中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题Word格式.docx

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因为抛物线的对称轴是直线，故：

当＝0时，对称轴为y轴；

当和同号时，对称轴在y轴的左侧；

当和异号时，对称轴在y轴的右侧，以上特点简记为左同右异．

③c的大小决定抛物线与y轴交点的位置：

∵当x＝0时，y＝c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）：

c＝0，抛物线经过原点：

c＞0，抛物线与y轴交于正半轴：

c＜0，抛物线与y轴交于负半轴．

（5）函数（）图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：

当y＝0时，即可得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．

①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实数根：

②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时，．方程有两个相等的实数根：

③当二次函数的图象与戈轴没有交点时，，方程没有实数根．

（6）图象的平移：

左加右减，上加下减．

第一课时

考点精析专项突破

考点一二次函数的概念

【例1】

（xx重庆南开）下列函数：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥，其中是的二次函数的有__________，

【答案】②⑥

解题点拨：

抓住三个关键点，一是最高次数为2；

二是最高次项的系数不为0；

三是整式．

【例2】函数是二次函数，则m的值是_________．

【答案】1

注意取舍．

变式：

是二次函数，则m的值是－2，1，0．

解题点拨：

先对系数m＋2按是否为0分类讨论，再对指数按2，1，0分类讨论．

考点三抛物线的对称性

【例3】

（xx衢州）二次函数（）图象上部分点的坐标（，）对应值列表如下：

·

－3

－2

－1

1

－6

－11

则该函数图象的对称轴是（）

A．直线x＝－3B．直线x＝－2

C．直线x＝－1D．直线x＝0

【答案】B

抛物线的对称性的特征是对称点的纵坐标相等．

考点三二次函数的增减性

【例4】

（1）（xx兰州）点（－1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】D

二次函数的增减性问题基本方法是画图象，再根据和对称轴的距离比较纵坐标大小．

（2）（xx常州）已知二次函数，当＞l时，随的增大而增大，而m的取值范围是（D）

A．m＝－1B．m＝3C．m≤－1D．m≥－1

逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围（＞l）是否是满足条件（随的增大而增大）的所有值，而此题就不一定是所有．

考点四驴抛物线与系数的关系

【例5】

（xx兰州）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：

④．其中正确的结论的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤：

（1）开口看；

（2）对称轴得；

（3）y轴截距看；

（4）x轴交点个数看△；

（5）特殊点找、、的关系．

课堂训练当堂检测

（xx临沂）二次函数，自变量与函数的对应值如表：

－4

3

下列说法正确的是（）

A．抛物线的开口向下

B．当＞－3时，随的增大而增大

C．二次函数的最小值是－2

D．抛物线的对称轴是直线戈

2．（xx广州）对于二次函数，下列说法正确的是（）

A．当＞0时，随的增大而增大

B．当＝2时，有最大值－3

C．图象的顶点坐标为（－2，－7）

D．图象与轴有两个交点

3．（xx育才改编）已知抛物线的顶点为D（－1，2），与轴的一个交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：

①＜0;

②＜0;

③＜0；

④＝2；

⑤方程有两个相等的实数根．其中正确结论的是__________．

【答案】③④⑤

4．（xx宁夏）已知点A（，3）在抛物线的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．

（1）求点B的坐标；

（2）求∠AOB度数．

解：

（1）∵

，

∴对称轴为直线x＝，

∴点A（，3）关于x＝的对称点的坐标为（，3）；

（2）如图：

∵A（，3）、B（，3），

∴BC＝，AC＝，OC＝3,

∴tan∠AOC＝，

tan∠BOC＝，

∴∠AOC＝30°

，∠BOC＝60°

∴∠AOB＝30°

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1．（xx福州）已知点A（－1，m），B（1，m），C（2，m＋1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）

【答案】C

2．（xx聊城）二次函数（，，为常数且≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）

3．（xx襄阳）一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（）

4．（xx荆门）若二次函数的对称轴是＝3，则关于的方程的解为（）

A．＝0，＝6B．＝1，＝7C．＝1，＝－7D．＝－1，＝7

二、填空题

5．（xx达州）如图，已知二次函数（≠0）的图象与轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，－2）和（0，－1）之间（不包括这两点），对称轴为直线＝1．下列结论：

①＞0；

②＞0；

③＜8；

④＜＜；

⑤＞．

其中正确结论是________．

【答案】①③④⑤

6．（xx沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点A（，），B（，）是该二次函数图象上的两点，其中－3≤˂≤0，则下列结论①˂；

②˃；

③的最小值是－3；

④的最小值是－4，中正确的是________．

【答案】④

7．（xx黄石）以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是_______．

【答案】

三、解答题

8．已知抛物线与轴交于点A，点B的纵坐标是－5．且横坐标为负数．

（1）求点A、B的坐标；

（2）若点P是抛物线的对称轴上一点，求PA＋PB的最小值．

解：

（1）A（0，3），B（－2，－5）．

（2）．

9．（xx黄冈）如图，抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．

（1）求点A、点B、点C的坐标；

（2）求直线BD的解析式；

（3）当点P在线段QB上运动时，试探究m为何值时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．

（1）当x＝0时，，

∴C（0，2），

当＝0时，

解得＝－1，＝4．

∴A（－1，0），B（4，0）．

第9题

（2）∵点D与点C关于轴对称，

∴D（0，－2）．

设直线BD为，

把B（4，0）代入，得0＝4－2

∴＝．

∴BD的解析式为．

（3）∵P（m，0），

∴M（m，）,，Q（m，）

当P在线段OB上运动时．

QM＝（）－（）＝

∴＝·

OB·

QM＝＝

∴当0˂m≤1时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．

B组提高练习

10．（xx资阳）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过A（，m）、B（＋n，m）两点，则m、n的关系为（）

A．B．CD．

（提示：

抛物线与轴只有一个交点，∴当时，＝0．且＝0，即．又∵点A（，m），B（＋n，m），∴点A、B关于直线对称，∴A（，m），B（,m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝

，即m＝，∵，∴，故选D．）

11．（xx十堰）已知关于的二次函数的图象经过点（－2，），（－1，），（1，0），且˂0˂，对于以下结论：

①＞0;

②≤0：

③对于自变量的任意一个取值，都有；

其中结论错误的是________（只填写序号）

【答案】②

由题意二次函数图象如图所示，∴，，，∴故①正确．∵，∴,∴

，又∵＝－2时，＜0，∴，∴即，∴，故②错误，故答案为②．∵，∴，，∵，∴,故③正确．）

12．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（－1，－2），抛物线F:

与直线＝－2交于点P．

（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

（2）若m＝－2，抛物线F上有两点（，），（，），且˂≤－2，比较与的大小；

（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

（1）∵抛物线F经过点C（－1，－2），

∴，∴m＝－1．

∴抛物线F的表达式是．

（2）当m＝－2时，抛物线F的表达式是．

∴当x≤－2时，随的增大而减小．

∵˂≤－2，

∴˃．

（3）－2≤m≤0或2≤m≤4．

第二课时

待定系数法求二次函数的解析式

【例6】

（1）（xx河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线上两点，该抛物线的函数表达式是．

把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式．

（2）已知某抛物线的顶点为（－1，4），且过点（1，0），求该抛物线的函数表达式，

设顶点式，代点解方程得答案．

（3）已知抛物线与轴交于A（－4，0）、B（1，0）两点，在轴上的截距为－4，求该抛物线的函数表达式．

设交点式，代点解方程得答案．

考点六抛物线与图形变换

【例7】

（xx滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°

得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

平移问题按照“左加右减，上加下减”解题：

旋转问题常从顶点坐标和开口方向入手．

考点七二次函数的最值问题

【例8】

（1）（xx兰州）二次函数的最小值是－7．

解法一：

背公式．解法二：

化为顶点式．

（2）

【原创】二次函数的最大值是．

交点式的标准形式中的系数为1．交点式求最值一般先求对称轴，再代求．

考点八二次函数的交点问题

【例9】

（xx滨州）抛物线与坐标轴的交点个数是（）

A．0B．1C．2D．3

按、轴分类讨论．

【例10】如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在轴上，点B坐标为（－4，－5）．

（1）求当为何值时；

（2）求抛物线的解析式．

（1）将不等式问题转化为图象问题；

（2）用待定系数法求解析式．

（1）＜－4或x＞0．

（2）∵直线交于A、B两点，其中点A在轴上，

∴A（0，－3），

∵B（－4，－5），

∴

∴抛物线解析式为．

1．（xx泰安）将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为（）

A．B．

C．D．

2．（xx青岛）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，则c的值为（）

A．0B．C．D．3

3．将二次函数配成顶点式为______________，它的图象开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为________，当戈________时，随的增大而减小，当_______时，有最小值，是________．

【答案】；

上；

x＝－3；

（－3，－5）；

≤－3；

＝－3；

－5

4．根据下列条件，选择恰当的方法求二次函数解析式．

（1）函数有最小值－8，且：

：

＝1：

2：

（－3）；

（2）函数有最大值2，且过点A（－1，0）、B（3，0）；

（3）当＞－2时随增大而增大；

当＜－2时，随增大而减小，且图象过点（2，4），与轴的交点为（0，－2）．

（1）；

（2）；

（3）．

1．（xx山西）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）

A．B．

C．D．

2．二次函数化为的形式，下列正确的是（）

3．（xx绍兴）抛物线（其中，是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤≤3）有交点，则的值不可能是（）

A．4B．6C．8D．10

4．（xx南宁）二次函数（≠0）和正比例函数的图象如图所示，则方程（≠0）的两根之积（）

A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定

二、填空题

5．（xx大连）如图，抛物线与轴相交于点A、B（m＋2，0）与轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，），则点A的坐标是________．

【答案】（－2，0）

6．（xx荆州）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为____________．

【答案】－1或2或1

7．抛物线与的正半轴交于点A，与轴交于点B，第四象限的点C在抛物线上，则△ABC面积的最大值是________．

8．我们规定：

若m＝（，），n＝（，），则＝a．如m＝（1，2），n＝（3，5），则＝1x3＋2x5＝13．

（1）已知m＝（2，4），n：

（2，－3），求；

（2）已知m＝（，1），n＝（，），求,，问的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．

（1）∵m＝（2，4），n＝（2，－3），

∴＝2x2＋4x（－3）＝－8;

（2）∵m＝（，1），n＝（，），

＝

联立方程：

化简得：

∵．

∴方程无实数根，两函数图象无交点．

9．（xx中山）如图,二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．

（1）求二次函数解析式；

（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；

（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．

（1）设二次函数的解析式为，a、b、c常数）．

由题意得

，解得

所以二次函数的解析式为；

（2）如图，以次函数值大于函数值的x的取值范围是或．

（3）∵对称轴：

x=-1，∴D（-2，3）；

设直线BD：

，代入B（1，0），D（-2，3）；

解得直线BD：

把x=0代入求得E（0，1）．

∴OE=1

又∵AB=4，∴

B组提高次练习

10．（xx泸州）已知二次函数的图像的顶点在第四象限，且过点（-1，0），当为整数时，ab的值为（）

A．或1B．或1C．或D．或

〖答案〗A

依题意知，，，故，且，，于是，∴，又为整数，∴，0，1，故，1，，，1，，∴或1．故选A．

11．（xx荷泽）如图，一端抛物线：

记为，它与x轴交于两点O，；

将绕旋转180°

得到，交x轴于；

得到交x轴于；

…如此进行下去，直至得到，若点P（11，m）在第6段抛物线上，则m=．

〖答案〗-1

∵，∴配方可得，∴顶点坐标为（1，1），∴坐标为（2，0），∵由旋转得到，∴，即顶点坐标为（5，1），；

顶点坐标为（7，-1），（8，0）；

顶点坐标为（9，1），（10，0）；

顶点坐标为（11，-1），（12，0）；

；

m=-1．）

12．（xx舟山）二次函数，当，且mn<

0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．

二次函数的大致图像如右：

①当时，则当时y取最小值，即2m=-，解得：

m=-2．当x=n时y取最大值，即2n=．解得：

n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；

②当时，则当x=m时y取最小值，即2m=，

解得：

m=-2，当x=1时y最大值，即2n=-，解得：

n=，所以m+n=-2+=．

第三课时

考点精析，专项突破

考点九二次函数与面积

【例11】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）该抛物线的解析式为：

（2）=；

（3）点D是该抛物线位于第一象限部分上的一点．则的面积最大值为：

，此时点D的坐标为：

〖答案〗

（2）2

（3）；

（，）

①在函数问题中，当点的坐标未知（如本题的点D）时，通常可以先用字母设出点的坐标，然后利用坐标表示出线段的长度，进而再利用几何知识解决问题；

②对于不能直接表示的面积要学会灵活应用割补法．

【例12】

（xx乐山改编）在直角坐标系xoy中，A（0，2）、B（-1，0），将经过旋转、翻折、平移变化后得到如图所示的．

（1）则经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：

（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将的面积分成1：

3两部分，求此时点P的坐标；

（3）现将、分别向下、向左以相同的速度同时平移，且与重叠部分的图形是三角形时t的取值范围，并求此时重叠部分的面积．

①面积关系问题根据条件情况往往有这两种处理方法：

其一，首先分别表示出它们的面积再利用方程求解；

其二，把它们的面积关系转化为线段关系，再借助坐标把线段关系转化为方程；

②注意考虑分类讨论；

③学有余力的同学第（3）问还可以自主探索重叠部分不是三角形时的重叠部分面积．

（1）．

（2）如图1所示，设直线PC与直线AB交于点E．

∵直线PC将的面积分成1：

3两部分，

∴或．

过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．

∴△BEF∽△BAO，∴．

∴当时，

∴EF=,BF=,∴E（－,）

设直线PC解析式为，则可求得解析式为

，∴，（舍去）

当时，E（－,）同理可得

（3）当时，与重叠部分为三角形

如图2，设与重叠部分的面积为为S．

可由已知求出的解析式为，与x轴交点坐标为H（，0）．

与的交点G，且G（1－t，4-3t）

课堂训练当堂检测

1．抛物线与坐标轴的交点个数是（）

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

2．若，则二次函数的图像的顶点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】D

3．已知二次函数的顶点为P，其图像与x轴交于A、B两点，则=．

【答案】8

4．（xx安徽改编）如图，二次函数的图像经过点A（2，m）与B（n，0）（n＞0）

（1）则m=，n=；

（2）点C是该二次函数图像上A、B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．

（1）4，6

（2）解：

（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F

则S=＋＋=4＋＋=

∴S关于x的函数表达式为S=（2＜x＜6＝

∵S==

∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．

中考达标模拟自测

A组基础训练

1．抛物线与y轴的交点坐标为（）

A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）

【答案】A

2．已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；

当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A．m=－1B．m=3C．m≤－1D．m≥－1

3．（xx重庆育才）已知抛物线，当a＞0，b＜0时，它的图像经过（）

A．一、二、三象限；

B．一、二、四象限；

C．一、三、四象限；

D．一、二、三、四象限

【答案】B

4．若抛物线的对称轴过点（2，0），则关于x的方程的解为（）

A．，B．，C．，D．，

5．抛物线的顶点坐标为．

（1，-4）

6．（xx天津模拟）如果抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则=．

【答案】24

7．（xx长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．

【答案】15

8．如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点．若P是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E点，连接AE，CE．设△AEC的面积为S,求S的最大值．

易得：

A（-1，0），B（4，0），C（3，4）

设P（m，-m-1），则E（m，）

∵P是线段AC上的一个动点（不与A，C重合）

∴，∴PE=，∴

==

当m=1时，S=8

9．（xx重庆一中改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y交于点C，且OC=2OA．抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．

（1）该抛物线的解析式为．

（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．是否存在点P，使得？

若存在，求出此时m的值．

（1）

（2）过点P作PQ∥y轴交直线CD于Q，∵直线x=3与x轴交于D，∴D（3，0）

∴直线CD：

∵，