数）交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．

11．ρcosθ－ρsinθ＝1　

11．[2014·江西卷]

（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）

A．ρ＝，0≤θ≤

B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

11．

（2）A　

23．[2014·辽宁卷]选修44：

坐标系与参数方程

将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线l：

2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

23．解：

（1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变为C上点（x，y），依题意，得由x＋y＝1得x2＋＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.

故C的参数方程为（t为参数）．

（2）由解得或

不妨设P1（1，0），P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为y－1＝，

化为极坐标方程，并整理得

2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.

23．[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修44：

坐标系与参数方程

已知曲线C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

23．解：

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）到l的距离

d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，

则|PA|＝＝|5sin（θ＋α）－6|，

其中α为锐角，且tanα＝.

当sin（θ＋α）＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin（θ＋α）＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

23．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修44：

坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：

y＝x＋2垂直，根据

（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

23．解：

（1）C的普通方程为（x－1）2＋y2＝1（0≤y≤1）．

可得C的参数方程为

（t为参数，0≤t≤π）．

（2）设D（1＋cost，sint）．由

（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.

故D的直角坐标为，即.

15．[2014·陕西卷]C．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．

15．　C．1　

自选模块2．[2014·浙江卷]

（1）在极坐标系Ox中，设集合A＝{（ρ，θ）|0≤θ≤，0≤ρ≤cosθ}，求集合A所表示区域的面积；

（2）在直角坐标系xOy中，

直线l：

（t为参数），

曲线C：

（θ为参数），其中a＞0.

若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

解：

（1）在ρ＝cosθ两边同乘ρ，得

ρ2＝ρcosθ.

化成直角坐标方程，得x2＋y2＝x，

即＋y2＝.

所以集合A所表示的区域为：

由射线y＝x（x≥0），y＝0（x≥0），圆＋y2＝所围成的区域，如图所示的阴影部分，所求面积为＋.

（2）由题意知，直线l的普通方程为x－y＋4＝0.

因为曲线C上所有点均在直线l的右下方，故对θ∈R，有acosθ－2sinθ＋4＞0恒成立，

即cos（θ＋φ）＞－4恒成立，

所以＜4.又a＞0，得0＜a＜2.

15．[2014·重庆卷]已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ<2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．

15.　

21．[2014·福建卷]（Ⅲ）选修45：

不等式选讲

已知定义在R上的函数f（x）＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.

（1）求a的值；

（2）若p，q，