一阶倒立摆含观测器的状态反馈控制系统综合与设计上课讲义Word文档下载推荐.docx
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五、实验原理
1、被控对象模型及其线性化
根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程,计及u=F,得
(1)
(2)
保留低阶项
,
项,忽略微小的高次项,在竖直位置处进行线性化。
由
(1)
(2)得
(3)
(4)
令
,输入为
,则状态方程为
(5)
代入参数,忽略摩擦得
(6)
该状态方程输入是加速度,输出是小车位置和摆杆角度。
2、时不变线性连续系统的状态反馈控制与观测器
对时不变线性连续系统
以系统状态为反馈变量产生控制
这种控制方式称为状态反馈控制,但状态作为系统内部变量,一般很难直接测出,为此引入状态观测器。
全维状态观测器的动态方程为
若输出矩阵C为满秩时,可设计较简单的降维状态观测器,其最小维数为n-m(n代表状态个数,m代表输出个数)。
6、实验内容
1、状态反馈及极点配置
(1)能控性检查:
输入代码:
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0103]'
;
C=[1000;
0100];
D=[00]'
Uc=ctrb(A,B);
rank(Uc)
输出:
ans=
4
系统能控性矩阵满秩,即系统状态完全能控。
(2)系统极点配置
选取系统主导极点:
闭环非主导极点距虚轴的距离为主导极点的5倍以上,则
取:
P=[-10-0.0001*j,-10+0.0001*j,-2-2*sqrt(3)*j,-2+2*sqrt(3)*j];
K=place(A,B,P)
K=
-54.4218-24.489893.273916.1633
(3)极点配置系统仿真
根据系统空间表达式,搭建模型。
仿真波形如图
从仿真结果可以看出,小车最终稳定,小车速度,摆杆角度,角速度最终都稳定在0位置,小车位置超调≤5%,调整时间≤2s,基本符合控制要求。
2、采用状态观测器的状态反馈系统设计
(1)闭环观测器极点配置
<
1>
判断可观性
输入代码:
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0;
1;
0;
3];
0010];
D=0;
sys=ss(A,B,C,D);
observe_matrix=obsv(A,C);
rank_of_obsv=rank(observe_matrix)
输出:
rank_of_obsv=
系统完全可观。
输出矩阵C的秩为2,所以降维观测器的最小维数为4-2=2。
<
2>
设定降维观测器的期望极点
观测器特征值的选取一般是状态反馈配置极点2-3倍,所以选取状态观测器为-5,-5。
R=[0100;
0001];
P=[C;
R];
invP=inv(P);
p=[-5;
-5];
<
3>
求取等价系统的模型
AA=P*A*invP
A11=[AA(1:
2,1:
2)];
A12=[AA(1:
2,3:
4)];
A21=[AA(3:
4,1:
A22=[AA(3:
4,3:
BB=P*B
B1=BB(1:
2);
B2=BB(3:
4);
CC=C*invP
AA=
001.00000
0001.0000
0000
029.400000
BB=
0
1
3
CC=
1000
0100
4>
求取矩阵L
symss
system_eq=expand((s-p
(1))*(s-p
(2)))
symsL_1L_2L_3L_4
L=[L_10;
0L_4];
eq=collect(det(s*eye
(2)-(A22-L*A12)),s)
输出:
system_eq=
s^2+10*s+25
eq=
s^2+(L_1+L_4)*s+L_1*L_4
选取
L=LL=[50;
05];
5>
求取降维观测器的动态方程
输入代码:
AW=(A22-LL*A12)
BU=(B2-LL*B1)
BY=(A21-LL*A11)+(A22-LL*A12)*LL
CW=invP(1:
4)
DY=invP(1:
2)+invP(1:
4)*LL
AW=
-50
0-5
BU=
BY=
-25.00000
04.4000
CW=
00
10
01
DY=
50
05
(2)系统仿真
仿真波形如图
与不带观测器的状态反馈波形基本一致,达到预期效果。
从仿真结果可以看出,小车最终稳定,小车速度,摆杆角度,角速度最终都稳定在0位置,调整时间<
2s,符合控制要求。
3、实验平台调试
不带观测器的状态反馈:
带降维观测器的状态反馈: