版新高考数学一轮教师用书第1章 第1节 集合Word格式文档下载.docx

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（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（3）集合的三种表示方法：

列举法、描述法、Venn图法．

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B或B⊇A

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

A

B或B

集合相等

集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的基本运算

运算

交集

由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

并集

由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

补集

由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

1．集合子集的个数

对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2．

2．集合的运算性质

（1）并集的性质：

A∪∅＝A；

A∪A＝A；

A∪B＝B∪A；

A∪B＝A⇔B⊆A．

（2）交集的性质：

A∩∅＝∅；

A∩A＝A；

A∩B＝B∩A；

A∩B＝A⇔A⊆B．

（3）补集的性质：

A∪（∁UA）＝U；

A∩（∁UA）＝∅；

∁U（∁UA）＝A；

∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）；

∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集．（　　）

（2）{x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{（x，y）|y＝x2}．（　　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　　）

（4）直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

二、教材改编

1．若集合A＝{x∈N|x≤2

}，a＝

，则下列结论正确的是（　　）

A．{a}⊆A　B．a⊆A

C．{a}∈AD．a∉A

D　[由题意知A＝{0，1，2}，由a＝

，知a∉A.]

2．已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N的子集的个数为________．

64　[∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，

∴M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，

∴M∪N的子集有26＝64个．]

3．已知U＝{α|0°

＜α＜180°

}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U（A∪B）＝________．

[答案]　{x|x是直角}

4．方程组

的解集为________．

{（1，1）}　[由

得

故该方程组的解集为{（1，1）}．]

5．[一题两空]已知集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________．

（－2，1）　（－∞，3）　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，

∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]

（对应学生用书第2页）

考点1　集合的概念

　与集合中的元素有关的问题的求解思路

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．

（2）看清元素的限制条件．

（3）根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．

　1.（2018·

全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9　　　　B．8　　　　C．5　　　　D．4

A　[由x2＋y2≤3知，－

≤x≤

，－

≤y≤

.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C

C

＝9，故选A.]

2．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

－

　[由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，

则m＝1或m＝－

.

当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；

当m＝－

时，m＋2＝

，而2m2＋m＝3，符合题意，

故m＝－

.]

3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．

0或

　[当a＝0时，显然成立；

当a≠0时，Δ＝（－3）2－8a＝0，即a＝

4．已知a，b∈R，若

＝{a2，a＋b，0}，则a2020＋b2020＝________．

1　[由已知得a≠0，则

＝0，

所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2020＋b2020＝（－1）2020＋02020＝1.]

（1）求解此类问题时，要特别注意集合中元素的互异性，如T2，T4.

（2）常用分类讨论的思想方法求解集合问题，如T3.

考点2　集合的基本关系

　判断两集合关系的方法

（1）列举法：

用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．

（2）化简集合法：

用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．

（1）（2019·

沈阳模拟）已知集合A＝{x|y＝

，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则（　　）

A．A

BB．B

C．A⊆BD．B＝A

（2）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

（3）已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

（1）B　

（2）D　（3）（－∞，3]　[

（1）由题意知A＝{x|y＝

，x∈R}，

所以A＝{x|－1≤x≤1}．

所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，

所以B

A，故选B.

（2）因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A⊆C⊆B，则集合C可以为：

{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个．

（3）因为B⊆A，

所以①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2.

②若B≠∅，则

解得2≤m≤3.

由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].]

[母题探究]

1．（变问法）本例（3）中，若B

A，求m的取值范围．

[解]　因为B

A，

①若B＝∅，成立，此时m＜2.

且边界点不能同时取得，解得2≤m≤3.

综合①②，m的取值范围为（－∞，3].

2．（变问法）本例（3）中，若A⊆B，求m的取值范围．

[解]　若A⊆B，则

即

所以m的取值范围为∅.

3．（变条件）若将本例（3）中的集合A改为A＝{x|x＜－2或x＞5}，试求m的取值范围．

[解]　因为B⊆A，

所以①当B＝∅时，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合题意．

②当B≠∅时，

或

解得

即m＞4.

综上可知，实数m的取值范围为（－∞，2）∪（4，＋∞）.

（1）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

（2）空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．

　1.设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个　　　B．5个　　　C．4个　　　D．3个

A　[由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．]

2．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________．

[－2，2）　[①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，

解得－2＜m＜2，符合题意；

②若1∈B，则12＋m＋1＝0，

解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；

③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，

解得m＝－

，此时B＝

，不合题意．

综上所述，实数m的取值范围为[－2，2）.]

考点3　集合的基本运算

　集合运算三步骤

　集合的运算

全国卷Ⅰ）已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝（　　）

A．{x|－4＜x＜3}　B．{x|－4＜x＜－2}

C．{x|－2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}

（2）（2019·

浙江高考）已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（∁UA）∩B＝（　　）

A.{－1}B．{0，1}

C．{－1，2，3}D．{－1，0，1，3}

（3）[多选]设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则（　　）

A．A∩B＝（－1，1）B．A∩B＝（0，1）

C．A∪B＝（－1，＋∞）D．A∪B＝（0，＋∞）

（1）C　

（2）A　（3）BC　[

（1）∵N＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，M＝{x|－4＜x＜2}，

∴M∩N＝{x|－2＜x＜2}，故选C.

（2）∵∁UA＝{－1，3}，∴（∁UA）∩B＝{－1}，故选A.

（3）∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∩B＝（0，1）

∴A∪B＝（－1，＋∞），故选BC.]

[逆向问题]　已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{9}，则A＝（　　）

A．{1，3}　B．{3，7，9}

C．{3，5，9}D．{3，9}

D　[法一：

（直接法）因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又（∁UB）∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，则5∉B（否则5∈A∩B），从而5∈∁UB，则（∁UB）∩A＝{5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理，1∉A，7∉A，故A＝{3，9}．

法二：

（Venn图）如图所示．

]

　集合运算的常用方法

（1）若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．

（2）若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

　利用集合的运算求参数

（1）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）

A．0　　　　B．1C．2　　　　D．4

厦门模拟）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1　　B．a＜1

C．a≥2D．a＞2

（1）D　

（2）C　[

（1）根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.

（2）B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]

　利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法

（1）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解．如T

（1）.

（2）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．

提醒：

在求出参数后，注意结果的验证（满足互异性）.

[教师备选例题]

1．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）

A．77　　　　B．49　　　　C．45　　　　D．30

C　[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“

”，集合B表示如图所示的所有圆点“

”＋所有圆点“

”，集合A⊕B显然是集合{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{（－3，－3），（－3，3），（3，－3），（3，3）}之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），则集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“

”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.

2．设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．（1，＋∞）

B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，设函数f（x）＝x2－2ax－1，因为函数f（x）＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a（a＞0），f（0）＝－1＜0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，

所以有

所以

≤a＜

.故选B.]

　1.（2019·

全国卷Ⅱ）设集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝（　　）

A．（－∞，1）　　　B．（－2，1）

C．（－3，－1）D．（3，＋∞）

A　[由题意得A＝{x|x＜2或x＞3}，B＝{x|x＜1}，

∴A∩B＝{x|x＜1}．]

2.

（2019·

洛阳模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为（　　）

A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤2或x≥4}

C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}

D　[依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为（∁RA）∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D.]

3．已知A＝{1，2，3，4}，B＝{a＋1，2a}．若A∩B＝{4}，则a＝________．

3　[因为A∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4，6}，符合题意；

若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3，4}，不符合题意．综上，a＝3.]