专题01 手拉手模型大全解析版Word格式文档下载.docx

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由△GCH是等边三角形.

可得∠CHG=∠HCE=60°

GH∥BE

8.PC平分∠EPB

思路:

过点C作CM,CN分别垂直于BD,AE,垂足为

M,N

∵△ACE≅△BCD

∴CM=CN

∴PC平分∠EPB

9.BP=AP+PC,EP=PD+PC

如图,截取BQ=AP

易证△APC≅△BQC

得∠BCQ=∠ACP,CP=CQ

可证:

∠QCP=60°

得△CPQ为等边三角形.

则CP=QP.

∴BP=BQ+QP=AP+AC

同法可证:

EP=PD+PC

10.△GCB∽△APG，△DPH∽△HCE

由上述结论中的:

∠CBG=∠PAG,∠APG=∠GCB,可证△GCB∽△APG

同理可证△DPH∽△HCE

等腰篇

模型三、若△ACE与△DBC是等腰三角形。

且∠ACB=∠ECD=α,

1.△ACD≅BCE

2.CF平分∠DFE

3.∠AFB=α

证明思路同上

模型四、如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，

正方形CEFG绕点C旋转，试证明：

1.△DCG≅△EBC，BE＝DG；

2.BE⊥DG；

3.DE2+BG2＝2a2+2b2

4.△DHM∽△BCM,△HEN∽△CGN

1.∵正方形ABCD和正方形CEFG

∴BC＝CD＝a，CE＝CG＝b，∠BCD＝∠ECG＝90°

∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，

即∠BCE＝∠DCG

∴△BCE≌△DCG（SAS）

∴BE＝DG，

2.设BE与CD交于H，

∵∠CBE+∠BTC＝90°

，∠BTC＝∠DTE

∴∠CDG+∠DTE＝90°

，

∴∠DHT＝90°

∴BE⊥DG

3.连接BD，EG，在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，在Rt△BGH中，BG2＝BH2+GH2

在Rt△BDH中，BH2+DH2＝BD2，在Rt△EHG中，EH2+GH2＝EG2，

∴DE2+BG2＝DH2+EH2+BH2+GH2＝BD2+EG2，

在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝2a2，在Rt△CEG中，EG2＝CE2+CG2＝2b2，

∴DE2+BG2＝2a2+2b2，

4.∵∠CBM=∠MDH,∠CMB=∠DMH.∴△DHM∽△BCM,同理可证：

△HEN∽△CGN

五、垂美四边形

△ABC中，∠BAC=90°

△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，可以得到：

1.△DBF≅△ABC≅△FEC

2.四边形FEAD是平行四边形

3.∠FDA=30°

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°

∴∠DAE＝150°

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝4，

同理可证：

△ABC≌△EFC（SAS），

∴AB＝EF＝AD＝3，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴∠DFE＝∠DAE＝150°

，

∴∠FDA＝180°

﹣∠DFE＝180°

﹣150°

＝30°

冲刺演练

一．选择题

1．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，BE

和DG相交于点H，连接HC，给出下列结论：

①BE＝DG；

②BE⊥DG；

③DE2+BG2＝2a2+2b2；

④HC平分∠BHG，其中正确结论是（　　）

A．只有①②③B．只有①②④

C．只有②③④D．①②③④

解：

如图，∵正方形ABCD和正方形CEFG

∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE，即∠BCE＝∠DCG

∴BE＝DG，∠CBE＝∠CDG

故①正确；

设BE与CD交于H，

故②正确；

连接BD，EG，在Rt△DEH中，DE2＝DH2+EH2，在Rt△BGH中，BG2＝BH2+GH2

故③正确；

∵∠BHD＝∠BCD＝90°

∴B、C、H、D四点共圆，

∴∠BHC＝∠BDC＝45°

∴∠GHC＝∠BHG﹣∠BHC＝45°

∴∠BHC＝∠GHC

∴HC平分∠BHG，

（过点C作CQ⊥BT，CR⊥DG，利用全等三角形的性质证明也可以）．

故④正确；

故选：

D．

2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中．①AB⊥AC；

②四边形AEFD是平行四边形；

③∠DFE＝150°

；

④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4

个

∵32+42＝52，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°

∴AB⊥AC，故①正确；

∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；

，故③正确；

∴S▱AEFD＝AD•（DF•sin30°

）＝3×

（4

）＝6，故④不正确；

（还可以作AG⊥DF,利用三角函数求得AG长。

）

∴正确的个数是3个，

C．

3．如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（　　）

①△CDF≌△EBC；

②∠CDF＝∠EAF；

③△ECF是等边三角形；

④CG⊥AE．

A．只有①②B．只有①②③

C．只有③④D．①②③④

∵△ABE、△ADF是等边三角形

∴FD＝AD，BE＝AB

∵AD＝BC，AB＝DC

∴FD＝BC，BE＝DC

∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE

∴∠CDF＝∠EBC

∴△CDF≌△EBC，故①正确；

∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°

+60°

+（180°

﹣∠CDA）＝300°

﹣∠CDA，

∠FDC＝360°

﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°

∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；

同理可得：

∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，

∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，

∴△EAF≌△EBC，

∴∠AEF＝∠BEC，

∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°

∴∠FEC＝60°

∵CF＝CE，

∴△ECF是等边三角形，故③正确；

在等边三角形ABE中，

∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段

∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°

，∠ABC＝150°

，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误．

B．

二．解答题

4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°

，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．

（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．

（2）求证：

BE＝CD，BE⊥CD．

（1）解：

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°

∴AB

BC，

∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，

∴BD

BC

2BC，

∵G为BD的中点，

∴BG

BD＝BC，

∴△CBG为等腰直角三角形，

∴∠CGB＝45°

∵∠ADB＝45°

AD∥CG，

∵∠ABD＝45°

，∠ABC＝45°

∴∠CBD＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠CBD+∠ACB＝180°

∴AC∥BD，

∴四边形ACGD为平行四边形；

（2）证明：

∵∠EAB＝∠EAC+∠CAB＝90°

+45°

＝135°

∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°

∴∠EAB＝∠CAD，

在△DAC与△BAE中，

∴△DAC≌△BAE，

∴BE＝CD；

∵∠EAC＝∠BCA＝90°

，EA＝AC＝BC，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴CE＝AB＝AD，

在△BCE与△CAD中，

∴△BCE≌△CAD，

∴∠CBE＝∠ACD，

∵∠ACD+∠BCD＝90°

∴∠CBE+∠BCD＝90°

∴∠CFB＝90°

即BE⊥CD．

5．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为线段AB、AC上的点，且AD＝AE．

（1）将△ADE绕点A旋转一定的角度至如图2所示位置，求证：

△ABD≌△ACE．

（2）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°

，且点D在线段BE上时，求证：

BE⊥CE．

（3）在

（2）的条件下，若AB＝AC＝4，AD＝AE＝2，则线段CE的长为　　．

（1）证明：

由旋转知，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）∵∠AD＝AE，∠DAE＝90°

∴∠ADE＝∠AED＝45°

∴∠ADB＝180°

﹣∠ADE＝135°

由

（1）知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC，

∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝∠ADB﹣∠AED＝135°

﹣45°

＝90°

∴BE⊥CE；

（3）设CE＝x，

∴BD＝CE＝x，

在Rt△ADE中，AD＝AE＝2，

∴DE

AD＝2

∴BE＝BD+DE＝x+2

在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，

∴BC

AB＝4

由

（2）知，∠BEC＝90°

在Rt△BEC中，根据勾股定理得，BE2+CE2＝BC2，

∴（x+2

）2+x2＝（4

）2，

∴x

（舍）或x

即CE

故答案为：

．

6．【操作发现】

如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

（1）请按要求画图：

将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°

，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；

（2）在

（1）所画图形中，∠AB′B＝　　．

【问题解决】

如图②，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°

，∠BPC＝120°

，求△APC的面积．

小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：

想法一：

将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°

，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；

想法二：

将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°

，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．

…

请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）

【灵活运用】

如图③，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．

【操作发现】

（1）如图所示，△AB′C′即为所求；

（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°

∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°

∴∠AB′B＝45°

45°

【问题解决】如图②，

∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°

，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°

﹣90°

﹣120°

＝150°

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°

∴∠PP′C＝90°

，∠P′PC＝30°

∴PP′

PC，即AP

PC，

∵∠APC＝90°

∴AP2+PC2＝AC2，即（

PC）2+PC2＝72，

∴PC＝2

∴AP

∴S△APC

AP•PC＝7

【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，

∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，

∵∠BAD＝∠CAG，

∴∠BAC＝∠DAG，

∵AB＝AC，AD＝AG，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD＝kAB，

∴DG＝kBC＝4k，

∵∠BAE+∠ABC＝90°

，∠BAE＝∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC＝90°

∴∠GDC＝90°

∴CG

∴BD＝CG