平行四边形经典例题Word文件下载.docx

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（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的四边形是菱形。

1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。

2、先证明是菱形再证一个角是直角。

先判断是梯形在证明两腰相等。

2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

3、对角线相等的梯形是等腰梯形。

对称性

轴对称图形

二、一、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。

二、由矩形的性质取得直角三角形的一个性质：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题

例1、如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足别离为E、F.求证：

∠BAE=∠DCF.

例2、如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.

求证：

BE=CF.

例3、已知：

如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F别离在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：

∠BEC=∠CFB.

例4、如图6，E、F别离是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）假设M、N别离是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判定四边形MFNE是如何的四边形，并证明你的结论.

例5、如图7ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC别离相交于点E，F.，求证：

四边形AFCE是菱形.

例6、如图8，四边形ABCD是平行四边形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.

（1）若是，那么△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论.

例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.

四边形EFOG的周长等于2OB；

（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改成另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、没必要证明.

例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13

（1）、

（2）上），并给予合理的说明.

四、练习

一、选择题

1.以下命题正确的选项是（）

（A）、一组对边相等，另一组对边平行的四边形必然是平行四边形（B）、对角线相等的四边形必然是矩形

（C）、两条对角线相互垂直的四边形必然是菱形（D）、在两条对角线相等且相互垂直平分的四边形必然是正方形

2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,那么AC的取值范围为（）

A.6<

AC<

10；

B.6<

16；

C.10<

D.4<

16

3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（　　）

　（A）1　　　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　　（D）4

4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，假设∠DAB＝120°

∠CFE＝135°

，AB＝1，那么AC的长为（）（A）1　　　　　　（B）1.2　　　　　（C）

　　　　　　（D）1.5

5．假设菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，那么BD的长是（）

（A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm

6.假设按序连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么那个四边形的对角线（　　　）

（A）相互垂直　　（B）相等　（C）相互平分　（D）相互垂直且相等

7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（）

（A）5（B）10（C）15（D）20

（第7题）（第8题）（第9题）（第10题）

8.如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，那么线段CN的长是（）．

（A）3cm（B）4cm（C）5cm（D）6cm

9.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

，AC将梯形分成两个三角形，其中△ACD是周长为18cm的等边三角形，那么该梯形的中位线的长是（）．

（A）9cm（B）12cm（c）

cm（D）18cm

10.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，那么△ABE的周长为（　　）

（A）4cm（B）6cm（C）8cm（D）10cm

11.如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．假设CD＝6，那么AF等于（　　）

（A）

　（B）

　　（C）

（D）８　　

12.如图，已知四边形ABCD中，R、P别离是BC、CD上的点，E、F别离是

AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么以下结论

成立的是（）

A、线段EF的长慢慢增大B、线段EF的长慢慢减小

C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P

13.在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且

，BD=12cm，那么梯形中位线的长等于（）

A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm

14.国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是

平行四边形的花坛（如图），别离种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．

若是有

，

，那么以下说法中错误的选项是（）

A．红花、绿花种植面积必然相等B．紫花、橙花种植面积必然相等

C．红花、蓝花种植面积必然相等D．蓝花、黄花种植面积必然相等

二、填空题

1.若是四边形四个内角之比1：

2：

3：

4，那么这四边形为＿＿＿＿形。

2.假设正方形的对角线长为2

cm，那么正方形的面积为＿＿＿。

3.假设矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部份，那么那个矩形周长是＿＿＿

4.已知：

平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长5cm，那么那个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。

5.已知：

平行四边形ABCD中，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝

AB，∠EAF＝2∠C，那么BE长为＿＿＿，那么∠C＿＿＿.

6.在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标别离是A（－2，5），B（－3，－1），C（1，－1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是．

7.已知：

如图8，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F别离是边AB、BC上的点，假设AE＝4cm，DF＝3cm，且OE⊥OF，那么EF的长为。

8．如图9

（1）是一个等腰梯形，由6个如此的等腰梯形恰好能够拼出如图10

（2）所示的一个菱形．关于图10

（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：

．

9．如图，在四边形

中，

是对角线

的中点，

别离是

，那么

的度数是．

10．如图，菱形ABCD的两条对角线别离长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N别离是边AB、BC的中点，那么PM+PN的最小值是_____________．

11.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H别离是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应知足的一个条件是。

（12题）（13题）（14题）

1二、如下图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于E，BC于F，∠BDF=15°

，那么∠COF=______．

13.如图，矩形

的对角线

和

相交于点

，过点

的直线别离交

于点E、F，

，那么图中阴影部份的面积为　　　　　．

14、如图，矩形

的面积为４，按序连结各边中点取得四边形

，再按序连结四边形

四边中点取得四边形

，依此类推，求四边形

的面积是　　。

1五、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。

1六、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,那么∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。

17、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，那么平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。

1八、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，那么那个菱形的另一条对角线长为__________cm。

1九、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，那么此菱形周长＿＿＿＿＿cm。

20、若是一个正方形的对角线长为

，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。

2一、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,那么矩形对角线的长＿＿＿。

2二、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5那么△CDE周长＿＿＿。

2一、正方形的对称轴有＿＿＿条

2二、如图4，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是＿＿＿＿＿＿

23、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。

三、解答题

1.如图，在四边形ABCD中，∠A=60°

∠B=∠D=90°

BC=2,CD=3,求AB的长。

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°

对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。

3.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．

△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判定四边形AECF是什么特殊四边形？

证明你的结论

4．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于点E，

∠ADB=60°

，BD=10，BE∶ED=4∶1，求梯形ABCD的腰长.

5.如图，菱形ABCD，E，F别离是BC，CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°

∠BAE＝18°

求∠CEF的度数。

6.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC知足什么条件时，四边形

ADCE是一个正方形？

并给出证明．

7.如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD≠BC，对角线BD与边DC相互垂直，M、N、H别离是AD、BC、BD的中点，且∠ABD=30°

求：

（1）MH的长

（2）MN的长。

8.如下图，在△ABC中，∠BAC=90°

AD⊥B,BE平分∠ABC,EF∥BC,那么AE=CF吗？

证明你的结论。

9.如图，ABCD是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE交DC于点F，

（1）∠BEC＝30°

（2）DE＝DF

10.如图，在正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，

PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD，垂足为F，

EF＝AP

11.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E,交BC于点F。

假设PE=PF,且AP+AE=CP+CF

PA=PC;

（2）假设AD=12,AB=15,∠DAB=60°

求四边形ABCD的面积.

10．如下图，已知在□ABCD中，E，F别离是AD，BC的中点，求证：

MN∥BC．

11．已知：

如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE

别离交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：

AB＝2OF．

12.如图，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，点A处有一动点E以1cm∕s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以2cm∕s的速度由点C向点D运动，设运动的时刻为x（s），四边形EBFD的面积为y（cm2），求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。

21，如图16，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.

（1）线段AF与GB相等吗？

（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形,并说明理由.

22，如图17，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.

（1）试说明线段CD与FA相等的理由；

（2）假设使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？

请你补上那个条件，并说明你的理由（不要再增添辅助线）.　

23，（08上海市）如图，已知平行四边形

中，对角线

交于点

是

延长线上的点，且

是等边三角形．

四边形

是菱形；

（2）假设

，求证：

是正方形．

24，已知：

如图19，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE＝BF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）.

（1）连结____________；

（2）猜想：

______=______；

（3）证明：

25，如图20，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F.

（1）试说明OE＝OF；

（2）如图21，假设点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，那么结论“OE＝OF”还成立吗?

若是成立，请给出说明理由；

若是不成立，请说明理由.

13.如图在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°

AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动,动点Q从C开始沿CB向B以3cm/s的速度运动,P,Q别离从点A,C同时动身,当其中一点抵达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时刻t,t别离为何值时,四边形PQCD为平行四边形,等腰梯形?

14

已知：

如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90o,AD∥BC，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从A点开始沿AD边向D以1cm/秒的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm/秒的速度运动，P、Q别离从A、C同时动身，当其一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时刻为t秒，t别离为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

等腰梯形？

.在△ABC中，借助作图工具能够作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用取得的△AEF和四边形EBCF能够拼接成平行四边形EBCP，接切线与拼图进程如下图，依照上述方式，安要求完成以下操作设计，并画出图形说明。

（1）在△ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后能够拼成矩形。

（2）在△ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后能够拼成菱形。

（3）在△ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后能够拼成正方形。

（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也能够拼接成等腰梯形，画出切线与拼图示用意。

15如图把一个正方形割去四分之一，将余下的部份分成3个全等的图形（图甲）；

将余下的部份分成4个全等的图形（图已）仿照例如，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部份。

（1）分成3个全等的图形（在图一中画出示用意）；

（2）分成四个全等的图形（在图二中画出示用意）；

（3）你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗？

假设能，画出大致的示用意。

16.如图是王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的沟渠，且这条笔直的沟渠将四边形菜地分成面积相等的两部份.请你为王大爷设计一条引沟渠的方案，画出图形,并简要写出作图的要紧步骤.

解:

作图步骤：

17.

（1）如图25-1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°

，E、F别离是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD.求证:

EF＝BE＋FD;

（2）如图25-2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°

∠BAD,

（1）中的结论是不是仍然成立？

不用证明.

（3）如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，

∠B+∠ADC＝180°

，E、F别离是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=

假设成立，请证明；

假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

18.将边长OA=8，OC=10的矩形

放在平面直角坐标系中，极点O为原点，极点

C、A别离在

轴和y轴上.在

、OC边上选取适当的点

、F，连接EF，将△EOF沿EF折叠，使点

落在

边上的点

处．

图①图②图③

（1）如图①，当点F与点C重合时，OE的长度为；

（2）如图②，当点F与点C不重合时，过点D作DG∥y轴交EF于点

，交

于点

.

EO=DT；

（3）在

（2）的条件下，设

，写出

与

之间的函数关系式为，自变量

的取值范围是；

（4）如图③，将矩形

变成平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC边上的高等于8，点F与点C不重合，过点D作DG∥y轴交EF于点

，求出这时

的坐标

之间的函数关系式（不求自变量

的取值范围）．

19.

（1）如图10－1所示，BD,CE别离是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足别离为F，G，连结FG，延长AF,AG，与直线BC别离交于点M、N，那么线段FG与△ABC的周长之间存在的数量关系是什么？

即：

FG＝（AB＋BC+AC）（直接写出结果即可）

（2）如图10－2，假设BD，CE别离是△ABC的内角平分线；

其他条件不变，线段FG与

ΔABC三边之间又有如何的数量关系？

请写出你的猜想，并给予证明．

（3）如图10－3，假设BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变，线段FG与ΔABC三边又有如何的数量关系？

直接写出你的猜想即可．不需要证明。

20.已知正方形ABCD和等腰Rt

按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG、CG.

（1）探讨EG、CG的数量关系，并说明理由；

（2）将图1中

绕B点顺时针旋转

得图2，连结DF,取DF的中点G，问

（1）中的结论是否成立，并说明理由；

（3）将图1中

绕B点转动任意角度（旋转角在0到

之间）得图3，连结DF，取DF的中点G，问

（1）中的结论是不是成立，请说明理由；