1、高考数学理选修4内容分类汇编2014高考数学理分类汇编选修4系列N单元 选修4系列 152014广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13所示,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB2AE,AC与DE交于点F,则_图13159152014湖北卷 (选修41:几何证明选讲)如图13,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交O于C,D两点,若QC1,CD3,则PB_图13154122014湖南卷 如图13所示,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB,BC2,则O的半径等于_图1312.222014辽宁卷 选修41:几何证明选讲如图17所示,EP交圆于E,C两
2、点,PD切圆于D,G为CE上点且PGPD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若ACBD,求证:ABED.图1722证明:(1)因为PDPG,所以PDGPGD.由于PD为切线,故PDADBA,又因为PGDEGA,所以DBAEGA,所以DBABADEGABAD,从而BDAPFA.又AFEP,所以PFA90,所以BDA90,故AB为圆的直径(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中,ABBA,ACBD,从而得RtBDARtACB,于是DABCBA.又因为DCBDAB,所以DCBCBA,故DCAB.因为AB
3、EP,所以DCEP,DCE为直角,所以ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,所以EDAB.222014新课标全国卷 选修41:几何证明选讲如图16,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CBCE.图16(1)证明:DE;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角形22证明:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以DCBE.由已知得CBEE,故DE.(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MBMC知MNBC,故O在直线MN上又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD,所以ADBC,故ACBE.又CBEE,故AE,
4、由(1)知,DE,所以ADE为等边三角形222014新课标全国卷 选修41:几何证明选讲如图14,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E,证明:(1)BEEC;(2)ADDE2PB2.图1422证明:(1)连接AB,AC.由题设知PAPD,故PADPDA.因为PDADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC,所以DC2PB,BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.152014陕西卷 图13B
5、(几何证明选做题)如图13,ABC中,BC6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC2AE,则EF_15 B3 62014天津卷 图12如图12所示,ABC是圆的内接三角形,BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:BD平分CBF;FB2FDFA;AECEBEDE;AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A B C D6D142014重庆卷 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA6,AC8,BC9,则AB_144212014福建卷 ()选修42:矩阵与变换已知矩阵A的
6、逆矩阵(1)求矩阵A;(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量21. ()解:(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵,且221130,所以A .(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3),令f()0,得矩阵A1的特征值为11或23,所以1)是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量,2)是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量132014天津卷 在以O为极点的极坐标系中,圆4sin 和直线sin a相交于A,B两点若AOB是等边三角形,则a的值为_13342014安徽卷 以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的
7、参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D24D32014北京卷 曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上3B21 2014福建卷 ()选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围21. ()解:(1)直线l的普通方程为2xy2a0,圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d4,解得2a2.142014广东卷
8、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为_14(1,1) 162014湖北卷 (选修44:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2,则C1与C2交点的直角坐标为_16.112014湖南卷 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C: (为参数)交于A,B两点,且|AB|2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是_11
9、cos sin 1112014江西卷 (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A,0B,0Ccos sin ,0Dcos sin ,011(2)A232014辽宁卷 选修44:坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2xy20与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程23解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,
10、y),依题意,得由xy1得x21,即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率k,于是所求直线方程为y1,化为极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3,即.232014新课标全国卷 选修44:坐标系与参数方程已知曲线C:1,直线l: (t为参数)(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值23解:(1)曲线C的参数方程为(为参数),直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3s
11、in )到l的距离d|4cos 3sin 6|,则|PA|5sin()6|,其中为锐角,且tan .当sin()1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin()1时,|PA|取得最小值,最小值为.232014新课标全国卷 选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为2cos ,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:yx2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标23解:(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数,0t)(2)设D(1cos t,sin t)
12、由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tan t,t.故D的直角坐标为,即.152014陕西卷 C(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线sin1的距离是_15C1自选模块22014浙江卷 (1)在极坐标系Ox中,设集合A(,)|0,0cos ,求集合A所表示区域的面积;(2)在直角坐标系xOy中,直线l: (t为参数),曲线C: (为参数),其中a0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方,求a的取值范围解:(1)在cos 两边同乘,得2cos .化成直角坐标方程,得x2y2x,即y2.所以集合A所表示的区域为:由射线yx(x0),y0(x0),圆y2所围成的区域,如图所示的阴影部分,所求面积为.(2)由题意知,直线l的普通方程为xy40.因为曲线C上所有点均在直线l的右下方,故对R,有acos 2sin 40恒成立,即cos()4恒成立,所以4.又a0,得0a2.152014重庆卷 已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0,02),则直线l与曲线C的公共点的极径_15.212014福建卷 ()选修45:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,
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