中考专题届中考数学复习专题08图形变换有关的计算与证明含答案.docx

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中考专题届中考数学复习专题08图形变换有关的计算与证明含答案

（2017甘肃兰州第14题）如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则（）

A.B.C.D.

【答案】AA

（2017湖北咸宁第8题）在平面直接坐标系中，将一块含义角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，则此点的对应点的坐标为（C）

A．B．C.D．

（2017广西贵港第16题）如图，点在等边的内部，且，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为．

【答案】

（2017浙江嘉兴第16题）一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长是．现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长共为．（结果保留根号）

【答案】12－12．12－18．

（2017辽宁沈阳第16题）如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是.

【答案】.

（2017湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD=，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．

【答案】．

（2016·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=　2　cm．

[来源:

Z+xx+k.Com]

（2016·广西桂林·3分）如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是　π　．

（2015年上海4分）已知在△ABC中，，．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于▲．

【答案】.

（2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD中，，连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为，当射线和射线都与线段AD相交时，设交点分别F，G，若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为▲.

【答案】.

（2015年福建福州4分）如图，在中，=90°，，将绕点C逆时针转60°，得到△MNC，则BM的长是▲．

【答案】.

（2017四川自贡第25题）如图1，在平面直角坐标系，O为坐标原点，点A（﹣1，0），点B（0，）．

（1）求∠BAO的度数；

（2）如图1，将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′，当A′恰好落在AB边上时，设△AB′O的面积为S1，△BA′O的面积为S2，S1与S2有何关系？

为什么？

（3）若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？

证明你的判断．

【答案】

（1）∠BAO=60°；

（2）S1=S2;（3）S1=S2不发生变化；理由见解析.

【解析】

试题分析：

（1）先求出OA，OB，再利用锐角三角函数即可得出结论；

（2）根据等边三角形的性质可得AO=AA＇，再根据直角三角形30°角所对的直角边等斜边的一半求出AO=AB，然后求出AO=AA’，，然后再根据等边三角形的性质求出点O到AB的距离等于点A＇到AO的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；

（3）根据旋转的性质可得BO=OB＇，AA＇=OA＇，再求出∠AON=∠A＇OM，然后再证明ΔAON≌ΔA＇OM，可得AN=A＇M，然后利用等底等高的三角形面积相等证明.

试题解析：

（1）∵A（﹣1，0），B（0，），

∴OA=1，OB=，

在Rt△AOB中，tan∠BAO==，

∴∠BAO=60°；

（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，

∴CA'=AC=AB，

∴OA'=AA'=AO，

根据等边三角形的性质可得，△AOA'的边AO、AA'上的高相等，

∴△BA'O的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2.

（3）S1=S2不发生变化；

理由：

如图，过点'作A'M⊥OB．过点A作AN⊥OB'交B'O的延长线于N，

∵△A'B'O是由△ABO绕点O旋转得到，

∴BO=OB'，AO=OA'，

∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，

∴∠AON=∠A'OM，

在△AON和△A'OM中，

，

∴△AON≌△A'OM（AAS），

∴AN=A'M，

∴△BOA'的面积和△AB'O的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），

即S1=S2．

考点：

几何变换综合题.

（2017湖北省襄阳市）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若CE=CF，求证：

DE=DF；

（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：

①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；

②若CE=4，CF=2，求DN的长．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）①AB2=4CE•CF；②．

【解析】

试题分析：

（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根据全等三角形的性质即可的结论；

（2）①证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2=CE•CF，根据等腰直角三角形的性质得到CD=AB，于是得到AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=，推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到=2，根据勾股定理即可得到结论．

试题解析：

（1）证明：

∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中，∵CE=CF，∠DCE=∠DCF，CD=CD，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；

考点

（2016·山东省东营市·10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.

①求证：

BD⊥CF；

②当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长．

【知识点】等腰三角形——等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形——正方形的性质、旋转——旋转的特性、全等三角形——全等三角形的判判定和性质、相似三角形——相似三角形的判判定和性质

【思路分析】

（1）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；

（2）利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.

【解答】（l）解：

BD＝CF成立．

证明：

∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.

（2）①证明：

由

（1）得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，

在△HFN与△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,

∴HD⊥HF,即BD⊥CF.

②解：

如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.

在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.

在Rt△BMD与Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.

∴AB＝2，AD＝3，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3.

∴MB＝3－2＝1,DB＝＝.

∵＝.∴＝.

∴DH＝.

（2016·吉林·8分）

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为　平行　；

（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照

（1）中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为　6　．

【考点】几何变换综合题．

【分析】

（1）根据旋转的性质得到∠C1BC=∠B1BC=90°，BC1=BC=CB1，根据平行线的判定得到BC1∥CB1，推出四边形BCB1C1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；

（2）过C1作C1E∥B1C于E，于是得到∠C1EB=∠B1CB，由旋转的性质得到BC1=BC=B1C，∠C1BC=∠B1CB，等量代换得到∠C1BC=∠C1EB，根据等腰三角形的判定得到C1B=C1E，等量代换得到C1E=B1C，推出四边形C1ECB1是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；

（3）设C1B1与BC之间的距离为h，由已知条件得到=，根据三角形的面积公式得到=，于是得到结论．

【解答】解：

（1）平行，

∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，

∴∠C1BC=∠B1BC=90°，BC1=BC=CB1，

∴BC1∥CB1，

∴四边形BCB1C1是平行四边形，

∴C1B1∥BC，

故答案为：

平行；

（2）证明：

如图②，过C1作C1E∥B1C，交BC于E，则∠C1EB=∠B1CB，

由旋转的性质知，BC1=BC=B1C，∠C1BC=∠B1CB，

∴∠C1BC=∠C1EB，

∴C1B=C1E，

∴C1E=B1C，

∴四边形C1ECB1是平行四边形，

∴C1B1∥BC；

（3）由

（2）知C1B1∥BC，

设C1B1与BC之间的距离为h，[来源:

Z_xx_k.Com]

∵C1B1=BC，

∴=，

∵S=B1C1•h，S=BC•h，

∴===，

∵△C1BB1的面积为4，

∴△B1BC的面积为6，

故答案为：

6．

（2016·黑龙江龙东·8分）已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

【考点】四边形综合题．

【分析】

（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．

（2）图2中的结论为：

CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．

图3中的结论为：

CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，