凯莱哈密顿定理Word格式.docx
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此定理对布于任何交换环上的方阵皆成立。
凯莱-哈密顿定理的重要推论之一是矩阵的极小多项式整除其特征多项式,这在寻找约当标准形时特别有用。
[隐藏]
∙1例子
∙2定理证明
∙3抽象化与推广
∙4外部链接
[编辑]例子
举例明之,考虑下述方阵:
其特征多项式为
此时可以直接验证凯莱-哈密顿定理:
A2−5A−2I2=0
此式可以简化高次幂的运算,关键在于下述关系:
A2=5A+2I2.
例如,为了计算A4,可以反复利用上述关系式:
A3=(5A+2I2)A=5A2+2A=5(5A+2I2)+2A=27A+10I2
A4=A3A=(27A+10I2)A=27A2+10A=27(5A+2I2)+10A
A4=145A+54I2.
此外,凯莱-哈密顿定理也是计算特征向量的重要工具。
注:
一般而言,若
矩阵A可逆(即:
),则A-1可以写成A的幂次和:
特征多项式有如下形式
将方程式p(A)=0同乘以A-1,便得到
-{R|
[编辑]定理证明
以下考虑布于域
上的矩阵。
凯莱-哈密顿定理可以视为线性代数中克莱姆法则的推论。
克莱姆法则断言:
若S是
矩阵,而cof(S)表其余因子矩阵,则
取S:
=tIn−A,便得到(tIn−A)cof(tIn−A)t=pA(t)In。
此式对所有t皆成立,由于实数或复数域有无穷多元素,上式等式在多项式环k[t]内成立。
设M:
=kn,矩阵A赋予M一个k[t]-模结构:
。
考虑k[t]-模
,我们有k[t]-模之间的“求值态射”:
固定
,对M[t]中的等式
右侧取eA后得到pA(A)m,左侧取eA后得到
明所欲证。
一个简单的证明:
令:
由:
得:
将上式左边按t进行多项式展开得:
将上式右边展开得:
因两多项式,他们的对应项系数相等得:
在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai,并将等式左右两边分别相加并合项得:
得证
[编辑]抽象化与推广
前述证明用到系数在k[t]的矩阵的克莱姆法则,事实上该法则可施于任何系数在交换环上的矩阵。
借此,凯莱-哈密顿定理可以推广到一个交换环R上的任何有限生成自由模M(向量空间是特例)。
中山正引理的一种证明就用到这个技巧。
[编辑]外部链接
∙PlanetMath上的证明
取自“http:
//zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%B1%E8%90%8A%EF%BC%8D%E5%93%88%E5%AF%86%E9%A0%93%E5%AE%9A%E7%90%86”
3个分类:
线性代数|矩阵论|数学定理
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