初二数学北京版频数分布表教案Word文档格式.docx

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教学重点：

频数分布的意义与作用，会列频数分布表.

教学难点：

数据分组的方法和频数的累计过程.

教学过程（表格描述）

教学环节

主要教学活动

设置意图

引入

同学们好，首先，回顾一下初中阶段我们学过的统计量，它们是描述数据集中趋势的平均数，众数和中位数，刻画数据离散程度的极差，方差.

当我们在处理数据时，不但要了解一组数据的集中趋势，还要了解这组数据的离散程度.

我们通过全面调查和抽样调查收集数据，通过这两种方法收集的数据是分散的，不系统的，这就需要对一组数据进行适当的整理.在数据整理的基础上描述数据，分析数据，进而得出结论.数据整理是统计分析的基础，在统计中具有重要的地位.而数据整理常用的方法是制表.今天我们来学习一种新的统计表：

频数分布表.

同学们，在某次数学检测考试中，初二年级1班40名学生的数学成绩如下：

通过学生熟悉的问题入手，既是对前面内容的梳理，同时又可以把新知识由浅入深地引入，找到新旧知识的联系点,起到一个承上启下的作用.

新课

探究新知：

八年级1班40名学生的数学成绩（单位：

分）如下:

87，77，68，92，67，77，74，84，98，84，

59，77，80，77，76，94，82，65，60，56，

87，82，70，74，68，90，95，92，82，70，

70，82，80，82，89，82，85，85，58，78.

思考：

对于这次检测成绩，我们都能获得哪些信息呢？

目前，我们能够用哪些数据对本次检测进行分析和评估？

可以用：

最高分，最低分，极差，平均分，

及格率，优秀率，方差.

同学们，除了以上数据，你还想知道哪些数据，以便对这次数学检测成绩作更深入的分析和评估？

例如，哪个分数段的人数最多，哪个分数段的人数最少，分别占总人数的比值是多少，我们统计出的这些数据能回答这几个问题吗？

显然是回答不了的.

如果想知道成绩更具体的分布，这就需要我们对这次成绩作更深入的分析，即：

把数据进行分段统计.

要想分段，就需要先画出分数段，再统计出每个分数段的分数个数．

我们知道，数据的极差是42分，如果以10分为一段，请大家思考一下，可以分成几段呢？

因为42分是指最大值和最小值的差，又以10分为一段，用42÷

10=4.2≈5段.所以以10分为一段，可以分成5段.

同学们需要注意，这里的约等于不是取四舍五入，而是取满足条件的最小整数值.

又因为数据的最小值为56分，最大值为98分，所以初二年级1班40名学生数学成绩分段结果如下:

第一段为50~60分，第二段60~70分，

第三段为70~80分，第四段80~90分，

第五段为90~100分.

在这里需要注意，每一段中两端的数值包含最小值，不包含最大值.例如：

50~60分这一段的数据满足的条件是大于等于50，小于60，即:

含50，不含60.

按照上面的分段方法，就可以统计出各分数段的分数个数了，累计时，按照选举唱票的方法用“正”字进行划计，再累计出各个分数段内的分数个数，进而计算它与分数总个数40的比值.

综上所述，表格中的表头信息，包含：

分数段，分数个数累计，分数个数，以及与总个数的比值.下面，我们以第一行的数学成绩为例来体会一下分数个数累计的方法，这一行的成绩依次为：

87，77，68，92，67，77，74，84，98，84，我们按数据出现的次序画“正”字，87属于80至90分数段，我们在这一栏画“正”字的第一笔，77属于70至80分数段，我们在这一栏画“正”字的第一笔，68属于60至70分数段，我们在这一栏画“正”字的第一笔，92属于90至100分数段，我们在这一栏画“正”字的第一笔，67属于60至70分数段，我们在这一栏画“正”字的第二笔，以此类推，完成分数个数的累计工作.

以第一个分数段50~60为例，来说明表格中后两列的填写方法，

在50~60分这一段，通过对正字笔顺：

横，竖，横三笔累计统计，可以得到：

50~60分这个分数段的分数个数为3个，所以表格中分数个数为3，然后用3÷

40得到这一段的数据个数与总个数的比值为0.075.依据以上的方法得到分段统计表如下：

其中，50~60分这一段有3个数据，60~70分这一段有5个数据，70~80分这一段有11个数据，80~90分这一段有15个数据，90~100分这一段有6个数据.分数个数与总个数的比值依次为：

0.075，0.125，0.275，0.375，0.150.

最后一行是合计，即求出每一列的数据之和.上面对数据的分段统计的过程就是数据的分组整理.

数据的分组整理：

是指按数值的大小，把一组数据分成若干小组，累计各小组的数据个数过程.其中每个分数段是一个“组区间”，分数段两段的数据是“组限”，分数段中最大值与最小值的差是“组距”，分数段的个数是“组数”.

有了分组整理的知识，我们再来看成绩分段统计表表头信息中分数个数这项，在数据的分组整理中，累计出每个小组数据的个数，称为这组的频数.因此分数个数累计又称频数累计.再看表格最后一列，每组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率.根据频率的概念可以得到频率的计算公式为：

频率=这一组的频数÷

数据总个数.因此，分段统计表又叫频数分布表.数据分组整理的结果通常用频数分布表来表示．

其中，表头一栏的信息为分组，频数累计，频数以及频率.

请观察合计一栏，通过计算，你有哪些发现？

发现：

合计一栏中，频数之和=总人数，频率之和=1.

现在，同学们思考一下，是不是任意一个频数分布表中频率之和都等于1呢？

下面，我们任意选取一个频数分布表进行求解.如表所示，如果设第一组的频数为x1，第二组的频数为x2，第三组的频数为x3，第n组的频数为xn，总个数为x，通过频率计算公式可以得到各组频率,则频率之和为：

因为是同分母分式相加减，根据法则：

分母不变，分子相加减，可以得到分母是x，分子是x1+x2+x3+...xn，又因为x1+x2+x3+...xn=x,

因此，任意一个频数分布表频率之和都等于1.

在频数分布表中，我们把各组的频数相加，如果合计的总频数与题目信息中的总数一致，就说明我们的数据分组符合不重不漏的原则.如果合计的总频率等于1，就说明：

我们的计算是正确的.因此，合计的总频数与合计的总频率，为数据分组整理的正确性提供了核算依据.

我们总结一下，列频数分布表的步骤:

第一步找出最大值，最小值，计算出极差；

第二步确定组距，利用极差和组距，计算组数；

在分组的时候需要注意以下几点：

以初二年级1班40名学生数学成绩频数分布表为例.

（1）最小组下限（50）要小于等于分数中最小数据（56）.

最大组上限（不含100）大于分数中最大数据（98）.

（2）若50分以下还有个别分数，第一段可以改为60分以下.

若数据中有100分，最后一段还可以改成90分及以上.

（3）和分段统计一样，每一组数据含下限，不含上限.

例如，50~60这组数据中包括50，不包括60，

而60属于60~70.

第三步划记，计算频数，频率．

通过以上步骤，完成频数分布表的制表工作.

有了频数分布表，就可以对其进行数据分析.

观察初二年级1班40名学生的数学成绩频数分布表.你能得到了哪些信息？

例如：

课堂开始老师提出的，哪个分数段的人数最多？

哪个分数段的人数最少？

你现在可以回答了吗？

观察上表，可以看出：

1.“80~90”这组的频数（15）最大，数据最集中；

由此可知，这次测验成绩在“80～90”分数段的人数最多.

“50~60”这组的频数（3）最小，数据分布最少．由此可知，成绩在“50～60”这个分数段的人数最少.

2.从“50~60”组到“80~90”组，随着组区间中数值增大，频数增加.

从“80~90”组到“90~100”组，随着组区间中数值增大，频数减少.

由此可知，这次测验的成绩呈现出“两头少中间多”的分布．

3.80分以上各组的频数之和是21，80分以下各组的频数之和是19，而平均分78.38在80分以下.

由此可知：

这次测验的成绩高于平均分的人数多，低于平均分的人数少，成绩偏高分布．

经过以上分析，我们发现，通过观察频数分布表，可以获得如下数据分布信息：

信息1：

数据在哪个组分布最多最集中，在哪个组分布最少，各占总数的比值是多少；

信息2：

各组数据分布的数量变化趋势是什么；

信息3：

测算中位数在哪个组，获得数据分布状态的信息；

信息4：

测算平均数，从中体会频数分布的作用.

下面，我们就利用所学的知识来解决问题．

引起学生思考，发现问题，启发学生自主寻找解决方法.

通过将活动任务层层推进，让学生经历自主学习，加强学生学习能力的自主建构活动．

在划计的过程中体现学生的主体地位.

对比数据分段统计系统梳理数据分组整理的步骤和方法，提高学生处理数据的能力.

在教师的引导下，以问题的形式提出问题，引导学生分析讨论.增强学生的观察能力,分析问题,解决问题的能力.

遵循知识生成的规律，总结归纳列频数分布表的步骤，为后面的学习打下基础.

回到课前问题，引起学生思考，启发学生自主寻找解决方法.

总结观察频数分布表，获取数据分布信息的方法，培养学生认真细致的学习态度和用数据说话的求实精神，体验数学与生活的联系，培养数据分析的数学核心素养.

例题

例1：

小刚将一个骰子随意抛了10次.出现的点数分别为6，3，1，2，3，4，3，5，3，4.在这10次中“4”出现的频数是_______，“3”出现的频率是_______.

解：

通过观察，我们发现“4”出现了两次，由此,我们得到“4”出现的频数是2，“3”出现的频率是多少呢？

要求“3”出现的频率，首先要知道“3”出现的频数，通过观察我们得到:

“3”出现了4次，因此“3”出现的频数是4，再根据频率等于频数与数据总个数的比值，求出“3”出现的频率,4除以10等于0.4.

例2：

某校八年级共有学生1000人，为了了解这些学生的视力情况，抽查了200名学生的视力数据进行整理.若数据在0.95～1.15这一小组的频率为0.3，则可估计该校八年级学生视力在0.95～1.15范围内的人数是多少呢？

通过题目信息，我们知道，这是一个抽样调查，我们可以用样本的频率0.3来估计总体1000名学生的情况.

由频率=频数÷

数据总个数，得到：

频数=数据总个数×

频率，估计出该校初二年级学生视力在“0.95～1.15”范围内的人数等于1000×

0.3=300人，所以初二年级学生视力在0.95～1.15范围内约有300人.

通过上面两道例题，巩固了频率和频数的概念和算法.

例3：

某校为了了解初二年级男生的身高情况，抽取一部分样本数据对总体的情况进行估计.为了使样本能够很好的代表总体，客观地反映问题，本题根据学号抽取了30名男生的身高数据如下：

初二年级男生30名男生的身高数据如下（单位：

cm）:

155，158，161，162，164，165，170，171，167，164,

163，161，159，156，161，163，166，168，172，166,

164，160，156，160，165，168，174，175，165，178.

（1）列出频数分布表，表示分组整理的结果．

（2）试着对频数分布表中的数据进行分析．

（3）如果初二年级男生有300人，身高不低于165cm约有多少人？

（1）要列出频数分布表，表示分组整理的结果，首先，回顾一下列频数分布表的步骤和方法：

第一步：

找出最大值，最小值，计算极差；

最小值为155,最大值为178，

极差=最大值－最小值=23．

再看第二步：

确定组距，利用极差和组距，计算组数．

因为极差为23，组距为5，根据组数约等于极差除以组距，即：

23÷

5=4.6≈5组．根据以上分析，将30名男生的身高数据分成5组，又因为最小值155，最大值178.可得分组结果如下：

第一组：

155~160，

第二组：

160~165，

第三组：

165~170，

第四组：

170~175，

第五组：

175~180．

我们对第一行的身高数据：

155，158，161，162，164，165，170，171，167，164进行频数累计，按数据出现的次序画“正”字，155属于155~160这一组，我们在这一栏画“正”字的第一笔，158也属于155~160这一组，我们在这一栏画“正”字的第二笔，161属于160~165这一组，我们在这一栏画“正”字的第一笔，162也属于160~165这一组，我们在这一栏画“正”字的第二笔，以此类推，完成频数的累计工作.

在频数的累计的基础上，计算频数，再利用频数÷

总人数得到相应的频率,频率结果保留3位小数，得到初二年级30名男生身高频数分布表如下：

观察初二年级30名男生身高频数分布表，这时有的同学会发现频率之和为1.001，与前面得出的结论：

频率之和为1相矛盾，为什么出现这种结果呢？

155~160频率为0.1.6，160~165频率为0.3.6，165~170频率为0.2.6，170~175频率为0.1.3，175~180频率为0.0.6.

因为频率的数值采用是四舍五入法，这就是造成了频率之和大于1，平时我们习惯用小数表示频率.但是如果用分数来表示频率就有：

因此频率之和还是1.出现这种问题本质是精确值和近似值的区别.

第二问：

观察频数分布表，可以获得哪些数据分布信息？

要解决这个问题，我们来回顾一下，观察频数分布表，获取数据分布信息．

测算平均数，从中体会频数分布的作用.

现在，我们观察初二年级30名男生身高频数分布表，可以从中获取如下信息：

1.“160~165”这组的频数是11，频数最大，数据最集中；

“175~180”这组的频数是2，频数最小，数据分布最少.

2.从“155~160”组到“160~165”组，随着组区间中数值增大，频数增大;

从“165~170”组到“175~180”组，随着组区间中数值增大，频数减小.数据呈现“两头少中间多”的分布.

3.165cm以上各组的频数之和是14，165cm以下各组的频数之和是16，根据2020年颁布的1-18岁男孩身高标准八学生（14岁）男生身高标准是165.9cm.说明本年级学生的身高数据分布集中，离散程度低.

第三问:

如果初二年级男生有300人，身高不低于165cm约有多少人？

通过题目信息，我们知道这是一个抽样调查，我们可以用样本来估计整体，样本中不低于165的频率为

，用它来估计总体300名学生的情况.因为八年级男生有300人，身高不低于165cm的人数约有：

300×

=140人.

对比分析两个频数分布表的组距发现：

第一个表中各组的组距都是10，第二个表中各组的组距都是5，我们把这种分组的方法叫等距分组，在现实生活中还有一些不等距分组.请看例4：

请将表中的数据补充完整．

分析：

要求补全表中数据.首先，观察频数分布表可以得到，各组的组距不相等，因此属于不等距分组．在这里，同学们注意，要想补填表中数据，需要明确一点，无论是等距分组还是不等距分组，频数和频率的意义不变，因此算法也不变．

观察频数分布表发现：

6~17这一组频数是13，频率为0.0315，根据频率=频数÷

总数，得到总数=频数除以对应的频率．

总数：

13÷

0.0315≈413．

再看频数这一列，只有18~59这一组的频数不知，所以可以用总数-其他各组频数之和来求．

413-（14+13+110）=276．

当求出各组的频数之后，根据频率=频数÷

数据总个数求出各组频率.总结频率和频数计算方法，形成知识体系．计算结果如下：

0至5这一组的频率为14÷

413≈0.0339，

18至59这一组的频率为276÷

413≈0.6683，

60及以上的这一组的频率为110÷

413≈0.2663；

或1-（0.0339+0.0315+0.6683）来求．

小结：

通过计算发现：

频率，如果总数已知，只有一个组的频数未知，也可以用总人数—其他各组的频数之和来求．

频率可以由频率=频数÷

数据总个数来求，如果只有一个组的频率未知，也可以用1—其他各组的频率之和来求．

巩固频数，频率的概念和计算方法；

体会从样本数据的分布特征估计总体的分布，提升数据分析能力.

.

遵循知识生成的规律，回顾列频数分布表的步骤和方法，加强学生学习能力的自主建构活动．

巩固从频数分布表中观察数据分布的特征，完成知识的自主建构.

巩固频率的概念，让学生体会频率的统计意义.

补充不等距分组方法，完善知识体系．

总结频率和频数计算方法，以便更好地认识他们之间的关系．

总结

好了，到此为止，我们这节课的知识就已经学完了，下面来看课堂小结：

在本节课我们学习了列频数分布表的步骤：

组数：

极差÷

组距

在绘制频数分布直方表的过程中要注意：

组数要合适，频数，频率要分清．

另外，我们掌握了从频数分布表中获取信息的方法：

第一步看数据的分布情况；

第二步看数据分布的数量变化趋势；

第三步测算中位数在哪个组；

第四步测算平均数．

引导学生回顾本节课所学内容，帮助学生梳理知识，进行整理和提升．

作业

红星养猪场准备出售500头猪，从中随意抽出若干头一一过秤，数据经分组整理，由频数分布表表示如下，其中有许多数据漏填.

（1）请你补填表中漏填的数据．

（2）根据频数分布表回答：

随意抽出的这些猪的质量在什么范围内的头数最多，最集中，在什么范围内的头数最少？

（3）根据第二问的结论，估计这批出售的500头猪的质量，在什么范围内的头数最多，最集中，与这批出售猪总数的比值是多少？

巩固所学知识，体会数学来源于生活，又服务于生活．