最新学年度高中北师大版数学选修23教学案第三章1回归分析.docx

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最新学年度高中北师大版数学选修23教学案第三章1回归分析

知识整合与阶段检测

[对应学生用书P37]

一、离散型随机变量的分布列

1．定义

设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为pi（i＝1,2，…），记作：

P（x＝ai）＝Pi（i＝1,2，…），①

或把上式列成下表

X＝ai

a1　a2　…

P（X＝ai）

p1　p2　…

上述表或①式称为离散型随机变量X的分布列．

2．求随机变量的分布列的步骤

①明确随机变量X的取值；②准确求出X取每一个值时的概率；③列成表格的形式．

[说明]　已知随机变量的分布列，则它在某范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值时的概率之和．

3．离散型随机变量分布列的性质

（1）pi>0，i＝1,2，…；

（2）p1＋p2＋…＋pi＋…＝1.

[说明]　分布列的两个性质是求解有关参数问题的依据．

二、条件概率与独立事件

1．A发生时B发生的条件概率为

P（B|A）＝.

2．对于两个事件A，B，如果P（AB）＝P（A）P（B），则称A，B相互独立．若A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立．

3．求条件概率的常用方法

（1）定义：

即P（B|A）＝.

（2）借助古典概型公式P（B|A）＝.

4．概率问题常常与排列组合相结合，求事件概率的关键是将事件分解成若干个子事件，然后利用概率加法（互斥事件求和）、乘法（独立事件同时发生）、除法（条件概率）来求解．

三、离散型随机变量的均值与方差

1．定义：

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是a1，a2，…，an，这些值对应的概率是p1，p2，…，Pn，则EX＝a1p1＋a2p2＋…＋anpn叫作这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．E（X－EX）2是（X－EX）2的期望，并称之为随机变量X的方差，记为DX.

2.意义：

均值反映了离散型随机变量取值的平均取值水平，而方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．

四、超几何分布及二项分布

1．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品，从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出n件产品中次品的件数．

那么P（X＝k）＝（k∈N），X服从参数为N，M，n的超几何分布．其均值EX＝n.

2．二项分布

在n次相互独立的试验中，每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p.用X表示这n次试验中成功的次数

则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…n）．

称为X服从参数为n，P的二项分布．其均值为EX＝np，方差为DX＝np（1－p）．

五、正态分布

1．正态分布的密度函数为

f（x）＝exp，－∞

2．正态分布密度函数满足以下性质：

（1）函数图像关于直线x＝μ对称．

（2）σ（σ＞0）的大小决定函数图像的“胖”“瘦”．

（3）P（μ－σ＜X＜μ＋σ）＝0.683；

P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）＝0.954；

P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.997.

（时间90分钟，满分120分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）

1．下列表格可以作为X的分布列的是（　　）

A.

X

0

1

3

P

a

1－a

　B.

X

1

2

3

P

－

1

C.

X

－1

1

2

P

2a

a2＋2

D.

X

4

5

P

解析：

根据分布列的性质各概率之和等于1，易知D正确．

答案：

D

2．设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n，p的值分别是（　　）

A．50，B．60，

C．50，D．60，

解析：

由得

答案：

B

3．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于（　　）

A．10B．100

C.D.

解析：

由正态分布密度曲线上的最高点知，＝，∴DX＝σ2＝.

答案：

C

4．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（　　）

A．0.9B．0.2

C．0.7D．0.5

解析：

设事件A，B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P（A＋B）＝P（A）·（1－P（B））＋（1－P（A））·P（B）＝0.5.

答案：

D

5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（B|A）等于（　　）

A.B.

C.D.

解析：

P（A）＝，P（AB）＝，由条件概率公式

P（B|A）＝＝＝.

答案：

B

6．如图，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为（　　）

A．0.960B．0.864

C．0.720D．0.576

解析：

法一：

由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P（K）＝0.9，P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.8.

∵K，A1，A2相互独立，

∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P（1A2）＋P（A12）＋P（A1A2）＝（1－0.8）×0.8＋0.8×（1－0.8）＋0.8×0.8＝0.96.

∴系统正常工作的概率为P（K）[P（1A2）＋P（A12）＋P（A1A2）]＝0.9×0.96＝0.864.

法二：

A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P（12）＝1－（1－0.8）（1－0.8）＝0.96，∴系统正常工作的概率为P（K）[1－P（12）]＝0.9×0.96＝0.864.

答案：

B

7．设随机变量X服从正态分布N（0,1），且P（X＞1）＝p，则P（－1＜X＜0）等于（　　）

A.pB．1－p

C．1－2pD.－p

解析：

由于随机变量服从正态分布N（0,1），由正态分布图可得P（－1＜X＜0）＝－P（X＜－1）＝－P（X＞1）＝－p.

答案：

D

8．将1枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，则k的值为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

设正面向上的次数为X，则X～B.

由题意知，C5＝C5.

∴k＋k＋1＝5.∴k＝2.

答案：

C

9．船队若出海后天气好，可获利5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海效益的均值是（　　）

A．2000元B．2200元

C．2400元D．2600元

解析：

出海效益的均值为EX＝5000×0.6＋（1－0.6）×（－2000）＝3000－800＝2200元．

答案：

B

10．（浙江高考）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i＝1,2）个球放入甲盒中．

（1）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi（i＝1,2）；

（2）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi（i＝1,2）．

则（　　）

A．p1>p2，E（ξ1）

B．p1E（ξ2）

C．p1>p2，E（ξ1）>E（ξ2）

D．p1

解析：

法一（特值法）：

取m＝n＝3进行计算、比较即可．

法二（标准解法）：

从乙盒中取1个球时，取出的红球的个数记为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1，则P（ξ＝0）＝＝P（ξ1＝1），P（ξ＝1）＝＝P（ξ1＝2），所以E（ξ1）＝1·P（ξ1＝1）＋2·P（ξ1＝2）＝＋1，所以p1＝＝；从乙盒中取2个球时，取出的红球的个数记为η，则η的所有可能取值为0,1,2，则P（η＝0）＝＝P（ξ2＝1），P（η＝1）＝＝P（ξ2＝2），P（η＝2）＝＝P（ξ2＝3），所以E（ξ2）＝1·P（ξ2＝1）＋2P（ξ2＝2）＋3P（ξ2＝3）＝＋1，所以p2＝＝，所以p1>p2，E（ξ1）

答案：

A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）

11．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________.

解析：

因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B（6,1－p），

所以EX＝6（1－p）＝2.解得p＝.

答案：

12．已知正态总体的数据落在区间（－3，－1）里的概率和落在区间（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

解析：

正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间（－3，－1）和区间（3,5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．

∵区间（－3，－1）和区间（3,5）关于直线x＝1对称，∴正态分布的数学期望就是1.

答案：

1

13．某校要从5名男生和2名女生中选出2人作为世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则X的数学期望EX＝________.

解析：

随机变量X服从超几何分布，其中N＝7，M＝2.

n＝2，则EX＝2×＝.

答案：

14．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标注数字0，两个面上标注数字1，一个面上标注数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．

解析：

设X表示向上的数之积，

则P（X＝1）＝×＝，

P（X＝2）＝C××＝，

P（X＝4）＝×＝，

P（X＝0）＝.

∴EX＝1×＋2×＋4×＝.

答案：

三、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分12分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示．据统计，随机变量X的概率分布如下表所示.

X

0

1

2

3

P

0.1

0.3

2a

a

（1）求a的值和X的数学期望；

（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．

解：

（1）由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，

解得a＝0.2.

∴X的概率分布为：

X

0

1

2

3

P

0.1

0.3

0.4

0.2

∴EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.

（2）设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．

则由事件的独立性，得

P（A1）＝CP（X＝2）·P（X＝0）

＝2×0.4×0.1＝0.08，

P（A2）＝[P（X＝1）]2＝0.32＝0.09，

∴P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝0.08＋0.09＝0.17.

故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.

16．（本小题满分12分）（北京高考）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；